第2節(jié)振動(dòng)的描述1.知道什么是振幅、周期、頻率，理解固有周期和固有頻率，知道周期和頻率的關(guān)系．(重點(diǎn))2．掌握簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移—時(shí)間圖象，了解圖象在實(shí)際生活中的應(yīng)用．(重點(diǎn)＋難點(diǎn))3．知道簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的公式表示x＝Asinωt，知道其中各符號(hào)的含義及有關(guān)關(guān)系．一、振動(dòng)特征的描述1．振幅：振幅是振動(dòng)物體離開(kāi)平衡位置的最大距離，反映了振動(dòng)的強(qiáng)弱．振幅是標(biāo)量，振幅與位移的最大值在數(shù)值上相等，但二者不同，因?yàn)槲灰剖鞘噶浚?．全振動(dòng)：振子以相同的速度相繼兩次通過(guò)同一位置所經(jīng)歷的過(guò)程．3．周期：做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體完成一次全振動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間叫做振動(dòng)的周期．它是表示振動(dòng)快慢的物理量，周期越長(zhǎng)，表示物體振動(dòng)越慢；周期越短，表示物體振動(dòng)越快．4．頻率：振動(dòng)物體在1__s內(nèi)完成全振動(dòng)的次數(shù)叫做振動(dòng)的頻率．它是表示振動(dòng)快慢的物理量，頻率越大，表示物體振動(dòng)越快；頻率越小，表示物體振動(dòng)越慢．周期與頻率的關(guān)系是T＝eq\f(1,f)或f＝eq\f(1,T)．5．在自由狀態(tài)下，物體振動(dòng)的周期(或頻率)只由振動(dòng)物體本身的性質(zhì)決定，與振幅的大小無(wú)關(guān)．物體在自由狀態(tài)下的振動(dòng)周期(或頻率)，叫做固有周期(或固有頻率)．1．(1)振幅就是指振子的位移．()(2)振幅就是指振子的路程．()(3)振子從離開(kāi)某位置到重新回到該位置的過(guò)程為一次全振動(dòng)過(guò)程．()提示：(1)×(2)×(3)×二、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象及公式表達(dá)1．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象(1)坐標(biāo)系的建立：以橫軸t表示簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，以縱軸x表示做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中相對(duì)平衡位置的位移．(2)圖象的意義：表示簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體在各時(shí)刻相對(duì)于平衡位置的位移．即表示簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體偏離平衡位置的位移隨時(shí)間的變化關(guān)系．(3)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖象的特點(diǎn)：一條正弦(或余弦)曲線(xiàn)，如圖所示．2．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的公式(1)表達(dá)式：x＝Asinωt＝Asineq\f(2π,T)t或x＝Asin(ωt＋φ0)．(2)公式中各符號(hào)的含義(3)圓頻率ω與周期(或頻率)的關(guān)系：ω＝eq\f(2π,T)＝2πf．2．(1)彈簧振子的x－t圖象的曲線(xiàn)就是它的運(yùn)動(dòng)軌跡．()(2)彈簧振子的位移是總以平衡位置為起點(diǎn)的位移．()(3)圖象中彈簧振子的位移－5cm小于1cm.()(4)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式不能用余弦函數(shù)表示．()提示：(1)×(2)√(3)×(4)×對(duì)振動(dòng)的理解1．全振動(dòng)的判斷方法(1)振動(dòng)特征：一個(gè)完整的振動(dòng)過(guò)程．(2)物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)第一次同時(shí)與初始狀態(tài)相同．(3)時(shí)間特征：歷時(shí)一個(gè)周期．(4)路程特征：振幅的4倍．(5)相位特征：增加2π.2．振幅與振動(dòng)中幾個(gè)常見(jiàn)量的關(guān)系(1)振幅與位移的關(guān)系：振動(dòng)中的位移是矢量，振幅是標(biāo)量，在數(shù)值上，振幅與某一時(shí)刻位移的大小可能相等，但同一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中振幅是確定的，而位移隨時(shí)間做周期性的變化．(2)振幅與路程的關(guān)系振動(dòng)中的路程是標(biāo)量，是隨時(shí)間不斷增大的．其中常用的定量關(guān)系是：①一個(gè)周期內(nèi)的路程為振幅的4倍；②半個(gè)周期內(nèi)的路程為振幅的2倍；③若從特殊位置開(kāi)始計(jì)時(shí)，如平衡位置、最大位移處，eq\f(1,4)周期內(nèi)的路程等于振幅；④若從一般位置開(kāi)始計(jì)時(shí)，eq\f(1,4)周期內(nèi)路程與振幅之間沒(méi)有確定關(guān)系，路程可能大于、等于或小于振幅．(3)振幅與周期(或頻率)的關(guān)系：在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中，一個(gè)確定的振動(dòng)系統(tǒng)的周期(或頻率)是固定的，與振幅無(wú)關(guān)．