專題10數據的集中趨勢與離散程度一．選擇題（共4小題）1．（2021秋?沭陽縣期末）已知一組數據2，3，5，x，5，3有唯一的眾數3，則x的值是（）A．3 B．5 C．2 D．無法確定【分析】根據眾數的定義，結合這組數據的具體情況進行判斷即可．【解答】解：在這組已知的數據中，“3”出現2次，“5”出現2次，“2”出現1次，要使這組數據有唯一的眾數3，因此x所表示的數一定是3，故選：A．【點評】本題考查眾數的定義，掌握一組數據中出現次數最多的數據是這這組數據的眾數是正確判斷的關鍵．2．（2022春?崇川區期末）某校準備選派甲、乙、丙、丁中的一名隊員代表參加市直跳繩比賽，表中是這四名隊員選拔賽成績的平均數和方差，你覺得最適合的隊員是（）甲乙丙丁平均數（個/分）201180201180方差2.45.5132.4A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【分析】首先比較平均數，平均數相同時選擇方差較小的運動員參加即可．【解答】解：∵甲、丙成績的平均數大于乙、丁成績的平均數，∴從甲和丙中選擇一人參加比賽，∵S甲2＜S丙2，∴最適合的隊員是甲；故選：A．【點評】此題考查了平均數和方差，正確理解方差與平均數的意義是解題關鍵．3．（2021秋?灌云縣期末）小明統計了15天同一時段通過某路口的汽車流量如表：（單位：輛）汽車流量142145157156天數2256則這15天在這個時段通過該路口的汽車平均流量是（）A．153 B．154 C．155 D．156【分析】根據加權平均數的定義列式求解即可．【解答】解：這15天在這個時段通過該路口的汽車平均流量是142×2故選：A．【點評】本題主要考查加權平均數，解題的關鍵是掌握加權平均數的定義．4．（2021秋?鎮江期末）王老師為了了解本班學生每周課外閱讀時間，抽取了10名同學進行調查，調查結果統計如下：時間/小時45678人數24ab1那么這組數據的中位數和眾數分別是（）A．4，4 B．5，4 C．5，5 D．都無法確定【分析】先根據數據的總個數得出a+b＝3，再利用眾數和中位數的定義求解即可．【解答】解：∵一共抽取10名同學，∴a+b＝10﹣2﹣4﹣1＝3，∴這組數據中5出現次數最多，有4次，∴眾數為5，中位數是第5、6個數據的平均數，而第5、6個數據均為5，∴這組數據的中位數為5+5故選：C．【點評】此題考查了眾數和中位數，一組數據中出現次數最多的數據叫做眾數；將一組數據按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，如果數據的個數是奇數，則處于中間位置的數就是這組數據的中位數．如果這組數據的個數是偶數，則中間兩個數據的平均數就是這組數據的中位數．二．填空題（共4小題）5．（2022春?海安市期末）現有甲、乙兩支排球隊，每支球隊隊員身高的平均數均為1.82米，方差分別為S甲2=3.7，S乙2=【分析】根據方差的意義解答．【解答】解：∵s甲2＜s乙2，∴身高較整齊的球隊是甲隊．故答案為：甲．【點評】本題考查了方差的意義．方差是用來衡量一組數據波動大小的量，方差越大，表明這組數據偏離平均數越大，即波動越大，數據越不穩定；反之，方差越小，表明這組數據分布比較集中，各數據偏離平均數越小，即波動越小，數據越穩定．6．（2022春?通州區期末）在舉行的“慶祝建團百年”詩歌朗誦比賽中，評委分別從演講內容、演講能力、演講效果這三方面打分，小華這三項得分的成績分別為90分，80分，80分，最后再按5：3：2的得分比例計算最終得分，則小華的最終得分是85分．【分析】根據題目中的數據和加權平均數的計算方法，可以求出小華的最終得分．【解答】解：根據題意得：90×5∴小華的最終得分是85分．故答案為：85．【點評】本題考查加權平均數，解答本題的關鍵是明確加權平均數的計算方法．7．（2021秋?灌云縣期末）一組數據：2，3，2，5，3，7，5，x，它們的眾數是5，則這組數據的中位數是4．【分析】根據眾數的定義先求出x的值，再根據中位數的定義即可得出答案．【解答】解：∵數據2，3，2，5，3，7，5，x的眾數是5，∴5出現的次數是3次，∴x＝5，數據重新排列是：2，2，3，3，5，5，5，7，所以這組數據的中位數是3+5故答案為：4．