基于正態分布的相鄰交叉口交通流建模與仿真

與公路，尤其是高速公路的連續交通流不同，城市交通交通流屬于間歇性交通流。由于信號交叉口在紅色信號期間的壓縮和切割，離開交叉口的車流被分成幾個團隊，并以組的形式分發給不同的車輛。同時，不同的車輛行駛條件和特點使每輛車的行駛速度不同，通常前面的車輛更快，后面的車輛更慢。隨著車輛向下游移動的過程，車隊越多，“分散現象”的現象越來越大。這種現象對相鄰交叉口的信號控制系統非常重要，但色散現象也非常復雜。現有車隊離散模型主要分為Robertson流量模型和Pacey密度模型.Pacey針對車隊離散問題提出了車速分布的正態分布模型.Grace等提出了基于Pacey正態分布模型的描述車隊密度變化的離散模型.Robertson依據Hillier等所收集的數據,提出了一種使用離散迭代技術的經驗車隊離散模型.該模型已廣泛應用在TRANSYT、SCOOT、SATURN和TRAFLO等交通仿真模型及控制系統中.Seddon通過改寫Robertson模型,發現此模型是基于流量服從幾何分布這一假設的.文獻利用上海城市道路上的實測數據對Grace的車輛密度模型進行了研究,提出了交通啟動波時間損失矯正,并分析了模型在信號協調控制中的車隊截尾問題.全永燊等通過調查北京市典型道路的車流運動過程,研究了我國城市道路交通流的離散規律及其影響因素,并通過交通模擬提出了適合我國交通特點的Robertson車隊離散模型的離散系數.王殿海等采用多點攝像法對長春市的2個路段交通流進行了實地調查,對車輛行駛速度及行駛時間分布進行了擬合,分析了各離散模型的適用范圍,提出了一種描述車輛行駛時間的、基于無變換正態分布的車隊離散模型,發現該模型比Pacey模型更符合實測數據.我國大城市主道路公交車流量普遍較大,公交車行駛的交通流環境主要分混合交通流、公交專用道和快速公交系統(BRT).目前,有關公交車隊的離散規律未見報道.因此,有必要研究適合我國國情的公交車隊離散模型,特別是混合車流中公交車流量較大情況下的公交車隊離散模型,為信號協調控制及公交優先控制提供理論基礎.文中以城市路段和公交車、小汽車混合運行交通流為研究對象,根據公交車輛的運行特性,引入公交停靠站延誤參數,通過交通試驗的設計和數據處理分析,利用截斷正態分布模型研究了公交車隊的離散規律,給出了該模型在相鄰交叉口間有一個停靠站的信號燈協調控制中的應用,以驗證該模型的有效性.1公共汽車公司的解體模型1.1[vm,vf]的正態分布取值我國大城市公交車與小汽車混合行駛現象較為明顯,公交車的機動性和運行速度均遠不如小汽車.同時,公交車的運行速度受乘客上下車及時刻表到達準時性要求的影響.從圖1可以看出,公交車隊具有明顯的車速分布區間,因此,Pacey模型中車速服從負無窮大到正無窮大的正態分布的假設明顯不適用于公交車隊.文中將公交車速的正態分布的取值區間修正為[vm,vf],其中vm和vf分別為最小速度和自由流速度,則其相應的概率密度函數修正為f′(v)={c1√2σe-0.5(v-μσ)2,vm≤v≤vf0?其他(1)式中,μ和σ分別為速度均值和速度標準差,參數c保證f′(v)在區間[vm,vf]的累積概率為1.在區間[vm,vf]上,因為F′(v)=c[F(v)-F(vm)],所以有c-1=F(vm≤v≤vf)=?(vf/σ-μ/σ)-?(vm/σ-μ/σ),可依照正態分布計算得到c.f′(v)的截斷正態分布函數F′(v)可按如下3種情況進行計算:1)當v<vm時,F′(v)=∫v-∞f′(u)du=0;2)當vm≤v≤vf時,F′(v)=∫v-∞f′(u)du=∫vvmf′(u)du=c∫v-∞1√2σe-0.5(u-μσ)2du-∫vm-∞1√2σe-0.5(u-μσ)2du=c[F(v)-F(vm)];3)當v>vf時,F′(v)=∫vvmf′(u)du=∫vfvmf′(u)du=c[F(vf)-F(vm)]=1.1.2u3000停靠站模型假設上游交叉口的綠燈開始時刻和停車線斷面位置分別為t=0和x=0,則排隊車輛在t=0時刻分布于停車線后斷面x的密度函數k(x,0)為k(x,0)=0,x>0或x<-akj,-a≤x≤0式中,a為車隊的排隊長度,kj為該交叉口在排隊范圍內的擁擠密度.