2010級計算機應用技術專業研究生《隨機過程》課程試題1設電話總機在(0，t)內接到電話呼叫數X(t)是具有強度(每分鐘)為的泊松過程，求(1)兩分鐘內接到3次呼叫的概率；(2)“第二分鐘內收到第三次呼叫”的概率。2設到達某路口的綠、黑、灰色汽車的到達率分別為l，2，3，且均為怕松過程，它們相互獨立。若把這些汽車合并成單個輸出過程(假定無長度，無延時)，求(1)相鄰綠色汽車之間的不同到達時間間隔的概率密度；(2)汽車之間的不同到達時刻的間隔概率密度。3某商店每日8時開始營業，從8時到11時平均顧客到達率線性增加，在8時顧客平均到達率為5人／時，11時到達率達最高峰20人／時。從11時到13時，平均顧客到達率維持不變，為20人／時，從13時到17時，顧客到達率線性下降，到17時顧客到達率為12人。假定在不相重疊的時間間隔內到達商店的顧客數是相互獨立的，問在8：30一9：30問無顧客到達商店的概率是多少?在這段時間內到達商店的顧客數的數學期望是多少?第3章264設移民到某地區定居的戶數是一泊松過程，平均每周有2戶定居，即＝2。如果每戶的人口數是隨機變量，一戶四人的概率為1/6，一戶三人的概率為1/3，一戶二人的概率為1/3，一戶一人的概率為1/6，并且每戶的人口數是相互獨立的，求在五周內移民到該地區人口的數學期望與方差。5已知隨機游動的轉移概率矩陣為求三步轉移概率矩陣P(3)及當初始分布為時，經三步轉移后處于狀態3的概率。6已知本月銷售狀態的初始分布和轉移概率矩陣如下：(1)；(2)；求下一、二個月的銷售狀態分布。7某商品六年共24個季度銷售記錄如下表(狀態l一暢銷，狀態2一滯銷)季度123456789101112銷售狀態112122111212季度131415161718192021222324銷售狀態112211212111以頻率估計概率。求(1)銷售狀態的初始分布；(2)三步轉移概率矩陣及三步轉移后的銷售狀態分布。8設老鼠在下圖所示的迷宮中作隨機游動．當它處在某個方格中有k條通道時．以概率1/k隨機通過任一通道．求老鼠作隨機游動的狀態空間、轉移概率矩陣及狀態空間可分解成幾個閉集。11234567899艾倫菲特斯(Erenfest)鏈。設甲乙兩個容器共有2N個球，每隔單位時間從這2N個球中任取一球放入另一容器中，記Xn為在時刻n甲容器中球的個數，則{Xn,n>=0}是齊次馬爾科夫鏈，稱為艾倫菲特斯鏈。求該鏈的平穩分布。10設河流每天BOD(生物耗氧量)濃度為齊次馬爾可夫鰱，狀態空間I={1．2，3，4}是按BOD濃度為極低、低、中、高分別表示的，其一步轉移概率矩陣(以一天為單位)為【見筆記】若BOD濃度為高，則稱河流處于污染狀態。(1)證明該鏈是遍歷鏈；(2)求該鏈的平穩分布；(3)河流再次達到圬染的平均時間4。11設連續時間馬爾科夫鏈具有轉移概率其中是正數，表示一個生物群體在時刻t的成員總數。求柯爾莫哥洛夫方程、轉移概率。(提示：利用以下結果，若，k為實數，h(t)為連續函數，，則。)12一質點在1．2，3點上作隨機游動。若在時刻t質點位于這三個點之一，則在[t,t+h)內，它以概率分別轉移到其它二點之一。試求質點隨機游動的柯爾莫哥洛夫方程、轉移概率及平穩分布。13設某車間有M臺車床．由于各種原因車床時而工作，時而停止．假設時刻t，一臺正在工作的車床，在時刻t+h停止工作的概率為，而時刻t不工作的車床，在時刻t+h開始工作的概率為，且各車床工作情況是相互獨立的。若N(t)表示時刻t正在工作的車床數。求(1)齊次馬爾可夫過程的平穩分布；(2)若，系統處于平穩狀態時有一半以上車床在工作的概率。14排隊問題。設有一服務臺，[0,t)內到達服務臺的顧客數是服從泊松分布的隨機變量，即顧客流是泊松過程。單位時間到達服務臺的平均人數為。服務臺只有一個服務員．對顧客的服務時間是按指數分布的隨機變量，平均服務時間為1/。如果服務臺空閑時到達的顧客立即接受服務；如果顧客到達時服務員正在為另一顧客服務，則他必須排隊等候；如果顧客到達時發現已經有二人在等侯，則他就離開而不再回來。設X(t)代表在t時刻系統內的顧客人數(包括正在被服務的顧客和排隊等侯的顧客)，該人數就是系統所處的狀態。于是這個系統的狀態空間為I＝{0，1，2，3}；又設在t=0時系統處于狀態0，即服務員空閑著。求過程的Q矩陣及t時刻系統處于狀態j的絕對概率pj(t)所滿足的微分方程。15一條電路供m個焊工用電，每個焊工均是間斷用電。現作如下假設|：①若一焊工在t時用電，而在(t，t+Δt)內停止用電的概率為Δt+o(Δt)；②若一焊工在t時沒有用電，而在(t，t+Δt)內用電的概率為Δt+o(Δt)。每焊工的工作情況是相互獨立的。設X(t)表示在t時正在用電的焊工數。(1)求該過程的狀態空間和Q矩陣；(2)設X(0)＝0，求絕對概率pj(t)滿足的微分方程；(3)當t→∞時，求極限分布pj。16設[0，t)內到達的顧客服從泊松分