第1課時雙曲線及其標準方程第三章

雙曲線及其標準方程本資料分享自千人教師QQ群323031380期待你的加入與分享1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程的推導過程.2.掌握雙曲線的標準方程及其求法.學習目標我們知道，平面內與兩個定點F1，F2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡是橢圓.那么，與兩個定點的距離的差等于常數的點的軌跡是什么呢？導語隨堂演練課時對點練一、雙曲線的定義二、雙曲線的標準方程及其推導過程三、雙曲線定義的簡單應用內容索引一、雙曲線的定義問題1

如圖，在直線l上取兩個定點A，B，P是直線l上的動點.在平面內，取定點F1，F2，以點F1為圓心、線段PA為半徑作圓，再以F2為圓心、線段PB為半徑作圓.我們知道，當點P在線段AB上運動時，如果|F1F2|＜|AB|，那么兩圓相交，其交點M的軌跡是橢圓；如果|F1F2|＞|AB|，兩圓不相交，不存在交點軌跡.如圖，在|F1F2|＞|AB|的條件下，讓P點在線段AB外運動，這時動點M滿足什么幾何條件？提示如題圖，曲線上的點滿足條件：|MF1|－|MF2|＝常數.一般地，把平面內與兩個定點F1，F2的距離的

等于非零常數(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做

.這兩個定點叫做雙曲線的

，兩焦點間的距離叫做雙曲線的

.差的絕對值雙曲線知識梳理焦點焦距注意點：(1)常數要小于兩個定點的距離.(2)如果沒有絕對值，點的軌跡表示雙曲線的一支.(3)當2a＝|F1F2|時，動點的軌跡是以F1，F2為端點的兩條方向相反的射線(包括端點).(4)當2a>|F1F2|時，動點的軌跡不存在.(5)當2a＝0時，動點軌跡為線段F1F2的垂直平分線.例1

已知A(0，－5)，B(0,5)，|PA|－|PB|＝2a，當a＝3或5時，P點的軌跡為A.雙曲線或一條直線B.雙曲線或兩條直線C.雙曲線一支或一條直線D.雙曲線一支或一條射線√解析

當a＝3時，2a＝6，此時|AB|＝10，∴點P的軌跡為雙曲線的一支(靠近點B).當a＝5時，2a＝10，此時|AB|＝10，∴點P的軌跡為射線，且是以B為端點的一條射線.反思感悟判斷點的軌跡是否為雙曲線時，要根據雙曲線的定義成立的充要條件.跟蹤訓練1

已知F1(－8,3)，F2(2,3)，動點P滿足|PF1|－|PF2|＝10，則P點的軌跡是A.雙曲線

B.雙曲線的一支C.直線

D.一條射線√解析F1，F2是定點，且|F1F2|＝10，所以滿足條件|PF1|－|PF2|＝10的點P的軌跡應為一條射線.二、雙曲線的標準方程及其推導過程問題2

類比求橢圓標準方程的過程.如何建立適當的坐標系，求出雙曲線的標準方程？提示觀察我們畫出的雙曲線，發現它也具有對稱性，而且直線F1F2是它的一條對稱軸，所以以F1，F2所在直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系Oxy，此時雙曲線的焦點分別為F1(－c，0)，F2(c，0)，焦距為2c，c>0.設P(x，y)是雙曲線上一點，則||PF1|－|PF2||＝2a(a為大于0的常數)，由雙曲線的定義知，2c>2a，即c>a，所以c2－a2>0，類比橢圓標準方程的建立過程，令b2＝c2－a2，其中b>0，代入上式，類比橢圓標準方程的化簡過程，化簡①，問題3設雙曲線的焦點為

F1和F2，焦距為2c，而且雙曲線上的動點P滿足||PF1|－|PF2||＝2a，其中c>a>0，以F1，F2所在直線為y軸，線段F1F2的垂直平分線為x軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，此時，雙曲線的標準方程是什么？焦點位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形

雙曲線的標準方程知識梳理標準方程__________________________________________焦點______________________________________a，b，c的關系b2＝________F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)c2－a2注意點：(1)若x2項的系數為正，則焦點在x軸上；若y2項的系數為正，那么焦點在y軸上.(2)a與b沒有大小關系.(3)a，b，c的關系滿足c2＝a2＋b2.解得a2＝3，b2＝5.解設雙曲線的方程為Ax2＋By2＝1，AB<0.因為點P，Q在雙曲線上，反思感悟雙曲線的標準方程(1)用待定系數法求雙曲線的標準方程時，若焦點位置不確定，可按焦點在x軸和y軸上兩種情況討論求解.解得a2＝8，b2＝4，三、雙曲線定義的簡單應用A.11 B.9 C.5

√解析由題意得||PF1|－|PF2||＝6，∴|PF2|＝|PF1|±6，∴|PF2|＝9或－3(舍去)，故選B.由雙曲線的定義和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°，所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝64，反思感悟雙曲線的定義的應用(1)已知雙曲線上一點的坐標，可以求得該點到某一焦點的距離，進而根據定義求該點到另一焦點的距離.(2)雙曲線中與焦點三角形有關的問題可以根據定義結合余弦定理、勾股定理或三角形面積公式等知識進行運算，在運算中要注意整體思想和一些變形技巧的靈活運用.√在△PF1F2中，|PF1|＝8，|PF2|＝6，|F1F2|＝10，∴△PF1F2為直角三角形，1.知識清單：(1)雙曲線的定義.(2)雙曲線的標準方程及其推導過程.(3)雙曲線定義的簡單應用.2.方法歸納：待定系數法、分類討論.3.常見誤區：雙曲線焦點位置的判斷，忽略雙曲線成立的必要條件.課堂小結隨堂演練解析