不失一般性,文中取在相鄰交叉口間有一個停靠站的路段(如有若干停靠站,分析方法相同)為研究對象,上游交叉口排隊公交車輛在綠燈開始時刻(t=0)從它們各自的停車位置(x-vt∈[-a,0])出發,按照截斷正態分布規律以不同的速度v勻速行駛一段時間t,車隊頭部駛過和車隊尾部未駛過下游斷面x(可為實際或虛擬交叉口)的車輛數分別為A(x,t)和B(x,t),可知:A(x,t)=∫tvfxk(y,t)dy(3)B(x,t)=kja-A(x,t)=∫xtvm-ak(y,t)dy(4)式中,k(y,t)為車隊在t時刻分布在下游路段斷面x=y處的車輛密度函數,k(x,t)=∫vfvmf′(v)k(x-vt,0)dv={0,x>tvf或x<tvm-akj∫x/t+a/tvmf′(v)dv,tvm-a≤x<tvmkj∫x/t+a/tx/tf′(v)dv,tvm≤x≤tvf-akj∫vfx/tf′(v)dv,tvf-a<x≤tvf(5)對于相鄰交叉口間有停靠站的路段,公交車停靠必然會帶來延誤,包括進站前減速、乘客上車、出站加速,而信號控制關心的是停靠站下游的公交車隊的到達規律,為此,文中引入公交車停靠站延誤,將密度函數修正為k(x,t)={∫vfvmf′(v)k(x-vt,0)dv,x<ΔL∫vfvmf′(v)k(x-v(t-Δt),0)dv,x≥ΔL(6)式中,Δt為公交車平均停靠站延誤時間,ΔL為上游交叉口到停靠站的距離.令u=(v-μ)/σ和離散率α=σ/μ,則∫v2v1f′(v)dv=c∫(v2-μ)/σ(v1-μ)/σ1√2[XC<圓周率1.EΡS>,JΖ;Ρ]e-0.5u2du=c∫(tv2/μ-t)/(αt)(tv1/μ-t)/(αt)1√2[XC<圓周率1.EΡS>,JΖ;Ρ]e-0.5u2du=c2[F(z)]z2(x2)z1(x1)(7)式中:z2(x2)=(x2/μ-t)/(√2αt)=(tv2/μ-t)/(√2αt);z1(x1)=(x1/μ-t)/(√2αt)=(tv1/μ-t)/(√2αt);v1和v2為常數;F(z)為標準正態分布函數,F(z)=2∫√2z012[XC<圓周率1.EΡS>,JΖ;Ρ]e-0.5u2du=2[XC<圓周率1.EΡS>,JΖ;Ρ]∫0ze-u2du.令zm1=(tvm/μ-t)/(2αt),zm2=(tvm/μ+a/μ-t)/(2αt),zf1=(tvf/μ-a/μ-t)/(2αt),zf2=(tvf/μ-t)/(2αt),zx1=(x/μ-t)/(2αt),zx2=(x/μ+a/μ-t)/(2αt),根據式(6)和(7),推導出k(x,t)的計算公式為k(x,t)={0,x>tvf或x<tvm-ackj2[F(z)]zm1zx2,tvm-a≤x<tvmckj2[F(z)]zx1zx2,tvm≤x≤tvf-ackj2[F(z)]zx1zf2,tvf-a<x≤tvf(8)令G(z)=∫F(z)dz=zF(z)+(1/)exp(-z2),根據式(8)可計算車隊在路段[x1,x2]上分布的車輛數:∫x1x2k(y,t)dy=ckj2∫x1x2[F(z2(y))-F(z1(y))]dy=2ckjμαt2∫z2(x1)z2(x2)F(y)dy-∫z1(x1)z1(x2)F(y)dy=2ckjμαt2[G(z)]z2(x2)z2(x1)-[G(z)]z1(x2)z1(x1)(9)根據式(8)和(9),A(x,t)和B(x,t)可分如下5種情況進行計算:1)當x>tvf時,A(x,t)=0,B(x,t)=∫tvmtvm-ak