《平行四邊形的面積》教學設計與意圖教育研究指導中心【教學內容】《義務教育教科書·數學》（青島版）六年制五年級上冊第五單元信息窗1。【教材簡析】本節課是在學生學習了長方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形的特征及長方形、正方形面積計算的基礎上進行教學的。教材通過呈現工人安裝樓梯玻璃的場景，引入對平行四邊形面積計算的探索，為后面學習三角形、梯形、組合圖形的面積奠定基礎。通過設計多樣的活動，積累豐富的活動經驗，適時滲透轉化的數學思想方法，發展學生的空間觀念、推理能力。【教學目標】1.在觀察、實驗、猜想、證明等數學活動中，掌握平行四邊形面積的計算方法，能靈活運用平行四邊形面積公式進行正確的計算。2.經歷探索平行四邊形面積計算公式的過程，培養學生觀察、比較、推理和概括能力，感受“出入相補、以盈補虛”的數學方法，滲透轉化思想，積累數學活動經驗，發展空間觀念。3.經歷從現實情境中發現并提出問題、分析并解決問題的過程，培養學生獨立思考、長于質疑、善于反思的理性精神，形成解決問題的基本策略；在感受數學文化的過程中，了解數學的思維和精神，領略數學的精髓。4.在運用平行四邊形面積計算公式解決簡單問題的過程中，感受數學與生活的密切聯系，體會學數學、用數學的樂趣。【教學重點】理解并掌握平行四邊形面積計算公式。【教學難點】理解平行四邊形面積計算公式的推導過程。【教學過程】一、創設情境，提出問題談話：同學們，光明小學正在進行校舍改建，瞧，工人叔叔正在為樓梯安裝玻璃護欄（課件出示情境圖）。仔細觀察，你發現了哪些數學信息？預設：玻璃的形狀是平行四邊形的。這塊玻璃的底是1.2米，高是0.7米。提問：根據這些信息，你能提出什么數學問題？預設：這塊玻璃的面積是多少平方米？談話：玻璃的形狀是平行四邊形的，求玻璃的面積也就是求平行四邊形的面積，這節課我們一起來研究平行四邊形的面積。（揭示課題）【設計意圖】從生活情境引入，學生通過看圖發現信息，提出數學問題，經歷物形分離及生活問題抽象為數學問題的過程，自然過渡到本節課要解決的問題上，讓學生體會到問題解決的必要性及意義，使學生明確學習目標。二、積極思考，引發猜想談話：為了便于研究，我們以這個平行四邊形為例，誰來大膽猜一猜，怎樣計算這個平行四邊形的面積？預設1：7×5=35（cm2）。預設2：7×4=28（cm2）。談話：到底哪種猜想正確呢？我們需要驗證。三年級時我們常用數方格的方法來研究圖形的面積，方格紙是我們測量面積的基本工具，我們也把它放到方格紙上進行研究。【設計意圖】合理猜想是主動猜想的動力，學生內心深處都有一種強烈的探究學習的欲望，教師提供的開放性話題——猜測，滿足了學生這一需求，學生從長方形的面積計算聯想到平行四邊形，體現了知識的聯系性，培養了推理能力。三、操作驗證，總結公式1.遷移舊知，進行驗證談話：請你借助方格紙數一數，驗證一下哪種猜想是正確的？提問：誰來說說你的驗證方法和結果？（1）數格的方法預設：先數滿格的有22個，再把不滿一格的拼起來是6個整格，22+6=28，所以平行四邊形的面積是28平方厘米。（2）剪拼的方法預設：把平行四邊形剪開后，可以拼成一個長方形，長方形的面積是7×4=28平方厘米，那么平行四邊形的面積也是28平方厘米。談話：把平行四邊形剪拼成長方形求出它的面積，這樣數格更簡便，也驗證了28平方厘米是對的。2.