設A(1,0)，B(－1,0)，所以根據雙曲線的定義知，動點P的軌跡是雙曲線.A.橢圓

B.雙曲線C.兩條射線 D.雙曲線的一支√1234A.－2＜m＜2 B.m＞0C.m≥0 D.|m|≥2√1234解析∵已知方程表示雙曲線，∴(2＋m)(2－m)＞0.∴－2＜m＜2.√12344.已知雙曲線的焦點分別為F1(0，－3)，F2(0,3)，P是雙曲線上一點且||PF1|－|PF2||＝4，則雙曲線的標準方程為1234√解析由雙曲線的定義可得c＝3,2a＝4，即a＝2，b2＝c2－a2＝9－4＝5，且焦點在y軸上，課時對點練1.雙曲線C的兩焦點分別為(－6,0)，(6,0)，且經過點(－5，2)，則雙曲線的標準方程為√又c＝6，所以b2＝c2－a2＝36－20＝16.基礎鞏固12345678910111213141516A.(－1，＋∞) B.(2，＋∞)C.(－∞，－1)∪(2，＋∞) D.(－1,2)√12345678910111213141516∴(m－2)(m＋1)<0，解得－1<m<2，∴m的取值范圍是(－1,2).3.若雙曲線方程為x2－2y2＝1，則它的右焦點坐標為√12345678910111213141516A.17 B.7 C.22 √12345678910111213141516√∴點P可能在左支，也可能在右支，由||PF1|－|PF2||＝2a＝10，得|12－|PF2||＝10，∴|PF2|＝22或2.∴點P到另一個焦點的距離是22或2.5.已知雙曲線

(a>0，b>0)，F1，F2為其兩個焦點，若過焦點F1的直線與雙曲線的同一支相交，且所得弦長|AB|＝m，則△ABF2的周長為a

a－ma＋2m

a－2m√解析不妨設|AF2|>|AF1|，由雙曲線的定義，知|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，所以|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|BF1|)＋4a＝m＋4a，于是△ABF2的周長l＝|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2m.123456789101112131415166.已知雙曲線

上一點P到左焦點F1的距離為10，則PF1的中點N到坐標原點O的距離為或7 或14C.3 √解析設F2是雙曲線的右焦點，連接ON(圖略)，ON是△PF1F2的中位線，12345678910111213141516∵||PF1|－|PF2||＝4，|PF1|＝10，∴|PF2|＝14或6，12345678910111213141516解析設焦點為F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)，則由QF1⊥QF2，得

＝－1，12345678910111213141516又∵c2＝a2＋b2＝25，∴a2＝16，b2＝9.解析由題意，知雙曲線兩個焦點的坐標分別為12345678910111213141516設點P(x，y)，∴x2＋y2－10＝0，即x2＋y2＝10.12345678910111213141516所以設|PN|＝3k，|PM|＝4k，則|MN|＝5k.由3k＋4k＋5k＝48，得k＝4.所以|PN|＝12，|PM|＝16，|MN|＝20.以MN所在直線為x軸，以MN的中點為原點建立直角坐標系，如圖所示.12345678910111213141516由|PM|－|PN|＝4，得2a＝4，a＝2，a2＝4.由|MN|＝20，得2c＝20，c＝10，c2＝100，所以b2＝c2－a2＝100－4＝96，(1)若雙曲線上一點M到它的一個焦點的距離等于16，求點M到另一個焦點的距離；12345678910111213141516則a＝3，b＝4，c＝5，設點M到另一個焦點的距離為m，由雙曲線定義可知|m－16|＝2a＝6，解得m＝10或m＝22，即點M到另一個焦點的距離為10或22.解P是雙曲線左支上的點，|PF2|－|PF1|＝2a＝6，則|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＋|PF1|2＝36，代入|PF1|·|PF2|＝32，可得|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2×32＝100，即|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100，所以△F1PF2為直角三角形，(2)若P是雙曲線左支上的點，且|PF1|·|PF2|＝32，試求△F1PF2的面積.12345678910111213141516√12345678910111213141516綜合運用解析設|PF1|＝d1，|PF2|＝d2，12345678910111213141516①2－②2，得2d1d2＝6.而c＝2，解析在雙曲線x2－y2＝1中，a＝b＝1，c＝設P在右支上，則|PF1|－|PF2|＝2a＝2，∵∠F1PF2＝60°，在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|－|PF1||PF2|，即4c2＝4a2＋|PF1|·|PF2|，即|PF1|·|PF2∣＝4c2－4a2＝4b2＝4.12.雙曲線x2－y2＝1的左、右焦點分別為F1，F2，雙曲線上的點P滿足∠F1PF2＝60°，則|PF1|·|PF2|等于A.1 B.4 C.7 √1234567891011121314151613.動圓與圓x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，則動圓圓心的軌跡是A.雙曲線的一支

B.圓C.橢圓

D.雙曲線12345678910111213141516√解析設動圓的圓心為M，半徑為r，圓x2＋y2＝1與x2＋y2－8x＋12＝0的圓