(y,t)dy+∫tvf-atvmk(y,t)dy+∫tvf-atvfk(y,t)dy=2ckjμαt2[G(z)]zm2zm1+[G(z)]zf2zm2-[G(z)]zf1zm1-[G(z)]zf2zf1+ckj2aF(zf2)-ckj2aF(zm1);2)當tvf-a<x≤tvf時,A(x,t)=∫xtvfk(y,t)dy=ckj2(tvf-x)F(zf2)-2ckjμαt2[G(z)]zx1zf2,B(x,t)=∫tvm-atvmk(y,t)dy+∫tvmtvf-ak(y,t)dy+∫xtvf-ak(y,t)dy=2ckjμαt2[G(z)]zm2zm1+[G(z)]zf2zm2-[G(z)]zf1zm1-[G(z)]zx1zf1-ckj2aF(zm1)+ckj2(x-tvf+a)F(zf2);3)當tvm≤x≤tvf-a時,A(x,t)=∫tvf-axk(y,t)dy+∫tvf-atvfk(y,t)dy=2ckjμαt2[G(z)]zf2zx2-[G(z)]zf1zx1-[G(z)]zf2zf1+ckj2aF(zf2),B(x,t)=∫tvm-atvmk(y,t)dy+∫xtvmk(y,t)dy=2ckjμαt2[G(z)]zm2zm1+[G(z)]zx2zm2-[G(z)]zx1zm1-ckj2aF(zm1);4)當tvm-a≤x<tvm時,A(x,t)=∫tvmxk(y,t)dy+∫tvmtvf-ak(y,t)dy+∫tvf-atvfk(y,t)dy=2ckjμαt2[G(z)]zm2zx2+[G(z)]zf2zm2-[G(z)]zf1zm1-[G(z)]zf2zf1-ckj2(tvm-x)F(zm1)+ckj2aF(zf2),B(x,t)=∫xtvm-ak(y,t)dy=2ckjμαt2[G(z)]zm1zx2-ckj2(x-tvm+a)F(zm1);5)當x<tvm-a時,A(x,t)=∫tvmtvm-ak(y,t)dy+∫tvmtvf-ak(y,t)dy+∫tvf-atvfk(y,t)dy=2ckjμαt2[G(z)]zm2zm1+[G(z)]zf2zm2-[G(z)]zf1zm1-[G(z)]zf2zf1+ckj2aF(zf2)-ckj2aF(zm1),B(x,t)=0.在t時刻通過下游位置x的流量模式函數為q(x,t)=A(x,t)/t=-B(x,t)/t,可根據式(8)和(9)進行計算:1)當x>tvf時,q(x,t)=0;2)當tvf-a<x≤tvf時,q(x,t)=(∫xtvfk(y,t)dy)t=ckjvf2F(zf2)-2ckjμα2[G(z)]zx1zf2-cxkjt-12F(zx1);3)當tvm≤x≤tvf-a時,q(x,t)=(∫xtvf-ak(y,t)dy+∫tvf-atvfk(y,t)dy)t=2ckjμα2[G(z)]zf2zx2-[G(z)]zf1zx1-[G(z)]zf2zf1+ckjt-12[(x+a)F(zx2)-xF(zx1)];4)當tvm-a≤x<tvm時,q(x,t)=(∫xtvmk(y,t)dy+∫tvmtvf-ak(y,t)dy+∫tvf-atvfk(y,t)dy)t=2ckjμα2[G(z)]zm2zx2+[G(z)]zf2zm2-[G(z)]zf1zm1-[G(z)]zf2zf1+c(x+a)kjt-12F(zx2)-ckjvm2F(zm1);5)當x<tvm-a時,q(x,t)=0.若x取值為上下游交叉口(可為虛擬交叉口)的停車線位置,則可以定量分析上游交叉口的整個公交車隊在綠燈開始后的離散規律,以及它是如何影響下游交叉口綠燈開啟時間的設置的,據此還可以計算公交車隊在交叉口的延誤、停車次數及排隊長度等重要交通流參數,為信號協調及公交優先控制提供依據.2初始信息獲取為了獲取模型參數,筆者在廣州市五山路選擇了雙向四車道(單向二車道)公交車和社會車輛混合運行路段開展交通試驗調查,所調查路段有14條公交線路,高峰期公交車流量占總流量的20%.