第2章時(shí)域離散信號(hào)

和系統(tǒng)的頻域分析北京郵電大學(xué)《數(shù)字信號(hào)處理》2本章主要內(nèi)容序列的Z變換Z變換的主要性質(zhì)序列的傅里葉變換傅里葉變換的主要性質(zhì)利用Z變換解差分方程利用Z變換分析信號(hào)和系統(tǒng)的頻率響應(yīng)32.1引言信號(hào)與系統(tǒng)的分析方法:時(shí)域分析變換域分析（本課介紹頻域分析）連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)

信號(hào)用時(shí)間t的函數(shù)表示系統(tǒng)用微分方程描述離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)

信號(hào)用序列表示系統(tǒng)用差分方程描述4時(shí)域與頻域分析

傅里葉變換

時(shí)間域頻率域(復(fù)頻域

)

拉普拉斯變換

推廣離散時(shí)間傅里葉變換

時(shí)間域頻率域(復(fù)頻域

)

Z變換推廣連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)52.2序列的傅里葉變換

序列傅里葉變換的定義序列傅里葉變換的性質(zhì)

周期序列的傅里葉級(jí)數(shù)表示周期序列的傅里葉變換62.2.1時(shí)域離散信號(hào)傅里葉變換的定義（2.2.1）FT［x(n)］存在的充分必要條件是序列x(n)滿足絕對(duì)可和（2.2.2）（2.2.3）n為離散域，ω

為連續(xù)域X(ejω)的傅里葉反變換為序列x(n)的傅里葉變換定義為:7

【例2.2.1】

設(shè)x(n)=RN(n)，求x(n)的傅里葉變換。解（2.2.4）

當(dāng)N=4時(shí)，其幅度與相位隨頻率ω的變化曲線如圖2.2.1所示。8圖2.2.1

R4(n)的幅度與相位曲線92.2.2時(shí)域離散信號(hào)傅里葉變換的性質(zhì)1．

FT的周期性

(2.2.5)

觀察上式，得到傅里葉變換是頻率ω的周期函數(shù)，周期是2π。由FT的周期性進(jìn)一步分析得到，在ω=0和ω=2πM附近的頻譜分布應(yīng)是相同的（M取整數(shù)），在ω=0，±2π,±4π,點(diǎn)上表示x(n)信號(hào)的直流分量；離開這些點(diǎn)愈遠(yuǎn)，其頻率愈高，但又是以2π為周期，那么最高的頻率應(yīng)是ω=π。一般只分析【－π~＋π】之間或0~2π范圍的FT就夠了。10

2．線性

(2.2.6)式中,a，b是常數(shù)。

設(shè)X1(ejω)=FT［x1(n)］,

X2(ejω)=FT［x2(n)］,那么11

3．時(shí)移與頻移

設(shè)X(ejω)=FT［x(n)］,那么(2.2.7)(2.2.8)FT[x(n-n0)]=e-jwn0X(ejw)124．FT的對(duì)稱性共軛對(duì)稱序列共軛反對(duì)稱序列共軛對(duì)稱與共軛反對(duì)稱序列的表示頻域函數(shù)共軛對(duì)稱與共軛反對(duì)稱序列的表示實(shí)因果序列h(n)的對(duì)稱性13

設(shè)序列xe(n)滿足下式：（2.2.9）則稱xe(n)為共軛對(duì)稱序列。為研究共軛對(duì)稱序列具有什么性質(zhì)，將xe(n)用其實(shí)部與虛部表示：

將上式兩邊n用－n代替，并取共軛，得到：對(duì)比上面兩公式，因左邊相等，因此得到：

（2.2.10）（2.2.11）兩式表明共軛對(duì)稱序列其實(shí)部是偶函數(shù)，而虛部是奇函數(shù)。共軛對(duì)稱序列14

滿足下式的序列稱為共軛反對(duì)稱序列：

（2.2.12）將xo(n)表示成實(shí)部與虛部，如下式：可以得到：（2.2.13）（2.2.14）即共軛反對(duì)稱序列的實(shí)部是奇函數(shù)，而虛部是偶函數(shù)。

