河北衡中同卷2024屆數學高二上期末達標檢測模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某中學的“希望工程”募捐小組暑假期間走上街頭進行了一次募捐活動，共收到捐款1200元.他們第1天只得到10元，之后采取了積極措施，從第2天起，每一天收到的捐款都比前一天多10元.這次募捐活動一共進行的天數為（）A.13 B.14C.15 D.162．設，則的一個必要不充分條件為（）A. B.C. D.3．如圖已知正方體，點是對角線上的一點且，，則（）A.當時，平面 B.當時，平面C.當為直角三角形時， D.當的面積最小時，4．已知橢圓C的焦點為，過F2的直線與C交于A，B兩點.若，，則C的方程為A. B.C. D.5．已知函數滿足對于恒成立，設則下列不等關系正確是（）A. B.C. D.6．方程有兩個不同的解，則實數k的取值范圍為（）A. B.C. D.7．為了了解某地區的名學生的數學成績，打算從中抽取一個容量為的樣本，現用系統抽樣的方法，需從總體中剔除個個體，在整個過程中，每個個體被剔除的概率和每個個體被抽取的概率分別為（）A. B.C. D.8．饕餮（tāotiè）紋，青銅器上常見的花紋之一，盛行于商代至西周早期，最早出現在距今五千年前長江下游地區的良渚文化玉器上．有人將饕餮紋的一部分畫到了方格紙上，如圖所示，每個小方格的邊長為，有一點從點出發每次向右或向下跳一個單位長度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它經過次跳動后恰好是沿著饕餮紋的路線到達點的概率為（）A. B.C. D.9．設為等差數列的前項和，，，則A.-6 B.-4C.-2 D.210．已知等差數列且，則數列的前13項之和為（）A.26 B.39C.104 D.5211．若圓與直線相切，則實數的值為（）A. B.或3C. D.或12．已知是雙曲線的左焦點，圓與雙曲線在第一象限的交點為，若的中點在雙曲線的漸近線上，則此雙曲線的離心率是（）A. B.2C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．命題“”的否定為_____________.14．若命題“，不等式恒成立”為真命題，則實數a的取值范圍是________.15．如圖，某河流上有一座拋物線形的拱橋，已知橋的跨度米，高度米（即橋拱頂到基座所在的直線的距離）．由于河流上游降雨，導致河水從橋的基座處開始上漲了1米，則此時橋洞中水面的寬度為______米16．已知函數，則曲線在點處的切線方程為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，五邊形為東京奧運會公路自行車比賽賽道平面設計圖，根據比賽需要，在賽道設計時需預留出，兩條服務通道（不考慮寬度），，，，，為賽道．現已知，，千米，千米（1）求服務通道的長（2）在上述條件下，如何設計才能使折線賽道（即）的長度最大，并求最大值18．（12分）已知等差數列滿足，，的前項和為.（1）求及；（2）令，求數列的前項和.19．（12分）橢圓：（）的離心率為，遞增直線過橢圓的左焦點，且與橢圓交于兩點，若，求直線的斜率.20．（12分）已知某電器市場由甲、乙、丙三家企業占有，其中甲廠產品的市場占有率為40％，乙廠產品的市場占有率為36％，丙廠產品的市場占有率為24％，甲、乙、丙三廠產品的合格率分別為，，（1）現從三家企業的產品中各取一件抽檢，求這三件產品中恰有兩件合格的概率；（2）現從市場中隨機購買一臺該電器，則買到的是合格品的概率為多少？21．（12分）某牧場今年初牛的存欄數為1200，預計以后每年存欄數的增長率為8%，且每年年底賣出100頭牛，設牧場從今年起每年年初的計劃存欄數依次為，，….（參考數據：，，.）（1）寫出一個遞推公式，表示與之間的關系；（2）將（1）中的遞推關系表示成的形式，其中k，r為常數；（3）求的值（精確到1）.22．（10分）如圖，在三棱錐中，，點P為線段MC上的點（1）若平面PAB，試確定點P的位置，并說明理由；（2）若，，，求三棱錐的體積

