雙曲線雙曲線及其標準方程雙曲線型自然通風冷卻塔法拉利主題公園

雙曲線也是具有廣泛應用的一種圓錐曲線，如發電廠冷卻塔的外形、通過聲音時差測定定位等都要用到雙曲線的性質。本節將類比橢圓的研究方法研究雙曲線的有關問題。

如圖(A)P={M

||MF1|-|MF2|

=常數

}

如圖(B)P={M||MF2|-|MF1|

=常數

}

這兩條曲線合起來叫做雙曲線，每一條叫做雙曲線的一支

平面內,到兩定點,的距離的差的絕對值等于非零常數（常數）的點的軌跡叫做雙曲線，其中，叫做雙曲線的焦點，叫做焦距，記為.

雙曲線的定義

當|MF1|-|MF2|=2a時，點M的軌跡是

；當|MF2|-|MF1|=2a時，點M的軌跡是

；

若2a=2c，點M的軌跡是

；若2a>2c，點M的軌跡是

.以F1、F2為端點的兩條射線不存在雙曲線的右支雙曲線的左支練習雙曲線標準方程的推導F2F1MxOy以F1,F2所在的直線為x軸，線段F1F2的中點為原點建立直角坐標系：

2.設點．

3.限式|MF1|-|MF2|=±2a5.化簡

1.建系4.代換

則F1(-c,0),F2(c,0)

類比橢圓標準方程的化簡過程，化簡上式，得焦點在x軸的雙曲線x2項系數為正.焦點在y軸的橢圓y2項系數為正.標準方程相同點焦點位置的判斷不同點圖形焦點坐標定義a、b、c的關系c2-a2=b2平面內與兩個定點F1，F2的距離的差的絕對值等于非零常數(小于|F1F2|)的點的軌跡xF1F2yOM(x,y)xyOM(x,y)F1F2橢圓雙曲線定義方程焦點在x軸上焦點在y軸上焦點a,b,c的關系F1(－c,0),F2(c,0)a>0,b>0,c2=a2+b2

a,b,c中c最大a>b>0,a2=b2+c2

a,b,c中a最大雙曲線與橢圓之間的區別與聯系||MF1|－|MF2||=2a(a<c)|MF1|+|MF2|=2a(a>c)F1(0,－c),F2(0,c)F1(－c,0),F2(c,0)F1(0,－c),F2(0,c)題型一求雙曲線方程練習

根據下列條件，求雙曲線的標準方程.題型二根據雙曲線方程求參數

題型三雙曲線定義的應用練習已知F1、F2是雙曲線

＝1的左、右焦點，A是雙曲線右支上的動點.M(5,1)，求|AM|＋|AF2|的最小值分析畫出草圖，結合焦點三角形進行考慮.解草圖如圖所示.由雙曲線的定義，知|AM|＋|AF2|＝|AM|＋|AF1|－2a.由于點M在雙曲線右支的右邊，故由圖知當點A在線段MF1上時，|AM|＋|AF1|最小，即|AM|＋|AF2|最小.例4如圖，在△ABC中，已知|AB|＝

，且三個內角A，B，C滿足2sinA＋sinC＝2sinB，建立適當的坐標系，求頂點C的軌跡方程.題型四與雙曲線有關的軌跡問題解以AB邊所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系如圖所示，∵2sinA＋sinC＝2sinB，∴2|BC|＋|AB|＝2|AC|，由雙曲線的定義知，點C的軌跡為雙曲線的右支(除去與x軸的交點).

題型探究重點突破課堂小結返回1.雙曲線定義中||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)不要漏了絕對值符號，當2a＝|F1F2|時表示兩條射線.2.在雙曲線的標準方程中，a>b不一定成立.要注意與橢圓中a，b，c的區別.在橢圓中a2＝b2＋c2，在雙曲線中c2＝a2＋b2.