共軛反對(duì)稱序列15

【例2.2.2】

試分析x(n)=ejωn的對(duì)稱性。

解:因?yàn)閤*(－n)=ejωn=x(n)滿足(2.2.9)式，所以x(n)是共軛對(duì)稱序列，如展成實(shí)部與虛部，則得到：x(n)=cosωn+jsinωn上式表明，共軛對(duì)稱序列的實(shí)部確實(shí)是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)。16一般序列可用其共軛對(duì)稱與共軛反對(duì)稱分量之和表示，即（2.2.15）將（2.2.15）式中的n用－n代替，再取共軛,得到：（2.2.16）利用（2.2.15）和（2.2.16）式，得到：（2.2.17）（2.2.18）利用上面兩式，可以用x(n)分別求出其xe(n)和xo(n)。

任意序列的共軛對(duì)稱與共軛反對(duì)稱分量17

對(duì)于頻域函數(shù)X(ejω)，也有和上面類似的概念和結(jié)論：

X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)（2.2.19）Xe(ejω)為共軛對(duì)稱部分（函數(shù)），Xo(ejω)共軛反對(duì)稱部分（函數(shù)）它們滿足：（2.2.20）（2.2.21）（2.2.22）（2.2.23）同樣有下面公式成立：+Xe(ejω)、Xo(ejω)的表示，

ω連續(xù)域18

(1)將序列x(n)分成實(shí)部xr(n)與虛部xi(n)，即x(n)=xr(n)+jxi(n)將上式進(jìn)行傅里葉變換，得到:X(ejw)=Xe(ejw)+Xo(ejw)

式中，xr(n)和xi(n)都是實(shí)數(shù)序列。Xe(ejω)具有共軛對(duì)稱性，它的實(shí)部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)；Xo(ejω)具有共軛反對(duì)稱性質(zhì)，它的實(shí)部是奇函數(shù)，虛部是偶函數(shù)。最后得到結(jié)論：序列分成實(shí)部與虛部?jī)刹糠郑瑢?shí)部對(duì)應(yīng)的傅里葉變換具有共軛對(duì)稱性，虛部和j一起對(duì)應(yīng)的傅里葉變換具有共軛反對(duì)稱性。式中FT的共軛對(duì)成性19

(2)將序列分成共軛對(duì)稱部分xe(n)和共軛反對(duì)稱部分xo(n)，即

x(n)=xe(n)+xo(n)(2.2.24)將（2.2.17）和（2.2.18）式重寫如下：因此（2.2.24）式的FT為（2.2.25）將上面兩式分別進(jìn)行傅里葉變換，得到：20

因?yàn)閔(n)是實(shí)序列，其FT只有共軛對(duì)稱部分He(ejω)，共軛反對(duì)稱部分為零。因此實(shí)序列的FT是共軛對(duì)稱函數(shù),其實(shí)部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)，用公式表示為顯然，其模：偶函數(shù)相位函數(shù)：奇函數(shù)

這和實(shí)模擬信號(hào)的FT有同樣的結(jié)論。實(shí)因果序列h(n)的頻譜的對(duì)稱性21

按照（2.2.17）和（2.2.18）式得到：因?yàn)閔(n)是實(shí)因果序列，he(n)和ho(n)可用下式表示：

（2.2.26）（2.2.27）實(shí)因果序列h(n)的對(duì)稱性22

實(shí)因果序列h(n)可以分別用he(n)和ho(n)表示為（2.2.28）（2.2.29）式中

（2.2.30）

因?yàn)閔(n)是實(shí)序列，上面公式中he(n)是偶函數(shù)，ho(n)是奇函數(shù)。按照（2.2.28）式，實(shí)因果序列完全由其偶序列恢復(fù)，但按照（2.2.29）式，ho(n)中缺少n=0點(diǎn)h(n)的信息。因此由ho(n)恢復(fù)h(n)時(shí)，要補(bǔ)充一點(diǎn)h(h)δ(n)信息。實(shí)因果序列h(n)的對(duì)稱性23實(shí)因果序列h(n)的

FT對(duì)稱性總結(jié)共軛對(duì)稱序列、函數(shù)共軛反對(duì)稱序列、函數(shù)一般序列與共軛對(duì)稱與共軛反對(duì)稱序列的關(guān)系實(shí)因果序列h(n)（2.2.26）（2.2.27）24

