4.5.3函數模型的應用一、知識回顧

思考探究解決實際應用問題的關鍵是什么？提示解決實際應用問題的關鍵是選擇和建立恰當的函數模型.（二）對于一次函數、指數函數、對數函數，函數變化的速度有什么不同？1.已知函數模型問題例1.人口問題是當今世界各國普遍關注的問題.認識人口數量的變化規律，可以為有效控制人口增長提供依據.早在1798年，英國經濟學家馬爾薩斯(T.R.Malthus,1766—1834)就提出了自然狀態下的人口增長模型：y=y0ert，其中t表示經過的時間，y0表示t=0時的人口數，r表示人口的年平均增長率.二、問題探究（1）根據國家統計局網站公布的數據，我國1950年末、1959年末的人口數分別為55196萬和67207萬.根據這些數據，用馬爾薩斯人口增長模型建立我國在1950～1959年期間的具體人口增長模型.（2）利用（1）中的模型計算1951～1958年各年末的人口總數.查閱國家統計局網站公布的我國在1951～1958年間各年末的實際人口總數，檢驗所得模型與實際人口數據是否相符.（3）以（1）中的模型作預測，大約在什么時候我國的人口總數達到13億？設置探究問題：(1)本例中所涉及的數量有哪些?答：經過t年后的人口數y,y0；人口年平均增長率r；經過的時間t以及1950～1959年我國的人口數據.(2)描述所涉及數量之間關系的函數模型是否是確定的?確定這種函數模型需要幾個因素?答：是；兩個,即y0和r.(3)根據表中數據如何確定函數模型?答：先求1951～1959年各年的人口增長率,再求年平均增長率r,確定y0的值,從而確定人口增長模型.(4)對所確定的函數模型怎樣進行檢驗?根據檢驗結果對函數模型又應作出如何評價?答:作出人口增長函數的圖象,再在同一直角坐標系上根據表中數據作出散點圖,觀察散點是否在圖象上.(5)如何根據所確定的函數模型具體預測我國某個時期的人口數,實質是何種計算方法?答:已知函數值,求自變量的值.解：（1）由題意知y-0=55196，設1950～1959年期間我國人口的年平均增長率為r,根據馬爾薩斯人口增長模型，有67201=55196e9r,由計算工具得r≈0.021876.因此我國在1950~1959年期間的人口增長模型為：y=55196e0.021876t，t∈[0,9].（2）分別取t=1,2，…，8，由：y=55196e0.021876t

可得我國在1951～1958年間的各年末人口總數；查閱國家統計局網站，得到我國在1951～1958年各年末人口總數，如表所示：下表是1951～1958年我國的人口數據資料：年份19511952195319541955195619571958計算所得人口總數/萬5641757665589406024361576629386433065753實際人口總數/萬5630057482587966026661465628286456365994由表和圖可以看出，所得模型與1950～1959年的實際人口數據基本吻合.（3）將y=130000代入y=55196e0.021876t，由計算器可t≈39.15.所以，如果按表的增長趨勢，那么大約在1950年后的第40年（即1990年）我國的人口就已達到13億.2.擬合函數模型問題例2.假設你有一筆資金用于投資，現有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：方案一：每天回報40元；方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回

報10元；方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番．請問，你會選擇哪種投資方案？問題1：你能幫我分析比較三種方案每天回報的多少情況嗎？探究1：(1)各方案每天回報的變化情況可用什么函數模型來反映？請寫出各函數的解析式.方案一的函數模型：y=40(x∈N*)；方案二的函數模型：y=10x(x∈N*)；方案三的函數模型：y=0.4×2x-1(x∈N*).（2）為了直觀表現各方案每天回報的變化情況可用什么方法表示上述三個函數？x/天

