河北邢臺市2024屆數學高二上期末檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．數列，，，，…，的通項公式可能是（）A. B.C. D.2．已知、是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則（）A.2 B.3C.4 D.53．已知，為正實數，且，則的最小值為（）A. B.C. D.14．當時，不等式恒成立，則實數的取值范圍為（）A. B.C. D.5．設函數，則（）A.4 B.5C.6 D.76．北京大興國際機場的顯著特點之一是各種彎曲空間的運用，在數學上用曲率刻畫空間彎曲性.規定：多面體的頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和.例如：正四面體在每個頂點有個面角，每個面角是，所以正四面體在每個頂點的曲率為，故其總曲率為.給出下列三個結論：①正方體在每個頂點的曲率均為；②任意四棱錐總曲率均為；③若某類多面體的頂點數，棱數，面數滿足，則該類多面體的總曲率是常數.其中，所有正確結論的序號是（）A.①② B.①③C.②③ D.①②③7．已知集合M＝{0，x}，N＝{1,2}，若M∩N＝{2}，則M∪N＝()A.{0，x,1,2} B.{2,0,1,2}C.{0,1,2} D.不能確定8．已知焦點在軸上的雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C.2 D.9．如圖，已知直線AO垂直于平面，垂足為O，BC在平面內，AB與平面所成角的大小為，，，則異面直線AB與OC所成角的余弦值為（）A. B.C. D.10．已知直線，若直線與垂直，則的傾斜角為（）A. B.C. D.11．設數列、都是等差數列，若，則等于（）A. B.C. D.12．已知雙曲線E的漸近線為，則其離心率為（）A. B.C. D.或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．橢圓的焦距為______.14．無窮數列滿足：只要必有則稱為“和諧遞進數列”.已知為“和諧遞進數列”，且前四項成等比數列，，則=_________.15．不大于100的正整數中，被3除余1的所有數的和是___________16．在一平面直角坐標系中，已知，現沿x軸將坐標平面折成60°的二面角，則折疊后A，B兩點間的距離為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）（1）求過點，且與直線垂直的直線方程；（2）甲，乙，丙等7名同學站成一排，若甲和乙相鄰，但甲乙二人都不和丙相鄰，則共有多少種不同排法？18．（12分）已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別為，，過的直線交橢圓E于A，B兩點．當軸時，（1）求橢圓E的方程；（2）求的范圍19．（12分）已知雙曲線與雙曲線的漸近線相同，且經過點.（1）求雙曲線的方程；（2）已知雙曲線的左右焦點分別為，直線經過，傾斜角為與雙曲線交于兩點，求的面積.20．（12分）已知數列的前n項和，（1）求數列的通項公式；（2）設，，求數列的前n項和21．（12分）已知函數（1）當時，求函數的單調區間；（2）當時，若關于x的不等式恒成立，試求a的取值范圍22．（10分）已知函數.（1）求曲線在點處的切線的方程.（2）若直線為曲線切線，且經過坐標原點，求直線的方程及切點坐標.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】利用數列前幾項排除A、B、C，即可得解；【詳解】解：由，排除A，C，由，排除B，分母為奇數列，分子為，故數列的通項公式可以為，故選：D2、C【解析】依據橢圓和雙曲線定義和題給條件列方程組，得到關于橢圓的離心率和雙曲線的離心率的關系式，即可求得的值.【詳解】設橢圓的長軸長為，雙曲線的實軸長為，令，不妨設則，解之得代入，可得整理得，即，也就是故選：C3、D【解析】利用基本不等式可求的最小值.【詳解】可化為，由基本不等式可得，故，當且僅當時等號成立，故的最小值為1，故選：D.4、A【解析】設，對實數的取值進行分類討論，求得，解不等式，綜合可得出實數的取值范圍.【詳解】設，其中.①當時，即當時，函數在區間上單調遞增，則，解得，此時不存在；②當時，，解得；③當時，即當時，函數在區間上單調遞減，則，解得，此時不存在.綜上所述，實數的取值范圍是.故選：A.5、D【解析】求出函數的導數，將x=1代入即可求得答案.【詳解】,故，故選：D.6、D【解析】根據曲率的定義依次判斷即可.【詳解】①根據曲率的定義可得正方體在每個頂點的曲率為，故①正確；②由定義可得多面體的總曲率頂點數各面內角和，因為四棱錐有5個頂點，5個面，分別為4個三角形和1個四邊形，所以任意四棱錐的總曲率為，故②正確；③設每個面記為邊形，則所有的面角和為，根據定義可得該類多面體的總曲率為常數，故③正確.