【例2.2.3】x(n)=anu(n),0<a<1。求其偶函數(shù)xe(n)和奇函數(shù)xo(n)。

解

x(n)=xe(n)+xo(n)

按（2.2.26）式，得到：25按（2.2.27）式，得到：

x(n)、xe(n)和xo(n)波形如圖2.2.3所示。

圖2.2.3例2.2.3圖26

5．時(shí)域卷積定理

設(shè)y(n)=x(n)*h(n)則

Y(ejω)=X(ejω)H(ejω)（2.2.31）證明令k=n－m，則兩序列卷積的FT服從相乘的關(guān)系（時(shí)域卷積，頻域相乘）27

6．頻域卷積定理

設(shè)y(n)=x(n)h(n)則(2.2.32)證明(2.2.33)交換積分與求和的次序：(2.2.34)

該定理表明，在時(shí)域兩序列相乘，頻域時(shí)服從卷積關(guān)系。287．帕斯維爾（Parseval）定理（2.2.35）證明

帕斯維爾定理表明了信號(hào)時(shí)域的能量與頻域的能量關(guān)系。29表2.2.1序列傅里葉變換的性質(zhì)定理302.3周期序列的傅里葉級(jí)數(shù)表示及其FT

周期序列定義：周期序列不是絕對(duì)可和的，狹義的FT不存在周期序列的傅里葉級(jí)數(shù)表示ak:傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)基頻序列:e1(n)k次諧波序列:ek(n)312.3.1周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)離散傅里葉級(jí)數(shù)只有N個(gè)獨(dú)立諧波分量:

且因?yàn)閺?fù)指數(shù)序列是k的周期函數(shù)所以，周期序列:只取k＝0到N-1的N個(gè)獨(dú)立諧波分量足以表示原信號(hào)

32周期序列離散傅里葉級(jí)數(shù)正變換

周期序列離散傅里葉級(jí)數(shù)反變換

周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)33【例2.3.1】

設(shè)x(n)=R4(n)，將x(n)以N=8為周期進(jìn)行周期延拓，得到如圖2.3.1(a)所示的周期序列，周期為8，求DFS［］。解按照（2.3.6）式,有其幅度特性如圖2.3.1(b)所示。

34圖2.3.1例2.3.1圖2.3.2周期序列的傅里葉變換在模擬系統(tǒng)中，的傅里葉變換是在處的一個(gè)沖激，強(qiáng)度為2

，即對(duì)于時(shí)域離散系統(tǒng)中的復(fù)指數(shù)序列，仍假設(shè)它的傅里葉變換是在處的一個(gè)沖激，強(qiáng)度為2

，考慮到時(shí)域離散信號(hào)傅里葉變換的周期性，因此的傅里葉變換應(yīng)寫為：假設(shè)的周期為N，將它用傅里葉級(jí)數(shù)來(lái)表示，即上式的求和號(hào)中的每一項(xiàng)都是復(fù)指數(shù)序列，其中第K項(xiàng)即為第K次諧波的傅里葉變換，根據(jù)其周期性能夠表示為：周期序列由N次諧波組成，因此它的傅里葉變換可以表示成式中，k=0,1,2,…,N-1,r=-3,-2,-1,0,1,2,…

以N為周期，而r變化時(shí)，δ函數(shù)變化2

r，因此如果讓k在(-∞,∞)變化，上式可以簡(jiǎn)化為上式就是一般周期序列的傅里葉變換表達(dá)式。一般周期序列的傅里葉變換表達(dá)式38例2.1：令，為有理數(shù)，求其傅里葉變換。解:將用歐拉公式展開為由得余弦序列的傅里葉變換為上式表明，余弦信號(hào)的傅里葉變換是在處的沖激函數(shù)，強(qiáng)度為

，同時(shí)以2

為周期進(jìn)行周期性延拓，如下圖所示。對(duì)于正弦序列，為有理數(shù)，它的傅里葉變換為2.4的FT與的FT之間的關(guān)系41對(duì)上式進(jìn)行傅里葉變換得到理想采樣信號(hào)：