動手操作，轉化圖形提問：這個平行四邊形能剪拼成長方形，是不是任意的平行四邊形都能剪拼成長方形呢？我們來驗證驗證。（課件出示探究要求）學生小組合作，教師巡視參與。談話：剛剛老師收集了幾位同學的作品，我們請他們來分享一下想法。其他同學認真看，有問題隨時質疑或補充。預設1：沿頂點的高剪。提問：為什么要沿高剪？預設：長方形四個角都是直角，沿高剪才能得到直角，有了直角才能轉化成長方形。預設2：沿中間的高剪。小結：這兩種方法剪的位置雖然不同，但都是沿這條底邊上的高剪拼的，都能拼成長方形。預設3：以另一條邊為底，沿著與它相對應的高剪開。小結：看來，任意一個平行四邊形，沿著它的任意一條高剪開、平移，都能把它轉化成我們學過的長方形，這里運用了轉化的數學方法。3.滲透文化，溝通聯系談話：同學們剛才想到的這種剪拼的方法，和兩千多年前劉徽研究面積的方法一樣。劉徽給《九章算術》做注，用“出入想補，以盈補虛”證明了圖形面積的計算方法。什么是以盈補虛？你能結合這個轉化過程說說剛才我們是怎樣“以盈補虛”的嗎？提問：以盈補虛前后面積有沒有發生變化？小結：盈和虛完全一樣，以盈補虛后面積不變。談話：其實把平行四邊形轉化成長方形，還有一種以盈補虛的方法，可以先找到一組對邊的中點，分別向底邊畫垂線，剪下兩個小三角形通過旋轉也轉化成了一個長方形。你能指一指哪是盈，哪是虛？轉化前后面積發生變化了嗎？談話：三角形可以用這種以盈補虛的方法進行轉化成我們學過的圖形嗎？（課件播放演示過程）談話：再來看這個三角形，除了上面這種以盈補虛的方法，還有不同的方法嗎？我們還可以連結兩邊的中點，將上面的小三角形通過旋轉轉化成平行四邊形，這都是以盈補虛（課件播放演示過程）。轉化前后面積有沒有變化？談話：剛才都是規則的圖形，不規則的圖形可以用以盈補虛的方法轉化成規則的圖形嗎？（課件播放演示過程）小結：通過“以盈補虛”可以把不規則的圖形轉化成規則的圖形，實現圖形的轉化。4.尋找關系，推導公式談話：以盈補虛實現圖形的轉化后，真的能幫我們解決問題嗎？我們繼續研究。拼成的長方形的面積、長、寬與原來的平行四邊形各部分之間有怎樣的關系？你能根據長方形的面積公式推導出平行四邊形的面積嗎？請同學們認真觀察，把你的發現記錄在研究報告單上。預設：拼成的長方形的面積等于原來平行四邊形的面積，長方形的長相當于平行四邊形的底；長方形的寬相當于平行四邊形的高。因為長方形的面積=長×寬，所以平行四邊形的面積=底×高。談話：我們一起再來梳理一下這個推導過程（教師完善板書）。提問：根據這個以盈補虛的過程，也能推導出平行四邊形的面積是底乘高嗎？小結：這些關系是同學們直觀看出來的，具體的證明到了初中我們會繼續學習。談話：同學們真了不起，自己推導出了平行四邊形的面積公式。如果平行四邊形的面積用s表示，底和高分別用a和h表示，你能用字母表示出平行四邊形的面積公式嗎？預設：S=ah5.梳理過程，積累經驗談話：經常回頭看一看，可以幫我們積累一些研究經驗。回想一下這個探究過程，我們是怎樣研究出平行四邊形面積公式的？預設：我們先將平行四邊形轉化為長方形，又尋找了拼成后的長方形和原來平行四邊形之間的關系，最后根據長方形的面積公式推導出了平行四邊形的面積公式。小結：剛才我們通過剪拼把平行四邊形轉化成學過的長方形，完成了新舊圖形的轉化，又通過尋找兩個圖形之間的關系，推導出了面積公式，這種“新舊轉化-尋找關系-推導公式”的方法在以后探究其他圖形面積時還會用到。6.回歸情境，解決問題談話：現在你能運用所學的知識，求出這塊玻璃的面積嗎？