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】由題意可得募捐構成了一個以10元為首項，以10元為公差的等差數列，設共募捐了天，然后建立關于的方程，求出即可【詳解】由題意可得，第一天募捐10元，第二天募捐20元，募捐構成了一個以10元為首項，以10元為公差的等差數列，根據題意，設共募捐了天，則，解得或（舍去），所以，故選：2、C【解析】利用必要條件和充分條件的定義判斷.【詳解】A選項：，，，所以是的充分不必要條件，A錯誤；B選項：，，所以是的非充分非必要條件，B錯誤；C選項：，，，所以是必要不充分條件，C正確；D選項：，，，所以是的非充分非必要條件，D錯誤.故選：C.3、D【解析】建立空間直角坐標系，利用空間向量法一一計算可得；【詳解】解：由題可知，如圖令正方體的棱長為1，建立空間直角坐標系，則，，，，，，，所以，因為，所以，所以，，，，設平面的法向量為，則，令，則，，所以對于A：若平面，則，則，解得，故A錯誤；對于B：若平面，則，即，解得，故B錯誤；當為直角三角形時，有，即，解得或（舍去），故C錯誤；設到的距離為，則，當的面積最小時，，故正確故選：4、B【解析】由已知可設，則，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，從而可求解.【詳解】法一：如圖，由已知可設，則，由橢圓的定義有．在中，由余弦定理推論得．在中，由余弦定理得，解得所求橢圓方程為，故選B法二：由已知可設，則，由橢圓的定義有．在和中，由余弦定理得，又互補，，兩式消去，得，解得．所求橢圓方程為，故選B【點睛】本題考查橢圓標準方程及其簡單性質，考查數形結合思想、轉化與化歸的能力，很好的落實了直觀想象、邏輯推理等數學素養5、A【解析】由條件可得函數為上的增函數，構造函數，利用函數單調性比較的大小，再根據函數的單調性確定各選項的對錯.【詳解】設，則，∵，∴，∴函數在上為增函數，∵，∴，故，所以，C錯，令()，則，當時，，當時，∴函數在區間上為增函數，在區間上為減函數，又，∴，∴，即，∴，故，所以，D錯，，故，所以，A對，，故，所以，B錯，故選：A.6、C【解析】轉化為圓心在原點半徑為1的上半圓和表示恒過定點的直線始終有兩個公共點，結合圖形可得答案.【詳解】令，平方得表示圓心在原點半徑為1的上半圓，表示恒過定點的直線，方程有兩個不同的解即半圓和直線要始終有兩個公共點，如圖圓心到直線的距離為，解得，當直線經過時由得，當直線經過時由得，所以實數k的取值范圍為.故選：C.7、D【解析】根據每個個體被抽取的概率都是相等的、被剔除的概率也都是相等的，分別由剔除的個數和抽取的樣本容量除以總體個數即可求解.【詳解】根據系統抽樣的定義和方法可知：每個個體被抽取的概率都是相等的，每個個體被剔除的概率也都是相等的，所以每個個體被剔除的概率為，每個個體被抽取的概率為，故選：D.8、B【解析】本題首先可根據題意列出次跳動的所有基本事件，然后找出沿著饕餮紋的路線到達點的事件，最后根據古典概型的概率計算公式即可得出結果.【詳解】點從點出發，每次向右或向下跳一個單位長度，次跳動的所有基本事件有：（右，右，右）、（右，右，下）、（右，下，右）、（下，右，右）、（右，下，下）、（下，右，下）、（下，下，右）、（下，下，下），沿著饕餮紋的路線到達點的事件有：（下，下，右），故到達點的概率，故選：B.9、A【解析】由已知得解得故選A考點：等差數列的通項公式和前項和公式10、A【解析】根據等差數列的性質化簡已知條件可得的值，再由等差數列前項和及等差數列的性質即可求解.【詳解】由等差數列的性質可得：，，所以由可得：，解得：，所以數列的前13項之和為，故選：A11、D【解析】利用圓心到直線的距離等于半徑可得答案.【詳解】若圓與直線相切，則到直線的距離為，所以，解得，或.故選：D.12、A【解析】根據雙曲線的幾何性質和平面幾何性質，建立關于a,b,c的方程，從而可求得雙曲線的離心率得選項.