2.4的FT與的FT之間的關(guān)系42

對(duì)比時(shí)域離散信號(hào)x(n)的傅里葉變換：得到：并且在數(shù)值上

，上式也可以表示成上面三個(gè)公式均表示時(shí)域離散信號(hào)的傅里葉變換和模擬信號(hào)傅里葉變換之間的關(guān)系43■時(shí)域離散信號(hào)的頻譜也是由模擬信號(hào)的頻譜周期性延拓形成的，延拓周期是，因此由采樣得到x(n)也要滿足采樣定理，否則也會(huì)產(chǎn)生頻域混疊現(xiàn)象，頻率混疊在附近最嚴(yán)重，在數(shù)字域，則是在π附近最嚴(yán)重。模擬頻率與數(shù)字頻率之間的定標(biāo)關(guān)系：442.5序列的Z變換Z變換及其收斂域的定義幾種序列的Z變換及其收斂域逆Z變換Z變換的性質(zhì)和定理利用Z變換求解差分方程利用Z變換分析信號(hào)和系統(tǒng)的頻響特性452.5.1Z變換及其收斂域的定義

序列x(n)的Z變換定義雙邊Z變換單邊Z變換

因果序列的Z變換:因果序列的單邊Z變換與雙邊Z變換相同Z平面:Z變換定義式中z所在的復(fù)平面z是一個(gè)連續(xù)復(fù)變量，具有實(shí)部和虛部

變量z的極坐標(biāo)形式

|z|=1為單位圓：

46Z變換的收斂域根據(jù)級(jí)數(shù)理論，式(2.1)收斂的充分必要條件是滿足絕對(duì)可和條件，即收斂域:對(duì)于給定的任意序列x(n)，使其Z變換收斂的所有z值的集合組成的區(qū)域。

根據(jù)羅朗級(jí)數(shù)性質(zhì)，收斂域一般是某個(gè)環(huán)域

收斂半徑Rx-可以小到0，Rx+可以大到∞收斂域以原點(diǎn)為中心，Rx-和Rx+為半徑的環(huán)域

47

序列Z變換與序列傅里葉變換關(guān)系

單位圓上的Z變換就是序列的傅里葉變換，但z的收斂域必須包含單位圓。

對(duì)比傅里葉變換定義式：

得到：48例:求序列的Z變換

例2.5.3求序列的Z變換。

解：序列x(n)是因果序列，根據(jù)Z變換的定義

分析收斂性：X(z)是無(wú)窮項(xiàng)冪級(jí)數(shù)。X(z)可用封閉形式，即解析函數(shù)形式表示為

當(dāng)|z|≤a時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散，當(dāng)|z|＞|a|時(shí)級(jí)數(shù)收斂。49例:求序列的Z變換

例2.5.4求序列的Z變換。

解：序列x(n)是一個(gè)左序列,

X(z)存在要求502.5.2序列特性對(duì)收斂域的影響結(jié)論：Z變換相同，收斂域不同，對(duì)應(yīng)的序列也不同。序列的X(z)與其收斂域是一個(gè)不可分離的整體，求Z變換就要包含其收斂域。對(duì)比例2.5.3和例2.5.4結(jié)果：51有限長(zhǎng)序列