故選：D.7、C【解析】集合M＝{0，x}，N＝{1,2}，若M∩N＝{2}，則.所以.故選C.點睛：集合的交集即為由兩個集合的公共元素組成的集合，集合的并集即由兩集合的所有元素組成.8、D【解析】由題意，化簡即可得出雙曲線的離心率【詳解】解：由題意，.故選：D9、B【解析】建立空間直角坐標系，求出相關點的坐標，求出向量的坐標，再利用向量的夾角公式計算即可.【詳解】如圖，以O為坐標原點，過點O作OB的垂線為x軸，OB為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標系，設，則，，則，，，，，設的夾角為，則，所以異面直線AB與OC所成角的余弦值為，故選：B.10、D【解析】由直線與垂直得到的斜率，再利用斜率與傾斜角的關系即可得到答案.【詳解】因為直線與垂直，且，所以，解得，設的傾斜角為，，所以.故選：D11、A【解析】設等差數列的公差為，根據數列是等差數列可求得，由此可得出，進而可求得所求代數式的值.【詳解】設等差數列的公差為，即，由于數列也為等差數列，則，可得，即，可得，即，解得，所以，數列為常數列，對任意的，，因此，.故選：A.【點睛】關鍵點點睛：本題考查等差數列基本量的求解，通過等差數列定義列等式求解公差是解題的關鍵，另外，在求解有關等差數列基本問題時，可充分利用等差數列的定義以及等差中項法來求解.12、D【解析】根據雙曲線標準方程與漸近線的關系即可求解.【詳解】當雙曲線焦點在x軸上時，漸近線為，故離心率為；當雙曲線焦點在y軸上時，漸近線為，故離心率為；故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由求出即可.【詳解】可化為，設焦距為，則，則焦距故答案為：14、7578【解析】根據新定義得數列是周期數列，從而易求得【詳解】∵成等比數列，，∴，又，為“和諧遞進數列”，∴，，，，…，∴數列是周期數列，周期為4∴故答案為：757815、1717【解析】利用等差數列的前項和公式可求所有數的和.【詳解】100以內的正整數中，被3除余1由小到大構成等差數列，其首項為1，公差為3，共有項，它們的和為，故答案為：.16、【解析】平面直角坐標系中，沿軸將坐標平面折成的二面角后，在平面上的射影為，作軸，交軸于點，通過用向量的數量積轉化求解距離即可.【詳解】在直角坐標系中，已知，現沿軸將坐標平面折成的二面角后，在平面上的射影為，作軸，交軸于點，所以,所以，所以,故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）960【解析】（1）根據題意，設要求直線為，將點的坐標代入，求出的值，即可得答案；（2）根據題意，分2步進行分析：先將除甲乙丙之外的4人全排列，再將甲乙看成一個整體，與丙一起安排在4人的空位中，由分步計數原理計算可得答案【詳解】解：（1）根據題意，設所求直線為，又由所求直線經過點，即，則，即所求直線；（2）根據題意，分2步進行分析：先將除甲乙丙之外的4人全排列，有種排法，再將甲乙看成一個整體，與丙一起安排在4人的空位中，有種排法，則有種排法18、（1）（2）【解析】（1）根據離心率及通徑長求出橢圓方程；（2）分直線AB斜率存在和斜率不存在兩種情況得到的范圍，進而得到答案.【小問1詳解】當軸時，取代入橢圓方程得：，得，所以，又，解得，，所以橢圓方程為【小問2詳解】由，記，當軸時，由（1）知：，所以，當AB斜率為k時，直線AB為，，消去y得，所以，，所以，綜上，的范圍是.19、（1）；（2）.【解析】（1）由兩條雙曲線有共同漸近線，可令雙曲線方程為，求出即可得雙曲線的方程；（2）根據已知有直線為，由其與雙曲線的位置關系，結合弦長公式、點線距離公式及三角形面積公式求的面積.【詳解】（1）設所求雙曲線方程為，代入點得：，即，∴雙曲線方程為，即.（2）由（1）知：，即直線方程為.設，聯立得，滿足且，，由弦長公式得，點到直線的距離.所以【點睛】本題考查了雙曲線，根據雙曲線共漸近線求雙曲線方程，由直線與雙曲線的相交位置關系求原點與交點構成三角形的面積，綜合應用了弦長公式、點線距離公式、三角形面積公式，屬于基礎題.20、（1）；（2）【解析】（1）將代入可求得.根據通項公式與前項和的關系,可得數列為等比數列,由等比數列的通項公式即可求得數列的通項公式.（2）由（1）可得數列的通項公式,代入中,結合裂項法求和即可得前n項和.【詳解】（1）當時,由得；當時,由得是首項為3,公比為3的等比數列當,滿足此式所以（2）由（1）可知,【點睛】本題考查了通項公式與前項和的關系,裂項法求和的應用,屬于基礎題.21、（1）的減區間為，增區間為（2）【解析】（1）利用導數求得的單調區間.（2）利用分離參數法，結合構造函數法以及導數求得的取值范圍.【小問1詳解】當時，，，所以在區間遞減；在區間遞增.所以的減區間為，增區間為.【小問2詳解】，恒成立.構造函數，，，構造函數，，所以在上遞增，，所以在上成立，所以，所以，即的取值范圍是.22、(1)；(2)直線的方