廣東省南海中學等七校聯合體2023-2024學年高二數學第一學期期末學業水平測試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若方程表示雙曲線，則此雙曲線的虛軸長等于（）A. B.C. D.2．過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點F(－c，0)作圓O：x2＋y2＝a2的切線，切點為E，延長FE交雙曲線于點P，若E為線段FP的中點，則雙曲線的離心率為（）A. B.C.＋1 D.3．已知數列滿足，在任意相鄰兩項與(k＝1，2，…)之間插入個2，使它們和原數列的項構成一個新的數列．記為數列的前n項和，則的值為（）A.162 B.163C.164 D.1654．圓C：的圓心坐標和半徑分別為（）A.和4 B.（－3，2）和4C.和 D.和5．函數，的值域為（）A. B.C. D.6．已知直線與直線垂直，則實數（）A.10 B.C.5 D.7．定義在區間上的函數的導函數的圖象如圖所示，則下列結論不正確的是（）A.函數在區間上單調遞增 B.函數在區間上單調遞減C.函數在處取得極大值 D.函數在處取得極小值8．在棱長為1的正方體中，是線段上一個動點，則下列結論正確的有（）A.不存在點使得異面直線與所成角為90°B.存在點使得異面直線與所成角為45°C.存在點使得二面角的平面角為45°D.當時，平面截正方體所得的截面面積為9．拋物線的準線方程是，則實數的值為（）A. B.C.8 D.10．如圖所示，直三棱柱中，，，分別是，的中點，，則與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.11．從直線上動點作圓的兩條切線，切點分別為、，則最大時，四邊形（為坐標原點）面積是（）A. B.C. D.12．中國歷法推測遵循以測為輔，以算為主的原則.例如《周髀算經》里對二十四節氣的晷影長的記錄中，冬至和夏至的晷影長是實測得到的，其它節氣的晷影長則是按照等差數列的規律計算得出的.二十四節氣中，從冬至到夏至的十三個節氣依次為：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種、夏至.已知《周髀算經》中記錄某年的冬至的晷影長為13尺，夏至的晷影長是1.48尺，按照上述規律，那么《周髀算經》中所記錄的立夏的晷影長應為（）A.尺 B.尺C.尺 D.尺二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設等差數列{an}的前n項和為Sn，且S2020>0，S2021<0，則當n=_____________時，Sn最大.14．設空間向量，且，則___________.15．已知平面向量均為非零向量，且滿足，記向量在向量上投影向量為，則k=______．(用數字作答)16．基礎建設對社會經濟效益產生巨大的作用．某市投入億元進行基礎建設，年后產生億元社會經濟效益．若該市投資基礎建設4年后產生的社會經濟效益是投資額的2倍，則再過______年．該項投資產生的社會經濟效益是投資額的8倍三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在半徑為6m的圓形O為圓心鋁皮上截取一塊矩形材料OABC，其中點B在圓弧上，點A，C在兩半徑上，現將此矩形鋁皮OABC卷成一個以AB為母線的圓柱形罐子的側面不計剪裁和拼接損耗，設矩形的邊長|AB|xm，圓柱的體積為Vm3.（1）寫出體積V關于x的函數關系式，并指出定義域；（2）當x為何值時，才能使做出的圓柱形罐子的體積V最大最大體積是多少?18．（12分）某市對新形勢下的中考改革工作進行了全面的部署安排.中考錄取科目設置分為固定賦分科目和非固定賦分科目，固定賦分科目（語文、數學、英語、物理、體育與健康）按卷面分計算；非固定賦分科目（化學、生物、道德與法治、歷史、地理）按學生在該學科中的排名進行等級賦分，即根據改革方案，將每門等級考試科目中考生的原始成績從高到低分為A，，，，，，，共個等級.參照正態分布原則，確定各等級人數所占比例分別為，，，，，，，.等級考試科目成績計入考生總成績時，將A至等級內的考生原始成績，依照等比例轉換法則，分別轉換到，，，，，，，八個分數區間，得到考生的等級成績.該市學生的中考化學原始成績制成頻率分布直方圖如圖所示：（1）求圖中的值；（2）估計該市學生中考化學原始成績不少于多少分才能達到等級及以上（含等級）？