有限長(zhǎng)序列只在有限區(qū)間n1≤n≤n2內(nèi)具有非零的有限值，在此區(qū)間外序列值都為零：Z變換

收斂域與n1、n2取值情況有關(guān)：

52例：求有限長(zhǎng)序列的Z變換例2.5.2求序列的Z變換及收斂域。

討論：X(z)有一個(gè)z=1的極點(diǎn)，但也有一個(gè)z=1的零點(diǎn)，所以零極點(diǎn)對(duì)消，X(z)在單位圓上收斂

。收斂域?yàn)?＜|z|≤+∞。

解：根據(jù)Z變換的定義

53右邊序列

右邊序列只在有限區(qū)間n≥n1

內(nèi)具有非零的有限值，在此區(qū)間外序列值都為零Z變換

上式中第一項(xiàng)為有限長(zhǎng)序列，收斂域?yàn)椋诙?xiàng)為因果序列，收斂域?yàn)椋灿惺諗坑驗(yàn)椤?4左邊序列

左邊序列只在有限區(qū)間n≤n2內(nèi)具有非零的有限值，在此區(qū)間外序列值都為零Z變換

如果，z=0點(diǎn)收斂，但z=∞點(diǎn)不收斂，收斂域?yàn)?/p>

如果，收斂域?yàn)?5雙邊序列

雙邊序列指n從-∞到+∞都具有非零的有限值，可看成左邊序列和右邊序列之和Z變換

討論：X1(z)收斂域?yàn)閨z|＜Rx+；X2(z)收斂域?yàn)镽x-＜|z|。雙邊序列Z變換的收斂域是二者的公共部分。如果滿足Rx-<Rx+

，則X(z)的收斂域?yàn)榄h(huán)狀區(qū)域，即Rx-＜|z|＜Rx+

；如果滿足Rx-≥Rx+，則X(z)無(wú)收斂域。

56例：求雙邊序列的Z變換例2.5.5己知序列，a為實(shí)數(shù)，求其Z變換及其收斂域。

解：上式第一項(xiàng)收斂域?yàn)椋?/p>

上式第一項(xiàng)收斂域?yàn)椋喝绻绻麩o(wú)公共收斂域，不存在當(dāng)時(shí)，x(n)和的圖形如右圖所示572.5.3逆Z變換

逆Z變換:

由X(z)及其收斂域求序列x(n)的變換求逆Z變換的方法:圍線積分法(留數(shù)定理)部分分式展開法冪級(jí)數(shù)法(長(zhǎng)除法)58序列的Z變換逆Z變換用留數(shù)定理求逆Z變換c是X(z)收斂域中一條包圍原點(diǎn)的逆時(shí)針的閉合曲線用F(z)表示被積函數(shù)：F(z)=X(z)zn-1圖2.5.3圍線積分路徑59如果F(z)在圍線c內(nèi)的極點(diǎn)用zk表示，則根據(jù)留數(shù)定理有1、如果zk是單階極點(diǎn)，則根據(jù)留數(shù)定理有2、如果zk是N階極點(diǎn)，則根據(jù)留數(shù)定理有式中,Res［F(z),zk］表示被積函數(shù)F(z)在極點(diǎn)z=zk的留數(shù)，逆Z變換是圍線c內(nèi)所有的極點(diǎn)留數(shù)之和。逆Z變換對(duì)于N階極點(diǎn)，需要求N－1次導(dǎo)數(shù)，這是比較麻煩的。如果c內(nèi)有多階極點(diǎn)，而c外沒(méi)有多階極點(diǎn)，則可以根據(jù)留數(shù)輔助定理改求c外的所有極點(diǎn)留數(shù)之和。60

如果F(z)在z平面上有N個(gè)極點(diǎn)，在收斂域內(nèi)的封閉曲線c將z平面上的極點(diǎn)分成兩部分：一部分c是內(nèi)極點(diǎn)，設(shè)有N1個(gè)極點(diǎn)，用z1k表示；另一部分是c外極點(diǎn)，有N2個(gè)，用z2k表示。N=N1+N2。根據(jù)留數(shù)輔助定理，下式成立：成立的條件:F(z)的分母階次應(yīng)比分子階次高二階以上。設(shè)X(z)=P(z)/Q(z),P(z)和Q(z)分別是M與N階多項(xiàng)式。成立的條件是N－M－n+1≥2因此要求n<N－Mc圓內(nèi)極點(diǎn)中有多階極點(diǎn)，而c圓外沒(méi)有多階極點(diǎn)，則逆Z變換的計(jì)算可以按該式，改求c圓外極點(diǎn)留數(shù)之和，最后加一個(gè)負(fù)號(hào)。61【例2.5.6】