【點評】本題考查了眾數、中位數，解題的關鍵是理解眾數、中位數的概念，并根據概念求出一組數據的眾數、中位數．8．（2021秋?無錫期末）某電視臺要招聘1名記者，某應聘者參加了3項素質測試，成績如下：測試項目采訪寫作計算機操作創意設計測試成績（分）828580如果將采訪寫作、計算機操作和創意設計的成績按5：2：3計算，則該應聘者的素質測試平均成績是82分．【分析】根據加權平均數的定義計算可得．【解答】解：該應聘者的素質測試平均成績是82×5故答案為：82．【點評】本題主要考查加權平均數，解題的關鍵是掌握加權平均數的定義．三．解答題（共4小題）9．（2022春?海安市期末）某校組織學生參加“防疫衛生知識競賽”（滿分為150分），為了了解某班學生在這次競賽中的表現，現隨機抽取該班10名同學的競賽成績制表如下：成績1481219088868581學生數1211131請根據表中信息，解答下列問題：（1）這10名學生競賽成績的平均數是99分，中位數是87分；（2）一名學生的成績是98.5分，他的成績如何？【分析】（1）求出各個數據之和，再除以數據個數即可得平均數；先把這些數據從小到大排列，只要找出最中間的兩個數，即可得出中位數；（2）根據中位數、平均數所反映一組數據的整體情況進行判斷即可．【解答】解：（1）這10名學生競賽成績的平均數是110×（148+121×2+90+88+86+85×3+81）＝將這10名同學的競賽成績從小到大排列，處在中間位置的兩個數的平均數為（86+88）÷2＝87（分），因此中位數是87分，故答案為：99，87；（2）∵樣本中位數為87分，平均數是99，∴一名學生的成績是98.5分，他的成績在班中處于平均水平，名次在中上．【點評】本題考查中位數、平均數，掌握中位數、平均數的計算方法是解決問題的前提，理解平均數受極端值的影響是正確判斷的關鍵．10．（2021秋?儀征市期末）某九年級學生共進行了五次體育模擬測試，已知甲、乙兩位同學五次模擬測試成績的平均分相同，小明根據甲同學的五次測試成績繪制了尚不完整的統計表，并給出了乙同學五次測試成績的方差的計算過程．甲同學五次體育模擬測試成績統計表：次數第一次第二次第三次第四次第五次成績（分）252927a30小明將乙同學五次模擬測試成績直接代入方差公式，計算過程如下：S乙2=15[（26﹣28）2+（28﹣28）2+（27﹣28）2+（29﹣28）2+（30﹣28）2]＝2（分根據上述信息，完成下列問題：（1）a的值是29；（2）根據甲、乙兩位同學這五次模擬測試成績，你認為誰的體育成績更好？并說明理由；（3）如果甲再測試1次，第六次模擬測試成績為28分，與前5次相比，甲6次模擬測試成績的方差將變小．（填“變大”“變小”或“不變”）【分析】（1）根據乙同學的方差計算過程可以確定五次測試成績的平均分，根據甲、乙兩位同學五次模擬測試成績的總分相同列方程可得a的值；（2）利用方差作比較可得結論；（3）根據方差的意義可得．【解答】解：（1）由題意得：25+29+27+a+30＝28×5，解得：a＝29，故答案為：29；（2）乙的體育成績更好，理由是：∵x甲=x乙＝28∴S甲2=15×[（25﹣28）2+（29﹣28）2+（27﹣28）2+（29﹣28）2+（30﹣28）2]＝3.2∴S乙2＜S甲2，∵兩人的平均成績相同，但乙的方差較小，說明乙的成績更穩定，∴乙的體育成績更好．（3）因為第六次模擬測試成績為28分，前5次測試成績的平均數為28分，所以甲6次模擬測試成績的方差變?。蚀鸢笧椋鹤冃。军c評】本題考查了平均數、方差的知識．解題的關鍵是牢記方差和平均數定義及計算公式．11．（2022春?崇川區期末）新冠肺炎疫情初期，我市教育局積極響應國家“停課不停學”的號召，推出了“線上課堂”．為了解直屬八年級學生每天參加“線上課堂”的時間，隨機調查了市直屬的八年級學生．根據調查結果，繪制出如圖統計圖、表（不完整），請根據相關信息，解答下列問題．時間/h3.544.555.56人數329696m35264（1）本次調查的八年級學生共為800，表格中m＝160；（2）本次統計的這組數據中，市直屬八年級學生每天參加“線上課堂”時間的眾數是5.5h；（3）若市直屬八年級學生約有10000名，請估計學生每天參加“線上課堂”的時間為5h及其以上的人數．