廣東省惠陽高級中學2024屆高二數學第一學期期末經典試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設函數是定義在上的奇函數，且，當時，有恒成立.則不等式的解集為（）A. B.C. D.2．已知拋物線上一點的縱坐標為4，則點到拋物線焦點的距離為A.2 B.3C.4 D.53．在平行六面體中，點P在上，若，則（）A. B.C. D.4．與直線關于軸對稱的直線的方程為（）A. B.C. D.5．已知等差數列滿足，，數列滿足，記數列的前n項和為，若對于任意的，，不等式恒成立，則實數t的取值范圍為（）A. B.C. D.6．數列滿足，且，則的值為（）A.2 B.1C. D.-17．執行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為()A.8 B.9C.27 D.368．執行如圖所示的程序框圖，則輸出的結果為（）A. B.C. D.9．“﹣3＜m＜4”是“方程表示橢圓”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要10．經過點且與雙曲線有共同漸近線的雙曲線方程為（）A. B.C. D.11．已知是兩個數1，9的等比中項，則圓錐曲線的離心率為（）A.或 B.或C. D.12．下列雙曲線中，焦點在軸上且漸近線方程為的是A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線在點處的切線方程為_____________.14．如圖所示的是一個正方體的平面展開圖，，則在原來的正方體中，直線與平面所成角的正弦值為___________.15．中小學生的視力狀況受到社會的關注.某市有關部門從全市6萬名高一學生中隨機抽取400名學生，對他們的視力狀況進行一次調查統計，將所得到的有關數據繪制成頻率分布直方圖，如圖所示，從左至右五個小組的頻率之比為，則抽取的這400名高一學生中視力在范圍內的學生有______人.16．雙曲線的離心率______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的左、右焦點分別為，過右焦點作直線交于，其中的周長為的離心率為.（1）求的方程；（2）已知的重心為，設和的面積比為，求實數的取值范圍.18．（12分）設函數.（1）當k＝1時，求函數的單調區間；（2）當時，求函數在上的最小值m和最大值M.19．（12分）設曲線在點（1，0）處的切線方程為.（1）求a，b的值；（2）求證：；（3）當，求a的取值范圍.20．（12分）求滿足下列條件的雙曲線的標準方程（1）焦點在x軸上，實軸長為4，實半軸長是虛半軸長的2倍；（2）焦點在y軸上，漸近線方程為，焦距長為21．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，，且，，，，，為的中點（1）求證：平面；（2）在線段上是否存在一點，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，說明理由22．（10分）已知橢圓的離心率為，以坐標原點為圓心，以橢圓M的短半軸長為半徑的圓與直線有且只有一個公共點（1）求橢圓M的標準方程；（2）過橢圓M的右焦點F的直線交橢圓M于A，B兩點，過F且垂直于直線的直線交橢圓M于C，D兩點，則是否存在實數使成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據當時，可知在上單調遞減，結合可確定在上的解集；根據奇偶性可確定在上的解集；由此可確定結果.【詳解】，當時，，在上單調遞減，，，在上的解集為，即在上的解集為；又為上的奇函數，，為上的偶函數，在上的解集為，即在上的解集為；當時，，不合題意；綜上所述：的解集為.故選：.【點睛】本題考查利用函數的單調性和奇偶性求解函數不等式的問題，關鍵是能夠通過構造函數的方式，確定所構造函數的單調性和奇偶性，進而根據零點確定不等式的解集.2、D【解析】拋物線焦點在軸上，開口向上，所以焦點坐標為，準線方程為，因為點A的縱坐標為4，所以點A到拋物線準線的距離為，因為拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，所以點A與拋物線焦點的距離為5.考點：本小題主要考查應用拋物線定義和拋物線上點的性質拋物線上的點到焦點的距離，考查學生的運算求解能力.點評：拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，這條性質在解題時經常用到，可以簡化運算.3、C【解析】利用空間向量基本定理，結合空間向量加法的法則進行求解即可.【詳解】因為，，所以有，因此，故選：C4、D【解析】點關于x軸對稱，橫坐標不變，縱坐標互為相反數，據此即可求解.【詳解】設(x，y)是與直線關于軸對稱的直線上任意一點，則(x，－y)在上，故，∴與直線關于軸對稱的直線的方程為.故選：D.5、B【解析】由等差數列基本量法求出通項公式，用裂項相消法求得，求出的最大值，然后利用關于的不等式是一次不等式列出滿足的不等關系求得其范圍【詳解】設等差數列公差為，則由已知得，解得，∴，，∴，易知數列是遞增數列，且，∴若對于任意的，，不等式恒成立，即，又，∴，解得或故選：B【點睛】本題考查求等差數列的通項公式，考查裂項相消法求數列的和，考查不等式恒成立問題，解題關鍵是掌握不等式恒成立問題的轉化與化歸思想，不等式恒成立首先轉化為求數列的單調性與最值，其次轉化為一次不等式恒成立6、D【解析】根據數列的遞推關系式，求得數列的周期性，結合周期性得到，即可求解.【詳解】解：由題意，數列滿足，且，可得，可得數列是以三項為周期的周期數列，所以.故選：D.7、B【解析】執行程序框圖，第一次循環，，滿足；第二次循環，，滿足；第三次循環，，不滿足，輸出，故選B.