已知X(z)=(1－az－1)－1，|z|>a,求其逆Z變換x(n)。

解

分析F(z)的極點(diǎn)：

1、n≥0時(shí)，F(xiàn)(z)在c內(nèi)只有1個(gè)極點(diǎn)：z1=a；

2、n<0時(shí)，F(xiàn)(z)在c內(nèi)只有2個(gè)極點(diǎn)：z1=a,z2=0是一個(gè)n階極點(diǎn)。所以，應(yīng)當(dāng)分段計(jì)算x(n)

n≥0時(shí)，62n<0時(shí)，z=0是n階極點(diǎn)，不易求留數(shù)。采用留數(shù)輔助定理求解，先檢查n≤N-M-1是否滿足。可以采用留數(shù)輔助定理求解，改求圓外極點(diǎn)留數(shù)，但對(duì)于F(z)，該例題中圓外沒(méi)有極點(diǎn)。故n<0,x(n)=0。最后得到該例題的原序列為x(n)=anu(n)事實(shí)上，該例題由于收斂域是|z|>a，根據(jù)前面分析的序列特性對(duì)收斂域的影響知道，x(n)一定是因果序列，這樣n<0部分一定為零，無(wú)需再求。本例如此求解是為了證明留數(shù)輔助定理法的正確性。63【例2.5.7】已知,求其逆變換x(n)。解該例題沒(méi)有給定收斂域，為求出唯一的原序列x(n)，必須先確定收斂域。分析X(z)，有兩個(gè)極點(diǎn)：z=a和z=a－1，這樣收斂域有三種選法，它們是（1）|z|>|a－1|，對(duì)應(yīng)的

x(n)是因果序列（2）|z|<|a|，對(duì)應(yīng)的

x(n)是左序列（3）|a|<|z|<|a－1|，對(duì)應(yīng)的

x(n)是雙邊序列64下面分別按照不同的收斂域求其x(n)。（1）收斂域?yàn)閨z|>|a－1|:

這種情況的原序列是因果的右序列，無(wú)須求n<0時(shí)的x(n)。當(dāng)n≥0時(shí)，F(xiàn)(z)在c內(nèi)有兩個(gè)極點(diǎn)：z=a和z=a-1，因此最后表示成：x(n)=(an－a-n)u(n)。65（2）收斂域?yàn)閨z|<|a|:這種情況原序列是左序列，無(wú)須計(jì)算n≥0情況。實(shí)際上，當(dāng)n≥0時(shí)，圍線積分c內(nèi)沒(méi)有極點(diǎn)，因此x(n)=0。n<0時(shí)，c內(nèi)只有一個(gè)極點(diǎn)z=0，且是n階極點(diǎn)，改求c外極點(diǎn)留數(shù)之和。

n<0時(shí),最后將x(n)表示成封閉式：x(n)=(a-n－an)u(－n－1)66（3）收斂域?yàn)閨a|<|z|<|a－1|:這種情況對(duì)應(yīng)的x(n)是雙邊序列。根據(jù)被積函數(shù)F(z)，按n≥0和n<0兩種情況分別求x(n)。

n≥0時(shí)，c內(nèi)只有1個(gè)極點(diǎn)：z=a,x(n)=Res［F(z),a］=an

n<0時(shí)，c內(nèi)極點(diǎn)有2個(gè)，其中z=0是n階極點(diǎn)，改求c外極點(diǎn)留數(shù)，c外極點(diǎn)只有z=a－1，因此x(n)=－Res［F(z),a－1］=a－n最后將x(n)表示為即x(n)=a|n|67部分分式展開法

對(duì)于大多數(shù)單階極點(diǎn)的X(z)，常用部分分式展開法求逆Z變換。方法：將有理分式X(z)，展開成簡(jiǎn)單常用的部分分式之和，求各簡(jiǎn)單分式的逆Z變換，再相加

得到x(n)。假設(shè)有N個(gè)一階極點(diǎn)，可展成如下部分分式:68部分分式展開法

觀察上式，/z在z=0的極點(diǎn)留數(shù)等于系數(shù)，在極點(diǎn)的留數(shù)就是系數(shù)。求出系數(shù)后，查表2.5.1可求得序列x(n)6970最后得到的原序列為：712.5.4Z變換的性質(zhì)和定理

１．線性：滿足疊加原理

ZT[ax(n)+by(n)]=aX(z)+bY(z)，R-＜|z|＜R+

(2.20)

例2.12求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的Z變換。由于出現(xiàn)零極點(diǎn)抵消，收斂域增大了。由于x(n)是n≥0的有限長(zhǎng)序列，收斂域是除|z|=0之外的全部z平面。