【詳解】由題意可設右焦點為，因為，且圓：，所以點在以焦距為直徑的圓上，則，設的中點為點，則為的中位線，所以，則，又點在漸近線上，所以，且，則，，所以，所以，則在中，可得，，即，解得，所以，故選：A【點睛】方法點睛：(1)求雙曲線的離心率時，將提供的雙曲線的幾何關系轉化為關于雙曲線基本量的方程或不等式，利用和轉化為關于e的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或取值范圍（2）對于焦點三角形，要注意雙曲線定義的應用，運用整體代換的方法可以減少計算量二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據特稱命題的否定是全稱命題，可得結果.【詳解】由特稱命題否定是全稱命題，故條件不變，否定結論所以“”的否定為“”故答案為：【點睛】本題主要考查特稱命題的否定是全稱命題，屬基礎題.14、【解析】，不等式恒成立，只要即可，利用基本不等式求出即可得出答案.【詳解】解：因為，不等式恒成立，只要即可，因為，所以，則，當且僅當，即時取等號，所以，所以.故答案為：.15、【解析】以橋的頂點為坐標原點，水平方向所在直線為x軸建立直角坐標系，則根據點在拋物線上，可得拋物線的方程，設水面與橋的交點坐標為，求出，進而可得水面的寬度.【詳解】以橋的頂點為坐標原點，水平方向所在直線為x軸建立直角坐標系，則拋物線的方程為，因為點在拋物線上，所以，即故拋物線的方程為，設河水上漲1米后，水面與橋的交點坐標為，則，得，所以此時橋洞中水面的寬度為米故答案為：16、【解析】先求出，求出導函數及，進而求出切線方程.【詳解】∵，∴，又，∴在處的切線方程為，即故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）服務通道的長為千米（2）時，折線賽道的長度最大，最大值為千米【解析】（1）先在中利用正弦定理得到長度，再在中，利用余弦定理得到即可；（2）在中利用余弦定理得到，再根據基本等式求解最值即可.【小問1詳解】在中，由正弦定理得：，在中，由余弦定理，得，即解得或（負值舍去）所以服務通道的長為千米【小問2詳解】在中，由余弦定理得：，即，所以因為，所以，所以，即（當且僅當時取等號）即當時，折線賽道的長度最大，最大值為千米18、（1），；（2）.【解析】（1）根據等差數列的通項公式及已知條件，，解方程組可得，，進而可得等差數列的通項公式，再利用等差數列的前項和公式可得；（2）將數列的通項公式代入可得的通項公式，利用錯位相減法求和可得結果.【詳解】（1）設等差數列的首項為，公差為，由于，，所以，，解得，，所以，；（2）因為，所以，故，，兩式相減得，所以.【點睛】本題的核心是考查錯位相減求和.一般地，如果數列{an}是等差數列，{bn}是等比數列，求數列{an·bn}的前n項和時，可采用錯位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數列{bn}的公比，然后作差求解.19、1【解析】根據離心率寫出，設出直線為，把直線的方程與橢圓進行聯立消，寫出韋達定理，再利用，即可解出，進而求出直線的斜率.【詳解】，.設遞增直線的方程為，把直線的方程與橢圓進行聯立：.①，②.③.把③代入①中得④.把④代入②中得...20、（1）（2）【解析】（1）由相互獨立事件的概率可得；（2）根據各產品的市場占有率和合格率，由條件概率公式計算可得.【小問1詳解】記隨機抽取甲乙丙三家企業的一件產品，產品合格分別為事件，，，則三個事件相互獨立，恰有兩件產品合格為事件D，則故從三家企業的產品中各取一件抽檢，則這三件產品中恰有兩件合格的概率是【小問2詳解】記事件B為購買的電器合格，記隨機買一件產品，買到的產品為甲乙丙三個品牌分別為事件，，，，，，，，，故在市場中隨機購買一臺電器，買到的是合格品的概率為21、（1）（2）（3）10626【解析】（1）根據題意，建立遞推關系即可；（2）利用待定系數法求解得.（3）利用等比數列求和公式，結合已知數據求解即可.【小問1詳解】解：因為某牧場今年初牛的存欄數為1200，預計以后每年存欄數的增長率為8%，且每年