通過拍攝車輛牌照獲取車輛在路段中的平均行程時間,經轉換后可得到平均行程速度.獲取的該路段的初始信息如表1和圖1(a)所示.將該路段分為上段和下段,在上段的中游有一個公交停靠站,所獲取的上段公交車行程時間包括站點停靠站時間和車輛減速加速時間;L為路段長度;N為樣本數量.為了得到公交車的平均延誤時間及上段的公交車行駛速度,根據上段與下段道路條件的相似性,利用下段的平均行駛速度來估計上段的平均行駛速度,并用下段的車速范圍衡量上段的合理車速范圍,從而得到上段每輛公交車的行駛速度,再經數據擬合得到上段的公交車數據如下:最小速度為26.6km/h、自由流速度為49.7km/h、速度均值為38.9km/h、速度標準差為6.21km/h、停站延誤25s,所得公交車速分布如圖1(b)所示.3公交車公司的分散特征分析3.1tvm-a/tvf密度分布函數k(x,t)是車隊離散規律分析的基礎,分析k(x,t)的變化規律對信號協調及公交優先控制應用中下游交叉口的綠燈時間設置具有價值.一般情況下,如果設下游交叉口的綠燈時間為t0=xd/μ,即上游車隊車輛以平均速度行駛至下游交叉口時下游交叉口綠燈時間開始,則當xd=ΔL時,文中模型的公交車隊于時間點t=ΔL/vf-10、ΔL/vf、ΔL/μ及(ΔL+a)/vm+Δt在下游斷面x上的密度分布如圖2所示.從圖2可知:①在上游綠燈開始初期,即t∈[0,ΔL/vf)時,車隊分布在路段[tvm-a,tvf]上,其頭部的車輛還未抵達下游交叉口斷面x=xd,tvf<xd,k(xd,t)=0;當車隊行駛一段時間,即t∈[ΔL/vf,(ΔL+a)/vm+Δt)時,開始有車輛通過下游交叉口斷面x=xd,tvm-a≤xd≤tvf,k(xd,t)≠0;再經過一段時間,即t∈[(ΔL+a)/vm+Δt,+∞)時,車隊尾部的車輛已全部通過下游交叉口斷面x=xd,tvm-a>xd,且k(xd,t)=0.②在t時刻,整個公交車隊的車輛以不同速度v分布在下游路段x(x∈[tvm-a,tvf])上,因為車速密度函數服從截斷正態分布,所以車速在均值附近的車輛數較多,在速度較大及較小的兩端車輛數較少,車隊在該路段中間部分的k(x,t)較大,在路段兩端的k(x,t)逐漸減小.隨著時間的推移,整個車隊在路段[tvm-a,tvf]上的分布越離散,公交車隊密度函數k(x,t)的峰值越小.3.2車輛通過下游455.2.2如果初始下游交叉口的綠燈開始時間設置為t0=xd/μ,即假設車隊以平均速度行駛至下游交叉口時綠燈啟動,因為車隊頭部車輛的行駛速度大于μ,所以下游交叉口的綠燈開始時間必須比t0提前一定時間th才能讓車隊頭部的車輛通過交叉口,即在t=t0-th時刻整個車隊通過下游交叉口x=xd的車輛數為A(xd,t0-th).根據式(3)計算文中模型的A(xd,t0-th),結果如表2所示.隨著下游交叉口與上游交叉口之間距離xd的增大,車隊頭部通過斷面xd的車輛車速的取值范圍[μ+a/t0,vf]逐漸變大,導致A(xd,t0)變大,即需要更多的提前時間th才能允許車隊頭部的車輛通過下游交叉口.一般情況,假設下游交叉口綠燈終止時間為t0=xd/μ.根據車隊離散模型,因為車隊尾部車輛的行駛速度均小于μ,所以該交叉口的綠燈終止時間必須延長一定時間tt以讓車隊尾部的車輛盡可能駛過,即在t=tt+t0時刻整個車隊在下游交叉口x=xd處被截住的車輛數為B(xd,tt+t0).根據式(4)計算文中模型的B(xd,tt+t0),結果如表3所示.隨著下游交叉口與上游交叉口之間距離xd的增大,B(xd,t0)逐漸變小,因此,需要更多的后延時間tt才能讓車隊尾部的車輛盡可能通過下游交叉口.3.3基于q0,t的模式一般情況下,下游交叉口的計劃綠燈開始時間設置為t0=xd/μ.對于不同的x,計算上游交叉口的車隊車輛在t