72Z變換性質(zhì)２．序列的移位：證明３．乘以指數(shù)序列

：證明73Z變換性質(zhì)４．序列的線性加權(quán)（乘以n的ZT）

：證明

5．復(fù)共軛序列的ZT設(shè)X(z)=ZT［x(n)］Rx－<|z|<Rx+則ZT［x*(n)］=X*(z*)

Rx－<|z|<Rx+

74Z變換性質(zhì)－－初值定理

６．初值定理：若x(n)是因果序列，即x(n)=0，n＜0，則證明：x(n)是因果序列，有

顯然

若x(n)是逆因果序列，即x(n)=0，n＞0，有

75Z變換性質(zhì)－－終值定理

７．終值定理：若x(n)是因果序列，且X(z)的全部極點(diǎn)，除在z=1處可以有一階極點(diǎn)外，其余極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)，則

證明：由移位性質(zhì)可得

x(n)是因果序列，則有

76Z變換性質(zhì)８．時(shí)域卷積定理

：W(z)=ZT[x(n)*y(n)]=X(z)·Y(z)，R-＜|z|＜R+

證明交換求和次序，并代入m=n-k得77

【例2.5.9】已知網(wǎng)絡(luò)的單位脈沖響應(yīng)h(n)=anu(n)，|a|<1,網(wǎng)絡(luò)輸入序列x(n)=u(n)，求網(wǎng)絡(luò)的輸出序列y(n)。解

y(n)=h(n)*x(n)（1）直接求解線性卷積

78

（2）Z變換法由收斂域判定y(n)=0

n<0n≥0時(shí)，將y(n)表示為：

79

9．復(fù)卷積定理

如果ZT［x(n)］=X(z)

Rx－<|z|<Rx+

ZT［y(n)］=Y(z)

Ry－<|z|<Ry+

w(n)=x(n)y(n)則（2.5.24）W(z)的收斂域?yàn)?/p>

Rx－Ry－<|z|<Rx+Ry+

(2.5.25)（2.5.24）式中υ平面上，被積函數(shù)的收斂域?yàn)閆變換性質(zhì)80證明

由X(z)的收斂域和Y(z)的收斂域得到：因此81【例2.5.10】已知x(n)=u(n)，y(n)=a|n|,若w(n)=x(n)y(n)，求W(z)=ZT［w(n)］，0＜a＜1。

解

W(z)的收斂域?yàn)閨a|<|z|≤∞；被積函數(shù)υ平面上的收斂域?yàn)閙ax(|a|,0)<|υ|<min(|a－1|,|z|)，υ平面上極點(diǎn)：a、a－1，c內(nèi)極點(diǎn)：z=a。令則：82

10．帕斯維爾（Parseval）定理設(shè)X(z)=ZT［x(n)］Rx－<|z|<Rx+

Y(z)=ZT［x(n)］Ry－<|z|<Ry+

Rx－Ry－<1,Rx+Ry+>1那么（2.5.27）υ平面上，c所在的收斂域?yàn)槔脧?fù)卷積定理可以證明上面的重要的帕斯維爾定理Z變換性質(zhì)832.5.5利用Z變換求解差分方程

N階線性常系數(shù)差分方程

x(n)是系統(tǒng)的輸入序列y(n)是系統(tǒng)的輸出序列ak和bk均為常數(shù)y(n－k)和x(n－k)項(xiàng)只有一次冪，也沒(méi)有相互交叉相乘項(xiàng)，（2.5.30）a0=184N階線性常系數(shù)差分方程的求解時(shí)域求解（遞推解）

Z變換移位性質(zhì)

Z變換求解

差分方程代數(shù)方程Z變換式輸出序列逆Z變換解方程85

1．求穩(wěn)態(tài)解

如果輸入序列x(n)是在n=0以前∞時(shí)加上的，n時(shí)刻的y(n)是穩(wěn)態(tài)解，對(duì)（2.5.30）式求Z變換，得到：式中：

X(z)86

2．求暫態(tài)解

對(duì)于N階差分方程，求暫態(tài)解必須已知N個(gè)初始條件。設(shè)x(n)是因果序列，即x(n)=0,n<0，已知初始條件:y(－1),y(－2),