預設：0.7×1.2=0.84（m2）。談話：同學們一開始猜想的這個圖形的面積是7×4=28（平方厘米），為什么是對的？提問：5也是底，能不能用5×4？交流中使學生明確：底和高要一一對應。【設計意圖】在教學中，教師引導學生動腦思考、動手操作，親身經歷知識的形成過程，豐富感性經驗，進行有效的數學思考。融入“以盈補虛”的數學文化，感受古代數學家做出的偉大成就，加深學生對數學價值的認同，提升學生數學興趣，同時又為信息窗2用“以盈補虛”的方法推導三角形的面積公式打下良好的基礎。公式的推導是建立在學生對平行四邊形與長方形關系理解的基礎之上，體現了發現特點、建立聯系、形成認識的思維過程，通過回頭看梳理“新舊轉化—尋找關系—推導公式”的研究過程，為三角形面積公式的探究打下良好的基礎。四、應用公式，解決問題1.基本練習（自主練習1）學生自主解決，口頭列式。2.變式練習（自主練習6）談話：中國的“一帶一路”政策帶動了絲綢之路沿線國家的共同發展，這枚郵票，寓意著中歐班列將“一帶一路”沿線國家緊緊相連，你能計算出這枚郵票的面積嗎？學生獨立列式計算。3.拓展練習（自主練習9）提問：你能計算下面每個平行四邊形的面積，說說你有什么發現嗎？在交流中明確等底等高的平行四邊形面積是相等的。談話：剛才同學們的發現和古希臘大數學家歐幾里得在《幾何原本》中記錄的命題是一個意思，自己讀一讀。談話：歐幾里得在幾何原本中還有一個相關的命題，課下大家可以畫圖研究一下。【設計意圖】練習題的設計注意層次性，既有基礎練習，又有變式練習、拓展練習，滿足不同的學生需求，加深學生對面積公式的認識及應用，讓學生體會數學學習的價值。合理融入歐幾里得的命題，引發學生的認同感，感受數學家縝密細致、科學嚴謹的精神。五、暢談收獲，全面總結談話：同學們，通過這節課的學習，你有哪些收獲？預設1：知道了平行四邊形面積的計算公式S=ah；預設2：在平行四邊形面積的推導過程中用到了轉化的方法，我們經歷了新舊轉化-尋找關系-推導公式的過程；還知道了劉徽“以盈補虛”的方法；預設3：學會用平行四邊形面積計算公式解決生活中的實際問題。談話：同學們不但收獲了知識，還收獲了研究問題的經驗和方法，下節課我們學習三角形的面積，能不能也用以盈補虛的方法去研究呢？感興趣的同學課下可以繼續研究！【設計意圖】本環節引領學生全面回顧梳理，既關注了知識、方法，又關注了學習感受，有助于學生積累一些基本的數學活動經驗，養成全面回顧的習慣，培養學生自我反思的能力。《平行四邊形的面積》學情分析教育研究指導中心學生在學習本單元之前，已經掌握了長方形面積的算法。對于五年級學生，教師可以結合現實情境進行導入教學。利用轉化的思想讓學生自己去探索平行四邊形的面積公式，這有助于培養學生的學習興趣，也利于學生記憶。教學中要注意因勢利導，重視動手操作與實踐，引導學生探究，滲透轉化思想和以盈補虛的數學文化，交流發現，逐步培養學生的探究意識和創新精神。《平行四邊形的面積》效果分析教育研究指導中心本節課通過學生學習數學知識、全面揭示數學思維過程，啟迪和發展學生思維，將知識發生、發展過程與學生學習知識的心理活動統一起來。在這節課中，設計了剪一剪、拼一拼等學習活動，逐步引導學生觀察思考：長方形的面積與原平行四邊形的面積有什么關系？長方形的長和寬與平行四邊形的底和高有什么關系？充分利用多媒體課件演示形象、直觀，使學生得出結論：因為長方形的面積=長×寬，所以平行四邊形的面積=底×高。