(4)振幅和振動(dòng)系統(tǒng)的能量關(guān)系：對(duì)一個(gè)確定的振動(dòng)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，系統(tǒng)的能量?jī)H由振幅決定，振幅越大，振動(dòng)系統(tǒng)的能量就越大．(1)振子以相同的速度相繼通過(guò)同一位置所經(jīng)歷的過(guò)程，也是一次全振動(dòng)．(2)振動(dòng)物體的周期(或頻率)是固有的，而振幅不是固有的，因?yàn)檎穹拇笮。鷱椈烧褡佑嘘P(guān)外還跟使它起振時(shí)外力對(duì)振子做功的多少有關(guān)．彈簧振子以O(shè)點(diǎn)為平衡位置在B、C兩點(diǎn)間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，B、C相距20cm，某時(shí)刻振子處于B點(diǎn)，經(jīng)過(guò)0.5s，振子首次到達(dá)C點(diǎn)，求：(1)振子的振幅；(2)振子的周期和頻率；(3)振子在5s內(nèi)通過(guò)的路程及5s末位移的大小．[思路點(diǎn)撥]對(duì)彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)而言，離平衡位置最遠(yuǎn)的兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于平衡位置對(duì)稱(chēng)，其距離為2A.一個(gè)全振動(dòng)的時(shí)間叫做周期，周期和頻率互為倒數(shù)關(guān)系．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移是振子離開(kāi)平衡位置的距離．要注意各物理量之間的區(qū)別與聯(lián)系．[解析](1)振幅設(shè)為A，則有2A＝BC＝20cm，所以A＝10cm.(2)從B首次到C的時(shí)間為周期的一半，因此T＝2t1＝1s；再根據(jù)周期和頻率的關(guān)系可得f＝eq\f(1,T)＝1Hz.(3)振子一個(gè)周期通過(guò)的路程為4A＝40cm，即一個(gè)周期運(yùn)動(dòng)的路程為40cm，故振子在5s內(nèi)通過(guò)的路程為s＝eq\f(t,T)×4A＝5×40cm＝200cm，5s的時(shí)間為5個(gè)周期，又回到原始點(diǎn)B，故5s末位移的大小為10cm.[答案](1)10cm(2)1s1Hz(3)200cm10cm振動(dòng)物體在一個(gè)周期內(nèi)通過(guò)的路程一定為四個(gè)振幅；在半個(gè)周期內(nèi)的路程一定為兩個(gè)振幅；在eq\f(1,4)個(gè)周期內(nèi)的路程可能等于一個(gè)振幅，可能大于一個(gè)振幅，還可能小于一個(gè)振幅．只有當(dāng)振動(dòng)物體的初始位置在平衡位置或最大位移處時(shí)，eq\f(1,4)個(gè)周期內(nèi)的路程才等于一個(gè)振幅.如圖所示，彈簧振子在BC間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，O點(diǎn)為平衡位置，BO＝OC＝5cm，若振子從B到C的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是1s，則下列說(shuō)法正確的是()A．振子從B經(jīng)O到C完成一次全振動(dòng)B．振動(dòng)周期是1s，振幅是10cmC．經(jīng)過(guò)兩次全振動(dòng)，振子通過(guò)的路程是20cmD．從B開(kāi)始經(jīng)過(guò)3s，振子通過(guò)的路程是30cm解析：選D.振子從B→O→C僅完成了半次全振動(dòng)，所以周期T＝2×1s＝2s，振幅A＝BO＝5cm.振子在一次全振動(dòng)中通過(guò)的路程為4A＝20cm，所以?xún)纱稳駝?dòng)中通過(guò)的路程為40cm，3s的時(shí)間為1.5T，所以振子通過(guò)的路程為30cm.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的理解與應(yīng)用1.圖象的建立：用橫坐標(biāo)表示振動(dòng)物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t，縱坐標(biāo)表示振動(dòng)物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中相對(duì)平衡位置的位移x，建立坐標(biāo)系，如圖甲所示．甲2．圖象意義：反映了振動(dòng)物體相對(duì)平衡位置的位移x隨時(shí)間t變化的規(guī)律．3．位移：通常以平衡位置為位移起點(diǎn)．所以位移的方向總是背離平衡位置．如圖甲所示，在x－t圖象中，某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位置在t軸上方，表示位移為正(如圖中t1、t2時(shí)刻)，某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位置在t軸下方，表示位移為負(fù)(如圖中t3、t4時(shí)刻)．4．圖象的用途(1)確定振動(dòng)物體在任一時(shí)刻的位移．如圖乙中，對(duì)應(yīng)t1、t2時(shí)刻的位移分別為x1＝＋7cm，x2＝－5cm.(2)確定振動(dòng)的振幅．圖中最大位移的值就是振幅，如圖乙表示振動(dòng)的振幅是10cm.(3)確定振動(dòng)的周期和頻率．振動(dòng)圖象上一個(gè)完整的正弦(或余弦)圖形在時(shí)間軸上拉開(kāi)的“長(zhǎng)度”表示周期．乙由圖乙可知，OD、AE、BF的間隔都等于振動(dòng)周期，T＝0.2s，頻率f＝eq\f(1,T)＝5Hz.兩個(gè)相鄰的最大值之間是一個(gè)周期，如A、E之間的時(shí)間是一個(gè)周期．