【分析】（1）根據3.5h的人數和所占的百分比，可以計算出本次共調查的學生人數，然后即可計算出m的值；（2）根據表格中的數據，可以寫出相應的眾數；（3）根據表格中的數據，可以計算出該校八年級學生每天聽“空中課堂”的時間為5h的人數．【解答】解：（1）本次共調查的學生人數為：32÷4%＝800，m＝800×20%＝160．故答案為：800，160；（2）由統計表可知，本次統計的這組數據中，市直屬八年級學生每天參加“線上課堂”時間的眾數是5.5h．故答案為：5.5h；（3）10000×20%＝2000（人）．估計學生每天參加“線上課堂”的時間為5h及其以上的人數為2000人．【點評】本題考查眾數、中位數、用樣本估計總體，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．12．（2022春?如皋市期末）為增強學生的防疫意識，擬選拔一支代表隊參加市級防疫知識競賽，甲、乙兩支預選隊（每隊各10人）參加了舉行的選拔賽，選拔賽滿分為100分．現對甲、乙兩支預選隊的競賽成績進行整理、描述和分析，下面給出了部分信息：a．甲隊10名學生的競賽成績是：92，84，92，92，96，84，92，100，82，96b．甲、乙兩隊學生競賽成績統計表：組別甲隊乙隊平均分9187中位數m85眾數n93方差31.430（1）在甲、乙兩隊學生競賽成績統計表中，m＝92，n＝92；（2）準備從甲，乙兩支預選隊中選取成績前10名（包括第10名）的學生組成代表隊參加市級比賽，小聰的成績正好是甲乙兩隊中某一隊成績的中位數，但他卻落選了，請判斷小聰所屬的隊伍，并說明理由．【分析】（1）根據中位數和眾數的定義求解即可；（2）根據中位數的意義求解即可．【解答】解：（1）將甲隊10名學生的競賽成績重新排列為：84，84，82，92，92，92，92，96，96，100，所以這組數據的中位數m=92+922=92故答案為：92、92；（2）小聰應該屬于乙隊．理由：∵甲隊的中位數為92分高于乙隊的中位數85分，∵小聰的成績正好是本隊成績的中位數，卻不是甲、乙兩隊成績的前20名，∴小聰應該屬于乙隊．【點評】此題考查了中位數，眾數以及方差，解題的關鍵是根據圖表得出解題所需數據及中位數的定義和意義．一．選擇題（共4小題）1．（2021秋?漣水縣期末）一組數據1，x，5，7的中位數與眾數相等，則該組的平均數是（）A．3.5 B．4.5 C．5.5 D．6【分析】眾數可能是1或5或7，因此分別對眾數是1或者眾數是5或者眾數是7三種情況進行討論，再根據平均數公式計算即可求解．【解答】解：①當眾數是1時，這組數據為：1，1，5，7，中位數是（1+5）÷2＝3，∵中位數與眾數不相等，∴不符合題意；②當眾數是5時，這組數據為：1，5，5，7，中位數是5，∵中位數與眾數相等，∴該組的平均數是（1+5+5+7）÷4＝4.5；③當眾數是7時，這組數據為：1，5，7，7，中位數是（5+7）÷2＝6，∵中位數與眾數不相等，∴不符合題意；則該組的平均數是4.5．故選：B．【點評】本題結合眾數與中位數考查了確定一組數據的平均數的能力．正確運用分類討論的思想是解答本題的關鍵．注意找中位數的時候一定要先排好順序，然后再根據奇數和偶數個來確定中位數，如果數據有奇數個，則正中間的數字即為所求．如果是偶數個則找中間兩位數的平均數．2．（2020秋?泰興市期末）若甲、乙兩個樣本的平均數相等，方差分別為1.75、1.96，則下列說法正確的是（）A．甲比乙穩定 B．甲、乙一樣穩定 C．乙比甲穩定 D．無法比較【分析】根據方差的意義求解即可．【解答】解：∵甲、乙兩個樣本的方差分別為1.75、1.96，∴甲比乙穩定，故選：A．【點評】本題主要考查方差，方差是反映一組數據的波動大小的一個量．方差越大，則平均值的離散程度越大，穩定性也越??；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩定性越好．3．（2021秋?沭陽縣校級期末）某班有40人，一次體能測試后，老師對測試成績進行了統計．由于小亮沒有參加本次集體測試，因此計算其他39人的平均分為90分，方差s2＝41．