方案一

方案二

方案三

y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元140010

0.4

240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.8…………………3040030010214748364.8107374182.4探究2：（1）根據例1中表格所提供的數據，你對三種方案分別表現出的回報資金的增長差異有什么認識？（2）你能借助計算器或計算機作出函數圖象，并通過圖象描述一下三種方案的特點嗎？結論：投資1～6天，應選擇方案一；投資7天，應選擇方案一或方案二；投資8～10天，應選擇方案二；投資11天（含11天）以上，應選擇方案三.例3.某地區不同身高的未成年男性的體重平均值如表：身高/cm60708090100110體重/kg6.137.909.9012.1515.0217.50身高/cm120130140150160170體重/kg20.9226.8631.1138.8547.2555.05（1）根據表提供的數據，能否建立恰當的函數模型，使它能比較近似地反映這個地區未成年男性體重ykg與身高xcm的函數關系？思考1:上表提供的數據對應的散點圖大致如何？身高（cm）體重（kg）o思考2:根據這些點的分布情況，可以選用那個函數模型進行擬合，使它能比較近似地反映這個地區未成年男性體重與身高的函數關系？指數型函數模型y=a·bx，因為它的圖象與散點的變化趨勢最相似.

身高（cm）體重（kg）o思考3:如何求出函數關系式中參數a,b？身高（cm）體重（kg）o

將已知數據代入上述函數解析式，或作出函數圖像，就可以發現，這個函數模型與已知數據：擬合程度較好.

這說明它能較好地反映這個地區未成年男性體重與身高的關系問題2:若體重超過相同身高男性體重平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么這個地區一名身高為175cm,體重為78kg的在校男生的體重是否正常？（2）將x=175代入y=2×1.02x得y=2×1.02175，由計算器算得y≈63.98.由于78÷63.98≈1.22＞1.2，所以，這個男生偏胖.思考4:這個例題有什么特點？此類問題由數據不能直接得出確定的函數模型，需要畫散點圖，通過圖象特點選擇合適的函數模型，再通過代入點的坐標求出近似模型，再對實際問題作出預測.思考5:你能總結一下用擬合函數解決應用性問題的基本過程嗎？收集數據畫散點圖選擇函數模型求函數模型檢驗用函數模型解釋實際問題YesNo三、課堂練習1．某商店某種商品進貨價為每件40元，當售價為50元時，一個月能賣出500件．通過市場調查發現，若每件商品的單價每提高1元，則該商品一個月的銷售量會減少10件．商店為使銷售商品的月利潤最高，應將該商品每件定價為(

)A．70元B．65元

C．60元

D．55元解析：設該商品每件單價提高x元，銷售該商品的月利潤為y元，則y＝(10＋x)(500－10x)＝－10x2＋400x＋5000＝－10(x－20)2＋9000∴當x＝20時，ymax＝9000，此時每件定價為50＋20＝70元.A2．以每秒a米的速度從地面垂直向上發射子彈，t秒后的高度x米可由x＝at－4.9t2確定，已知5秒后子彈高245米，問子彈保持245米以上(含245米)高度共有(

)A．4秒 B．5秒

C．6秒

D．7秒解析：已知x＝at－4.9t2，由條件t＝5秒時，x＝245米，得a＝73.5，所以x＝73.5t－4.9t2.子彈保持在245米以上(含245米)，即x≥245，所以73.5t－4.9t2≥245.解得5≤t≤10.因此，子彈保持在245米以上的高度有5秒．B3.某企業決定從甲、乙兩種暢銷產品中選擇一種進行投資生產打入國際市場，已知投資生產這兩種產品的有關數據如下表(單位：萬美元)，其中年固定成本與生產件數無關，a為常數，且4≤a≤8，另外年銷售乙產品x件時需上交0.05x2萬美元的特別關稅.項目類別年固定成本每件產品成本每件產品銷售價每年最多生產件數甲產品30a10200乙產品50818120(1)寫出該廠分別投資生產甲、乙兩種產品的年利潤y1，y2與生產件數x(x∈N)的函數關系式；(2)分別寫出投資生產這兩種產品的最大年利潤；(3)如何決定投資可獲得大利潤？解：由題意，(1)y1＝(10－a)x－30,0≤x≤200，x∈N，y2＝－0.05x2＋10x－50,0≤x≤120，x∈N.(2)∵y1在[0,200]上是增函數，∴y1max＝200(10－a)－30＝1970－200a.∵y2＝－0.05(x－100)2＋450，∴當x＝100時，y2max＝450