（3）由于中考改革后學生各科原始成績不再返回學校，只告知各校參考學生的各科平均成績及方差.已知某校初三共有名學生參加中考，為了估計該校學生的化學原始成績達到等級及以上（含等級）的人數，將該校學生的化學原始成績看作服從正態分布，并用這名學生的化學平均成績作為的估計值，用這名學生化學成績的方差作為的估計值，計算人數（結果保留整數）附：，，.19．（12分）已知橢圓的左、右焦點分別為，，點在橢圓C上，且滿足（1）求橢圓C的標準方程；（2）設直線與橢圓C交于不同的兩點M，N，且（O為坐標原點）．證明：總存在一個確定的圓與直線l相切，并求該圓的方程20．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，底面ABCD是矩形，，，直線PA與CD所成角為60°.（1）求直線PD與平面ABCD所成角的正弦值；（2）求二面角的正弦值.21．（12分）記為數列的前項和，且（1）求的通項公式；（2）設，求數列的前項和22．（10分）如圖，ABCD是邊長為2的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝2AF＝2（1）證明：AC∥平面BEF；（2）求點C到平面BEF的距離

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據雙曲線標準方程直接判斷.【詳解】方程即為，由方程表示雙曲線，可得，所以，，所以虛軸長為，故選：B.2、A【解析】設F′為雙曲線的右焦點，連接OE，PF′，根據圓的切線性質和三角形中位線得到|OE|＝a，|PF′|＝2a，利用雙曲線的定義求得|PF|＝4a，得到|EF|＝2a，在Rt△OEF中，利用勾股定理建立關系即可求得離心率的值.【詳解】不妨設E在x軸上方，F′為雙曲線的右焦點，連接OE，PF′，如圖所示:因為PF是圓O的切線，所以OE⊥PE，又E，O分別為PF，FF′的中點，所以|OE|＝|PF′|，又|OE|＝a，所以|PF′|＝2a，根據雙曲線的定義，|PF|－|PF′|＝2a，所以|PF|＝4a，所以|EF|＝2a，在Rt△OEF中，|OE|2＋|EF|2＝|OF|2，即a2＋4a2＝c2，所以e＝，故選A.【點睛】本題考查雙曲線的離心率的求法，聯想到雙曲線的另一個焦點，作輔助線，利用雙曲線的定義是求解離心率問題的有效方法.3、C【解析】確定數列的前70項含有的前6項和64個2，從而求出前70項和.【詳解】，其中之間插入2個2，之間插入4個2，之間插入8個2，之間插入16個2，之間插入32個2，之間插入64個2，由于，，故數列的前70項含有的前6項和64個2，故故選：C4、C【解析】先將方程化為一般形式，再根據公式計算求解即可.【詳解】解：可化為，由圓心為，半徑，易知圓心的坐標為，半徑為故選：C5、D【解析】求出函數的導數，根據導數在函數最值上的應用，即可求出結果.【詳解】因為，所以，令，又，所以或；所以當時，；當時，；所以在單調遞增，在上單調遞減；所以；又，，所以；所以函數的值域為.故選：D.6、B【解析】根據兩直線垂直，列出方程，即可求解.【詳解】由題意，直線與直線垂直，可得，解得.故選：B.7、C【解析】根據函數的單調性和函數的導數的值的正負的關系，可判斷A,B的結論;根據函數的極值點和函數的導數的關系可判斷、的結論【詳解】函數在上，故函數在上單調遞增，故正確；根據函數的導數圖象，函數在時，，故函數在區間上單調遞減，故正確；由A的分析可知函數在上單調遞增，故不是函數的極值點，故錯誤；根據函數的單調性，在區間上單調遞減，在上單調遞增，故函數處取得極小值，故正確，故選：8、D【解析】由正方體的性質可將異面直線與所成的角可轉化為直線與所成角，而當為的中點時，可得，可判斷A；與或重合時，直線與所成的角最小可判斷B；當與重合時，二面角的平面角最小，通過計算可判斷C；過作，交于，交于點，由題意可得四邊形即為平面截正方體所得的截面，且四邊形是等腰梯形，然后利用已知數據計算即可判斷D.【詳解】異面直線與所成的角可轉化為直線與所成角，當為中點時，，此時與所成的角為90°，所以A錯誤；當與或重合時，直線與所成角最小，為60°，所以B錯誤；當與重合時，二面角的平面角最小，，所以，所以C錯誤；對于D，過作，交于，交于點，因為，所以、分別是、的中點，又，所以，四邊形即為平面截正方體所得的截面，因為，且，所以四邊形是等腰梯形，作交于點，所以，，所以梯形的面積為，所以D正確.