后來小亮進行了補測，成績為90分，關于該班40人的測試成績，下列說法正確的是（）A．平均分不變，方差變大 B．平均分不變，方差變小 C．平均分和方差都不變 D．平均分和方差都改變【分析】根據平均數，方差的定義計算即可．【解答】解：∵小亮的成績和其他39人的平均數相同，都是90分，∴該班40人的測試成績的平均分為90分，方差變小，故選：B．【點評】本題考查方差，算術平均數等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．4．（2021?建鄴區二模）某校進行垃圾分類的環保知識競賽，進入決賽的共有15名學生，他們的決賽成績如表所示：決賽成績/分100959085人數/名2823則這15名學生決賽成績的中位數和平均數分別是（）A．95，97 B．95，93 C．95，86 D．90，95【分析】根據平均數和中位數的定義求解即可．【解答】解：這15名學生決賽成績的中位數是95分，平均數為100×2故選：B．【點評】本題主要考查平均數和中位數，解題的關鍵是掌握中位數和加權平均數的定義．二．填空題（共4小題）5．（2022?揚州模擬）某次數學測試，某班一個學習小組的六位同學的成績如下：84、75、75、92、86、99，則這六位同學成績的中位數是85．【分析】直接根據中位數的定義求解．【解答】解：將這6位同學的成績重新排列為75、75、84、86、92、99，所以這六位同學成績的中位數是84+86故答案為：85．【點評】本題考查了中位數的概念．找中位數時需要對這一組數據按照從大到小或從小到大的順序進行排序．6．（2022?淮陰區校級開學）在一次射擊訓練中，甲、乙兩人各射擊10次，兩人10次射擊成績的平均數均是9.1環，方差分別是S甲2＝1.2，S乙2＝1.6，則關于甲、乙兩人在這次射擊訓練中成績穩定的甲．（填“甲或乙”）【分析】根據方差的意義解答即可．【解答】解：∵S甲2＝1.2，S乙2＝1.6，∴S甲2＜S乙2，則甲、乙兩人在這次射擊訓練中成績穩定的是甲．故答案為：甲．【點評】本題考查了方差的意義，方差越小，越穩定．7．（2016春?江陰市期中）有一組數據如下：1，3，a，5，7，它們的平均數是4，則這組數據的方差是4．【分析】先由平均數的公式計算出a的值，再根據方差的公式計算即可．【解答】解：∵數據1，3，a，5，7的平均數是4，∴a＝4×5﹣1﹣3﹣5﹣7＝4，∴這組數據的方差是s2=15[（1﹣4）2+（3﹣4）2+（4﹣4）2+（5﹣4）2+（7﹣4）2]＝故答案為4．【點評】本題考查方差的定義與意義：一般地設n個數據，x1，x2，…xn的平均數為x，則方差S2=1n[（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x8．（2022?揚州）某射擊運動隊進行了五次射擊測試，甲、乙兩名選手的測試成績如圖所示，甲、乙兩選手成績的方差分別記為S甲2、S乙2，則S甲2＞S乙2．（填“＞”“＜”或“＝”）【分析】直接根據圖表數據的波動大小進行判斷即可．【解答】解：圖表數據可知，甲數據偏離平均數數據較大，乙數據偏離平均數數據較小，即甲的波動性較大，即方差大，故答案為：＞．【點評】本題考查方差的意義．方差是用來衡量一組數據波動大小的量，方差越大，表明這組數據偏離平均數越大，即波動越大，數據越不穩定；反之，方差越小，表明這組數據分布比較集中，各數據偏離平均數越小，即波動越小，數據越穩定．三．解答題（共4小題）9．（2022秋?海陵區校級期中）甲、乙兩名隊員參加射擊訓練，每人射擊10次，成績分別如下：根據以上信息，整理分析數據如下：平均成績/環中位數/環眾數/環方差甲a771.2乙7b8c（1）a＝7，b＝7.5，c＝4.2．（1）填空：（填“甲”或“乙”）．從中位數的角度來比較，成績較好的是乙；從眾數的角度來比較，成績較好的是乙；成績相對較穩定的是甲．（3）從甲、乙兩名隊員中選一名隊員參加比賽，選誰更合適，為什么？【分析】（1）根據平均數、中位數、方差的定義分別計算即可解決問題；（2）由表中數據可知，甲，乙平均成績相等，根據中位數即可解答；甲，乙平均成績相等，根據眾數即可解答；根據方差的意義即可解答；（3）根據表格中的數據可以得到應選派哪一名隊員參賽，注意本題答案不唯一，只要合理即可．