黑河市重點中學2023-2024學年數學高二上期末預測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．隨著城市生活節奏的加快，網上訂餐成為很多上班族的選擇，下表是某外賣騎手某時間段訂餐數量與送餐里程的統計數據表：訂餐數/份122331送餐里程/里153045現已求得上表數據的回歸方程中的值為1.5，則據此回歸模型可以預測，訂餐100份外賣騎手所行駛的路程約為（）A.155里 B.145里C.147里 D.148里2．橢圓的焦點為、，上頂點為，若，則（）A B.C. D.3．已知，，，則下列判斷正確的是（）A. B.C. D.4．已知，，，其中，，，則（）A. B.C. D.5．橢圓離心率是（）A. B.C. D.6．中國古代數學著作《算法統宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數，請公仔細算相還．”其意思為：有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，請問第二天走了（）A192

里 B.96

里C.48

里 D.24

里7．已知關于的不等式的解集是，則的值是（）A. B.5C. D.78．若函數在區間內存在單調遞增區間，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.9．已知，是球的球面上兩點，，為該球面上的動點，若三棱錐體積的最大值為36，則球的表面積為（）A. B.C. D.10．下列拋物線中，以點為焦點的是（）A. B.C. D.11．2021年小林大學畢業后，9月1日開始工作，他決定給自己開一張儲蓄銀行卡，每月的10號存錢至該銀行卡（假設當天存錢次日到賬）.2021年9月10日他給卡上存入1元，以后每月存的錢數比上個月多一倍，則他這張銀行卡賬上存錢總額（不含銀行利息）首次達到1萬元的時間為（）A.2022年12月11日 B.2022年11月11日C.2022年10月11日 D.2022年9月11日12．在中，內角所對的邊為，若，，，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若直線與平行，則實數________.14．如果點在運動過程中，總滿足關系式，記滿足此條件的點M的軌跡為C，直線與C交于D，E，已知，則周長的最大值為______15．若向量，且夾角的余弦值為________16．已知直線與曲線，在曲線上隨機取一點，則點到直線的距離不大于的概率為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：（a>b>0）的左、右焦點分別為，其離心率，且橢圓C經過點.（1）求橢圓C的標準方程；（2）過點M作兩條不同的直線與橢圓C分別交于點A，B（均異于點M）.若∠AMB的角平分線與y軸平行，試探究直線AB的斜率是否為定值？若是，請給予證明；若不是，請說明理由.18．（12分）已知函數.（1）求的單調區間；（2）求函數在區間上的最大值與最小值.19．（12分）在三棱錐A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O為BD的中點，AO⊥平面BCD，AO=2，E為AC的中點（1）求直線AB與DE所成角的余弦值；（2）若點F在BC上，滿足BF=BC，設二面角F—DE—C的大小為θ，求sinθ的值20．（12分）新疆長絨棉品質優良，纖維柔長，被世人譽為“棉中極品”，產于我國新疆的吐魯番盆地、塔里木盆地的阿克蘇、喀什等地.棉花的纖維長度是評價棉花質量的重要指標之一，在新疆某地區成熟的長絨棉中隨機抽測了一批棉花的纖維長度（單位：mm），將樣本數據制成頻率分布直方圖如下：（1）求的值；（2）估計該樣本數據的平均數（同一組中的數據用該組數據區間的中點值為代表）；（3）根據棉花纖維長度將棉花等級劃分如下：纖維長度小于30mm大于等于30mm，小于40mm大于等于40mm等級二等品一等品特等品從該地區成熟的棉花中隨機抽測兩根棉花的纖維長度，用樣本的頻率估計概率，求至少有一根棉花纖維長度達到特等品的概率.21．（12分）已知等差數列的前和為，數列是公比為2的等比數列，且，（1）求數列和數列的通項公式；（2）現由數列與按照下列方式構造成新的數列①將數列中的項去掉數列中的項，按原來的順序構成新數列；②數列與中的所有項分別構成集合與，將集合中的所有元素從小到大依次排列構成一個新數列;在以上兩個條件中任選一個做為已知條件，求數列的前30項和.22．（10分）設正項數列的前項和為，已知，（1）求數列的通項公式；（2）數列滿足，數列的前項和為，若不等式對一切恒成立，求的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】由統計數據求樣本中心，根據樣本中心在回歸直線上求得，即可得回歸方程，進而估計時的y值即可.【詳解】由題意：，，則，可得，故，當時，.故選：C2、C【解析】分析出為等邊三角形，可得出，進而可得出關于的等式，即可解得的值.【詳解】在橢圓中，，，，如下圖所示：因為橢圓的上頂點為點，焦點為、，所以，，為等邊三角形，則，即，因此，.故選：C.3、A【解析】根據對數函數的單調性，以及根式的運算，確定的大小關系，則問題得解.【詳解】因為，即；又，故.故選：A.4、C【解析】先令函數，求導判斷函數的單調性，并作出函數的圖像，由函數的單調性判斷，再由對稱性可得.【詳解】由，則，同理，，令，則，當；當，∴在上單調遞減，單調遞增，所以，即可得，又，，由圖的對稱性可知，.