(4)確定各時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向，例如在圖乙中的t1時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)正遠(yuǎn)離平衡位置向位移的正方向運(yùn)動(dòng)；在t3時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)正向著平衡位置運(yùn)動(dòng)．(5)比較不同時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)加速度的大小和方向．例如在圖乙中t1時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位移x1為正，則加速度a1為負(fù)，t2時(shí)刻x2為負(fù)，則加速度a2為正，又因?yàn)閨x1|>|x2|，所以|a1|>|a2|.(多選)彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象如圖所示，下列說(shuō)法正確的是()A．在第5秒末，振子的速度最大且沿＋x方向B．在第5秒末，振子的位移最大且沿＋x方向C．在第5秒末，振子的加速度最大且沿－x方向D．在0到5秒內(nèi)，振子通過(guò)的路程為8cm[解析]由題圖可知第5秒末時(shí)，振子處于正的最大位移處，此時(shí)有負(fù)方向的最大加速度，速度為零，故B、C正確，A錯(cuò)誤；在0到5s內(nèi)，振子先從平衡位置到正的最大位移，再經(jīng)平衡位置到負(fù)的最大位移，最后從負(fù)的最大位移經(jīng)平衡位置到正的最大位移整個(gè)過(guò)程路程為10cm，故D錯(cuò)誤．[答案]BC典型問(wèn)題——簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的多解性1．周期性造成的多解問(wèn)題：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是一種周期性的運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)過(guò)程中每一個(gè)物理量都隨時(shí)間周期性變化．因此，物體經(jīng)過(guò)同一位置可以對(duì)應(yīng)不同的時(shí)刻，物體的位移、加速度相同，而速度可能相同，也可能等大反向，這樣就形成簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的多解問(wèn)題．2．對(duì)稱(chēng)性造成的多解問(wèn)題：由于簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)具有對(duì)稱(chēng)性，因此當(dāng)物體通過(guò)兩個(gè)對(duì)稱(chēng)位置時(shí)，其位移、加速度大小相同，而速度可能相同，也可能等大反向，這種也形成多解問(wèn)題．(多選)一彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，O為平衡位置，當(dāng)它經(jīng)過(guò)O點(diǎn)時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，經(jīng)過(guò)0.3s，第一次到達(dá)M點(diǎn)，再經(jīng)過(guò)0.2s第二次到達(dá)M點(diǎn)，則彈簧振子的周期為()A．0.53s B．0.14sC．1.6s D．3s[思路點(diǎn)撥]振子通過(guò)O點(diǎn)的速度方向有兩種可能，一種是從O指向M，另一種是背離M.再利用簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)性找出周期與運(yùn)動(dòng)時(shí)間的關(guān)系．[解析]如圖甲所示，O為平衡位置，OB(OC)代表振幅，振子從O→C所需時(shí)間為eq\f(T,4).因?yàn)楹?jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)具有對(duì)稱(chēng)性，所以振子從M→C所用時(shí)間和從C→M所用時(shí)間相等，故eq\f(T,4)＝0.3s＋eq\f(0.2s,2)＝0.4s，解得T＝1.6s.如圖乙所示，若振子一開(kāi)始從平衡位置向B運(yùn)動(dòng)，設(shè)M′與M關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則振子從M′經(jīng)B到M′所用的時(shí)間與振子從M經(jīng)C到M所需時(shí)間相等，即0.2s．振子從O到M′和從M′到O及從O到M所需時(shí)間相等，為eq\f(0.3s－0.2s,3)＝eq\f(1,30)s，故周期為T(mén)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.5＋\f(1,30)))s＝eq\f(16,30)s≈0.53s.[答案]AC求解這類(lèi)問(wèn)題，要認(rèn)真分析題意，畫(huà)出振子運(yùn)動(dòng)的過(guò)程示意圖，防止漏解．也可畫(huà)出物體的x－t圖象，根據(jù)圖象分析求解.一水平彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，周期為T(mén)，則()A．若t時(shí)刻和(t＋Δt)時(shí)刻振子運(yùn)動(dòng)位移的大小相等、方向相同，則Δt一定等于T的整數(shù)倍B．若t時(shí)刻和(t＋Δt)時(shí)刻振子運(yùn)動(dòng)位移的大小相等、方向相反，則Δt一定等于eq\f(T,2)的整數(shù)倍C．若Δt＝T，則在t時(shí)刻和(t＋Δt)時(shí)刻振子振動(dòng)的加速度一定相等D．若Δt＝eq\f(T,2)，則在t時(shí)刻和(t＋Δt)時(shí)刻彈簧的長(zhǎng)度一定相等解析：選C.本題可以結(jié)合彈簧振子的運(yùn)動(dòng)示意圖和振