故選：D.9、B【解析】化簡方程為，求得拋物線的準線方程，列出方程，即可求解.【詳解】由拋物線，可得，所以，所以拋物線的準線方程為，因為拋物線的準線方程為，所以，解得.故選：B.10、A【解析】取的中點為，的中點為，然后可得或其補角即為與所成角，然后在中求出答案即可.【詳解】取的中點為，的中點為，，，所以或其補角即為與所成角，設，則，，在，，故選：A11、B【解析】分析可知當時，最大，計算出、，進而可計算得出四邊形（為坐標原點）面積.【詳解】圓的圓心為坐標原點，連接、、，則，設，則，，則，當取最小值時，，此時，，，，故，此時，.故選：B.12、B【解析】根據等差數列定義求得公差，再求解立夏的晷影長在數列中所對應的項即可【詳解】設從冬至到夏至的十三個節氣依次為等差數列的前13項，則所以公差為，則立夏的晷影長應為(尺)故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1010【解析】先由S2020>0，S2021<0，判斷出，，即可得到答案.【詳解】等差數列{an}的前n項和為，所以，因為1+2020=1010+1011，所以，所以.，所以，所以當n=1010時，Sn最大.故答案為：1010.14、1【解析】根據，由求解.【詳解】因為向量，且，所以，即，解得.故答案為：115、##1.5【解析】由兩邊平方可得，，，設，向量是以向量為鄰邊的平行四邊形、有共同起點的對角線，，由余弦定理可得，向量在向量上投影向量為，化簡可得答案.【詳解】因為，所以，，兩邊平方整理得，，兩邊平方整理得，即，可得，，設，所以向量是以向量為鄰邊的平行四邊形、有共同起點的對角線，如圖，即，因為，，平行四邊形即為的菱形，所以，由余弦定理可得，可得，，向量在向量上投影向量為，即.故答案為：.16、8【解析】由4年后產生的社會經濟效益是投資額的2倍，代入已知函數式求得參數，再求得社會經濟效益是投資額的8倍時的時間，即為所求結論【詳解】由條件得，∴，即．設投資年后，產生的社會經濟效益是投資額的8倍，則有，解得，所以再過年，該項投資產生社會經濟效益是投資額的8倍故答案為：8三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）時，最大值為m3.【解析】(1)連接，在中，由，利用勾股定理可得，設圓柱底面半徑為，求出．利用(其中即可得出；(2)利用導數，求出V的單調性，即可得出結論【小問1詳解】連接，在中，，，設圓柱底面半徑為，則，即，，其中【小問2詳解】由及，得，列表如下：，0↗極大值↘∴當時，有極大值，也是最大值為m318、（1）（2）85（3）23【解析】（1）根據所有矩形面積之和等于1可得；（2）先根據矩形面積之和判斷達到等級的最低分數為x所在區間，然后根據矩形面積之和等于0.9可得；（3）由題知，所以由可得.【小問1詳解】由得【小問2詳解】由題意可知，要使等級達到等級及以上，則成績需超過的學生.因為，記達到等級的最低分數為x，則，則由，解得所以該市學生中考化學原始成績不少于85分才能達到等級及以上.【小問3詳解】由題知，因為所以故該校學生的化學原始成績達到等級及以上的人數大約為人.19、（1）；（2）理由見解析，圓的方程為.【解析】(1)根據給定條件可得，結合勾股定理、橢圓定義求出a，b得解.(2)聯立直線l與橢圓C的方程，利用給定條件求出k，m的關系，再求出原點O到直線l的距離即可推理作答.【小問1詳解】因，則，點在橢圓C上，則橢圓C的半焦距,，，因此，，解得，，所以橢圓C的標準方程是：.【小問2詳解】由消去y并整理得：，依題意，，設，，因，則，于是得，此時，，則原點O到直線l的距離，所以，存在以原點O為圓心，為半徑的圓與直線l相切，此圓的方程為.【點睛】思路點睛：涉及動直線與圓錐曲線相交滿足某個條件問題，可設直線方程為，再與圓錐曲線方程聯立結合已知條件探求k，m的關系，然后推理求解.20、（1）（2）【解析】（1），所以PA與AB所成的銳角或直角等于PA與CD所成角，然后過P在平面PAB內作，可得平面ABCD，從而可求出答案.（2）可證平面PAB，過B在平面PAB內作，連結CF，則是二面角的平面角，從而可求解.【小問1詳解】因為，所以PA與AB所成的銳角或直角等于PA與CD所成角，可知，是正三角形.過P在平面PAB內作，垂足為E，因為平面平面ABCD，所以平面ABCD，是直線PD與平面ABCD所成角.在正中，，，所以，故直線PD與平面ABCD所成角的正弦值為.【小問2詳解】因為