故選：C5、C【解析】將方程轉化為橢圓的標準方程，求得a，c，再由離心率公式求得答案.【詳解】解：由得，所以，則，所以橢圓的離心率，故選：C.6、B【解析】由題可得此人每天走的步數等比數列，根據求和公式求出首項可得.【詳解】由題意可知此人每天走的步數構成為公比的等比數列，由題意和等比數列的求和公式可得，解得，第此人第二天走里.故選：B7、D【解析】由題意可得的根為，然后利用根與系數的關系列方程組可求得結果【詳解】因為關于的不等式的解集是，所以方程的根為，所以，得，所以，故選：D8、D【解析】求出函數的導數，問題轉化為在有解，進而求函數的最值，即可求出的范圍.【詳解】∵，∴，若在區間內存在單調遞增區間，則有解，故，令，則在單調遞增，，故.故選：D.9、C【解析】當平面時，三棱錐體積最大，根據棱長與球半徑關系即可求出球半徑，從而求出表面積.【詳解】當平面時，三棱錐體積最大.又，則三棱錐體積，解得；故表面積.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：本題考查三棱錐與球的組合體的綜合問題，本題的關鍵是判斷當平面時，三棱錐體積最大.10、A【解析】由題意設出拋物線的方程，再結合焦點坐標即可求出拋物線的方程.【詳解】∵拋物線為，∴可設拋物線方程為，∴即，∴拋物線方程為，故選：A.11、C【解析】分析可得每月所存錢數依次成首項為1，公比為2的等比數列，其前n項和為，分析首次達到1萬元的值，即得解【詳解】依題意可知，小林從第一個月開始，每月所存錢數依次成首項為1，公比為2的等比數列，其前n項和為.因為為增函數，且，所以第14個月的10號存完錢后，他這張銀行卡賬上存錢總額首次達到1萬元，即2022年10月11日他這張銀行卡賬上存錢總額首次達到1萬元.故選：C12、B【解析】利用正弦定理角化邊得到，再利用余弦定理構造方程求得結果.【詳解】，，由余弦定理得：，，.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據兩直線平行可得出關于實數的等式與不等式，即可解得實數的值.【詳解】因為，則，解得.故答案為：.14、8【解析】根據橢圓定義判斷出軌跡，分析條件結合橢圓定義可知當直線x=m過右焦點時，三角形ADE周長最大.【詳解】，到定點，的距離和等于常數，點軌跡C為橢圓，且故其方程為，則為左焦點，因為直線與C交于D，E，則，不妨設D在軸上方，E在軸下方，設橢圓右焦點為A'，連接DA'，EA'，因為DA'＋EA'≥DE，所以DA＋EA＋DA'＋EA'≥DA＋EA＋DE，即4a≥DA＋EA＋DE，所以△ADE的周長，當時取得最大值8，故答案為：815、【解析】根據求解即可.【詳解】，故答案為：【點睛】本題主要考查了求空間中兩個向量的夾角，屬于基礎題.16、【解析】畫出示意圖，根據圖形分析可知點在陰影部分所對的劣弧上，由幾何概型可求出.【詳解】作出示意圖曲線是圓心為原點，半徑為2的一個半圓.圓心到直線距離，而點到直線的距離為，故若點到直線的距離不大于，則點在陰影部分所對的劣弧上，由幾何概型的概率計算公式知，所求概率為.故答案為：.【點睛】本題考查幾何概型的概率計算，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）是，證明見解析【解析】（1）根據離心率及橢圓上的點可求解；（2）根據題意分別設出直線MA、MB，與橢圓聯立后得到相關點的坐標，再通過斜率公式計算即可證明.【小問1詳解】由，得，所以a2=9b2①，又橢圓過點，則②，由①②解得a=6，b=2，所以橢圓的標準方程為【小問2詳解】設直線MA的斜率為k，點，因為∠AMB的平分線與y軸平行，所以直線MA與MB的斜率互為相反數，則直線MB的斜率為-k.聯立直線MA與橢圓方程，得整理，得，所以，同理可得，所以，又所以為定值.18、（1）單調遞增區間為；單調減區間為和；（2）；.【解析】（1）求出導函數，令，求出單調遞增區間；令，求出單調遞減區間.（2）求出函數的單調區間，利用函數的單調性即可求解.【詳解】1函數的定義域是R，，令，解得令，解得或，所以的單調遞增區間為，單調減區間為和；2由在單調遞減，在單調遞增，所以，而，，故最大值是.19、（1）（2）【解析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量數量積求直線向量夾角，即得結果；（2）先求兩個平面法向量，根據向量數量積求法向量夾角，最后根據二面角與向量夾角關系得結果.【詳解】（1）連以為軸建立空間直角坐標系，則從而直線與所成角的余弦值為（2）設平面一個法向量為令設平面一個法向量為令因此【點睛】本題考查利用向量求線線角與二面角，考查基本分析求解能力，屬中檔題.20、（1）（2）（3）【解析】（1）由頻率分布直方圖中所有矩形的面積之和為1，可求出答案.（2）根據平均數的公式可得到答案.（3）先求出一根棉花纖維長度達到特等品的概率，然后分恰好有一根和兩根棉花小問1詳解】由解得【小問2詳解】該樣本數據的平均數為：【小問3詳解】由題意一根棉花纖維長度達到特等品的概率為：兩根棉花中至少有一根棉花纖維長度達到特等品的概率21、（1），（2）答案見解析【解析】（1）由題意可直接得到等比數列的通項公式；求出等差數列的公差，即可得到其通項公式；（2）若選①，則可確定由數列前33項的和減去，即可得答案；若選②，則可確定由數列前27項的和加上，即可得答案.【小問1詳解】因為數列為等比數列，且，所以.又因，所以，又，則，故等差數列的通項公式為.【小問2詳解】因為，，所以，而若選①因為在數列前30項內，不在