【方法點睛】本題主要考查程序框圖的循環結構流程圖，屬于中檔題.解決程序框圖問題時一定注意以下幾點：(1)不要混淆處理框和輸入框；(2)注意區分程序框圖是條件分支結構還是循環結構；(3)注意區分當型循環結構和直到型循環結構；(4)處理循環結構的問題時一定要正確控制循環次數；(5)要注意各個框的順序,（6）在給出程序框圖求解輸出結果的試題中只要按照程序框圖規定的運算方法逐次計算，直到達到輸出條件即可.8、B【解析】寫出每次循環的結果，即可得到答案.【詳解】當時，，，，；，此時，退出循環，輸出的的為.故選：B【點睛】本題考查程序框圖的應用，此類題要注意何時循環結束，建議數據不大時采用寫出來的辦法，是一道容易題.9、B【解析】求出方程表示橢圓的充要條件是且,由此可得答案.【詳解】因為方程表示橢圓的充要條件是,解得且,所以“﹣3＜m＜4”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.故選:B【點睛】本題考查了由方程表示橢圓求參數的范圍,考查了充要條件和必要不充分條件,本題易錯點警示:漏掉,本題屬于基礎題.10、C【解析】共漸近線的雙曲線方程，設，把點代入方程解得參數即可.【詳解】設，把點代入方程解得參數，所以化簡得方程故選：C.11、A【解析】根據題意可知，當時，根據橢圓離心率公式，即可求出結果；當時，根據雙曲線離心率公式,即可求出結果.【詳解】因為是兩個數1，9的等比中項，所以，所以，當時，圓錐曲線，其離心率為；當時，圓錐曲線，其離心率為；綜上，圓錐曲線的離心率為或.故選：A.12、C【解析】焦點在軸上的是C和D，漸近線方程為，故選C考點：1．雙曲線的標準方程；2．雙曲線的簡單幾何性質二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求導，求出切線斜率，進而寫出切線方程.【詳解】，則，故切斜方程為：，即故答案為：14、【解析】將展開圖還原成正方體，通過建系利用空間向量的知識求解.【詳解】將展開圖還原成正方體，以A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，，，，，.則.設平面的法向量為，由令，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.故答案為：15、50【解析】利用頻率分布直方圖的性質求解即可.【詳解】第五組的頻率為，第一組所占的頻率為，則隨機抽取400名學生視力在范圍內的學生約有人.故答案為：50.16、【解析】根據雙曲線方程直接可得離心率.【詳解】由，可得，，故，離心率，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）已知焦點弦三角形的周長，以及離心率求橢圓方程，待定系數直接求解即可.（2）第一步設點設直線，第二步聯立方程韋達定理，第三步條件轉化，利用三角形等面積法，列方程，第四步利用韋達定理進行轉化，計算即可.【小問1詳解】因為的周長為，的離心率為，所以，，所以，，又，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】方法一：，，的面積為，的面積為，則，得，①設，與橢圓C方程聯立，消去得，由韋達定理得，.令，②則，可得當時，當時，所以，又解得③由①②③得，解得.所以實數的取值范圍是.方法二：同方法一可得的面積為，的面積為，則，得，①設，與橢圓C方程聯立，消去得，由韋達定理得，.所以因為，所以解得②由①②解得.所以實數的取值范圍是.18、（1）增區間為（2），【解析】（1）求導，由判別式可判斷導數符號，然后可得；（2）求導，求導數零點，比較函數極值和端點函數值，結合單調性可得.【小問1詳解】因為，所以，，因為，所以恒成立所以的增區間為.【小問2詳解】當時，，令，解得，當時，，當時，，當時，所以，函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增.因為，所以在區間上的最大值，最小值為19、（1）（2）證明見解析（3）【解析】（1）求導，根據導數的幾何意義，令x=1處的切線的斜率等1，結合，即可求得a和b的值；（2）利用（1）的結論，構造函數，求求導數，判斷單調性，求出最小值即可證明；（3）根據條件構造函數，求出其導數，分類討論導數的值的情況，根據單調性，判斷函數的最小值情況，即可求得答案.【小問1詳解】由題意知：，因為曲線在點（1，0）處的切線方程為，故，即；【小問2詳解】證明：由（1）知：，令，則，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以當時，取得極小值，也即最小值，最小值為，故，即成立；【小問3詳解】當，即，（），設，（），則，當時，由得，此時，此時在時單調遞增，，適合題意；當時，，此時在時單調遞增，，適合題意；當時，，此時，此時在時單調遞增，，適合題意；當時，，此時在內，，在內，，故，顯然時，，不滿足當恒成立，綜上述：.20、（1）（2）【解析】（1）（2）直接由條件解出即可得到雙曲線方程.【小問1詳解】由題意有，解得：，則雙曲線的標準方程為：【小問2詳解】由題意有，解得：，則雙曲線的標準方程為：21、（1）證明見解析；（2）存在，.【解析】(1)建立空間直角坐標系，求出平面的法向量和直線的單位向量，從而可證明線面平行.(2)令，，設，求出，結合已知條件可列出關于的方程，從而可求出的值.【詳解】證明：過作于點，則，以為原點，，，所在的直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系則，，，

，，，∵為的中點．∴．則，，，設平面的法向量為，則令，則，，∴．∴，即，又平面．∴平面解：令，，設，∴．∴，∴

.由知，平面的法向量為.∵直線與平面所成角的正弦值為，∴，化簡得，