【解答】解：（1）a=110×（5+2×6+4×7+2×8+9b=12×（7+8）＝7c=110×[（3﹣7）2+（4﹣7）2+（6﹣7）2+2×（7﹣7）2+3×（8﹣7）2+（9﹣7）2+（10﹣7）2]＝4故答案為：7，7.5，4.2；（2）由表中數據可知，甲，乙平均成績相等，乙的中位數，眾數均大于甲，說明乙的成績好于甲，乙的方差大于甲．從平均數和中位數的角度來比較，成績較好的是乙；從平均數和眾數的角度來比較，成績較好的是乙；成績相對較穩定的是甲．故答案為：乙，乙，甲；（3）選乙，理由：甲、乙兩名隊員平均成績一樣，但乙的中位數比甲高，眾數比甲高，說明乙的高分比甲多，所以選乙更合適．（答案不唯一）．【點評】本題考查了條形統計圖、折線統計圖、平均數、中位數、眾數、方差等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．10．（2022?海門市二模）峰峰老師為了解所教1班、2班同學們（各有40名學生）的經典文化知識掌握情況，從兩個班級中各隨機抽取10名學生進行了檢測，成績（百分制）如下：1班：79，85，73，80，75，59，87，70，75，97．2班：92，45，80，82，72，81，94，83，70，81．峰峰老師的簡要分析：平均分眾數中位數方差1班7875779642班7881811704請你解決以下問題：（1）若對這兩個班級的所有學生都進行檢測，估計這兩個班級內成績為優秀（不少于80分）的學生一共有多少人？（2）比較這兩個班級的經典文化知識掌握情況，哪個班級更好些？并說明理由（至少從兩個不同的角度比較）．【分析】（1）用樣本估計總體即可；（2）結合表格中的平均數、眾數、中位數以及方差等數據解答即可．【解答】解：（1）3+1答：估計這兩個班級內成績為優秀（不少于80分）的學生一共有44人；（2）從平均數看，均為78，說明兩個班的學生對經典文化知識掌握的總體水平相當；從眾數，中位數看，均是2班略高于1班，說明2班掌握的總體水平略優于1班；從方差看，1班的方程比2班小，1班數據離散程度相對小一些，說明1班所有同學經典文化知識掌握的水平相對均衡；從方差看，1班比2班好．綜上所述，2班同學對經典文化知識掌握情況更好一些．【點評】本題考查了中位數、眾數和方差的意義以及用總體估計樣本，中位數是將一組數據從小到大（或從大到?。┲匦屡帕泻?，最中間的那個數（最中間兩個數的平均數）；眾數是一組數據中出現次數最多的數據；方差是用來衡量一組數據波動大小的量．11．（2022?南通一模）某校組織學生參加“防疫衛生知識競賽”，為了解競賽情況，從兩個年級各抽取10名學生的成績（滿分為100分）．收集數據：七年級：90，95，95，80，85，90，80，90，85，100；八年級：85，85，95，80，95，90，90，90，100，90．分析數據：平均數中位數眾數方差七年級89m9039八年級n90pq根據以上信息回答下列問題：（1）m＝90，n＝90，p＝90；（2）從方差的角度看，八年級的成績更穩定（填“七年級”或“八年級”）；（3）通過數據分析，你認為哪個年級的成績比較好？說明理由；【分析】（1）根據中位數、平均數、方差、眾數的意義和建設方法進行即可；（2）根據平均數和方差進行比較即可；（3）根據平均數和方差的大小進行比較即可．【解答】解：（1）七年級10名學生成績從小到大排列，處在中間位置的兩個數都是90，因此七年級學生成績的中位數為90，即m＝90；八年級學生成績的平均數為80+85×2+90八年級學生成績出現次數最多的是90，共出現4次，因此眾數是90，即P＝90；故答案為：90，90，90；（2）八年級學生成績較好，理由是：七年級學生成績的方差q=110[（80﹣90）2+（85﹣90）2×2+（95﹣90）2+（100﹣90）2]＝30，即p＝八年級學生成績的平均數比七年級學生平均成績要高，而方差八年級比七年級的要小，因此八年級成績較好，故答案為：八年級；（3）八年級成績更好．兩個年級中位數和眾數相同，八年級的平均數比七年級高，方差比七年級小，故八年級成績更好．如學生只回答平均數或只回答方差扣兩分