在此，特別注意強調底與高應該是相對應的，通過觀察、交流、討論、練習等形式，讓學生在理解公式推導的過程中學會解決問題。也促進學生猜測、驗證、抽象概況等思維能力的發展。本節課讓學生通過自主探究“以盈補虛”的數學文化，了解轉化的本質。并操作理解三角形、梯形以及不規則圖形的面積如何“以盈補虛”，為后面的學習做好鋪墊，讓學生理解文化的本質，感受數學文化的精髓。《平行四邊形的面積》教材分析教育研究指導中心本節課是在學生學習了長方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形的特征及長方形、正方形面積計算的基礎上進行教學的。教材通過呈現工人安裝樓梯玻璃的場景，引入對平行四邊形面積計算的探索，為后面學習三角形、梯形、組合圖形的面積奠定基礎。通過設計多樣的活動，積累豐富的活動經驗，適時滲透轉化的數學思想方法，發展學生的空間觀念、推理能力。《平行四邊形的面積》評測練習教育研究指導中心1.有一塊近似平行四邊形的菜地。50米平均每平方米收白菜12千克。(1)這塊菜地的面積有多少平方米?25米(2)這塊地一共收白菜多少千克?2.用硬紙條制作成一個長方形框架,長20cm,寬16cm,它的周長和面積各是多少?如果把它拉成一個平行四邊形,周長和積各有什么變化?《平行四邊形的面積》課后反思教育研究指導中心我們在教學每一部分知識的時候既要向前找,找到知識的生長點；同時還要向后看，考慮本節課要為后面的課提供哪些遷移點。從這個角度來看平行四邊形面積的研究以長方形的面積為基礎，學生在猜想平行四邊形面積計算方法的時候，會從長方形的面積計算方法聯想到平行四邊形面積也是鄰邊相乘。在驗證哪種猜想正確時，遷移三年級的研究經驗，用數方格的方法進行研究，這就突出了研究多邊形面積的兩個大概念：1.發現圖形要素之間的關系，可以幫助我們獲得圖形面積的猜想；2.測量面積的基本方法是用統一面積單位不斷累加，方格紙是測量面積的基本工具。通過實踐我們發現，很多孩子在數方格的時候就很自然的想到把平行四邊形剪拼為長方形，這樣數格更簡便，剪拼方法水到渠成，所以本節課充分尊重了學生的認知基礎，充分發揮了方格紙作為測量面積基本工具的作用。在學生想到了轉化的策略后，教師通過問題引領“是不是任意的平行四邊形都能剪拼成長方形”，激起學生的探究欲望，進而轉化圖形。教材對于轉化圖形呈現了兩種剪拼法，一種是沿著平行四邊形頂點處的高剪開，一種是沿著中間任意一點處的高剪開。仔細分析，教材中的第一種剪拼法就是“以盈補虛”，因此我在兩種剪拼法后面增加了“小博士”介紹《九章算術注》中“以盈補虛”原理，為信息窗2用“剪拼”法推導三角形的面積公式打下良好的基礎。平行四邊形的面積”是開啟“轉化”的一課，課中讓學生想一想根據長方形的面積公式怎樣求平行四邊形的面積？借助研究報告單引領學生明確找什么關系，根據什么推導平行四邊形的面積公式；通過引領學生回頭看和數學文化的融入，拓展以盈補虛，突出方法的提升，從而構建模型，了解新舊轉化-尋找關系-推導公式這一探究過程，為后面學習三角形的面積奠定方法基礎。《平行四邊形的面積》課標分析教育研究指導中心1.課程性質:《數學課程標準》指出要重視學生在學習活動中的主體地位。本節課是圖形面積的教學課,在探索知識的過程中,組織學生操作實驗、觀察想象、提出猜想、推理論證等,有效地啟發學生的思考,使學生成為學習的主體,逐步學會學習。2.基本理念:本節課的設計重視讓