,y(－N)。設(shè)

（2.5.33）

-(n-m)（2.5.30）87（2.5.34）零狀態(tài)解:上式第一部分(與系統(tǒng)初始狀態(tài)無(wú)關(guān))零輸入解:上式第二部分(與輸入信號(hào)無(wú)關(guān))求零狀態(tài)解時(shí)，可用雙邊Z變換求解也可用單邊Z變換求解，求零輸入解卻必須考慮初始條件，用單邊Z變換求解。88Z變換求差分方程

例2.5.11

已知一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的差分方程y(n)=by(n-1)+x(n)，設(shè)初始條件y(-1)=2，輸入求系統(tǒng)的輸出y(n)。

解：于是

零輸入解和零狀態(tài)解分別為，

892.6利用Z變換分析信號(hào)和系統(tǒng)的頻響特性頻率響應(yīng)函數(shù)與系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)的零、極點(diǎn)分布與系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性特殊系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)及其特點(diǎn)系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)分布與系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性2.6.1頻率響應(yīng)函數(shù)與系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)的時(shí)域特性用單位脈沖響應(yīng)表示，對(duì)進(jìn)行傅里葉變換，得到

稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)，或稱系統(tǒng)的傳輸函數(shù)，它表征系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性。

將進(jìn)行Z變換，得到一般稱為系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，它表征系統(tǒng)的復(fù)頻域特性。91頻率響應(yīng)函數(shù)的表示

復(fù)函數(shù)

是以2π為周期的連續(xù)周期函數(shù)，用實(shí)部和虛部表示為

用幅度與相位表示為

的幅度響應(yīng)

的相位響應(yīng)

92

系統(tǒng)函數(shù)的表示

系統(tǒng)函數(shù)的定義系統(tǒng)函數(shù)

H(z):表示系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)與輸入序列z變換的比值

線性時(shí)不變系統(tǒng)93N階差分方程的系統(tǒng)函數(shù)因果輸入序列，零初始狀態(tài)，差分方程取z變換，得到N階差分方程的系統(tǒng)函數(shù)：線性時(shí)不變系統(tǒng)輸入和輸出滿足差分方程

94

與頻率響應(yīng)

在數(shù)值上等于H(z)在z平面單位圓上的取值（H(z)必須在單位圓上收斂）。

如果已知系統(tǒng)函數(shù)H(z)，則可求得其頻率響應(yīng)，即

95頻率響應(yīng)的物理意義設(shè)輸入序列是頻率為ω的復(fù)指數(shù)序列，則由線性卷積公式，得到系統(tǒng)的響應(yīng)y(n)即：離散線性時(shí)不變系統(tǒng)對(duì)輸入為單頻復(fù)指數(shù)序列的響應(yīng)，仍為同頻率ω的單頻復(fù)指數(shù)序列。其幅度放大倍，相移變化為。

是一個(gè)與系統(tǒng)頻率特性有關(guān)的量，如果輸入為一般x(n)，則系統(tǒng)響應(yīng)為對(duì)輸入x(n)的所有頻率成分響應(yīng)的加權(quán)和。96正弦輸入序列的系統(tǒng)頻率響應(yīng)可見，當(dāng)離散線性時(shí)不變系統(tǒng)輸入單頻正弦序列時(shí)，輸出仍為同頻率的單頻正弦序列，其幅度為頻率響應(yīng)幅度

的乘積，而相位為輸入相位θ與系統(tǒng)相位響應(yīng)之和。

972.6.2系統(tǒng)的極點(diǎn)分布與因果性和穩(wěn)定性

如何根據(jù)H(z)的極點(diǎn)分布判斷系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性?因果穩(wěn)定的充分必要條件：一個(gè)因果穩(wěn)定系統(tǒng)H(z)的收斂域必須在某個(gè)圓的外部，該圓包含H(z)所有的極點(diǎn)，而且<1（收斂域必須包含單位圓）。即

Rx-＜|z|≤+∞，0＜Rx-＜1

如果系統(tǒng)函數(shù)H(z)的所有極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)，則系統(tǒng)是因果穩(wěn)定的。如果系統(tǒng)因果穩(wěn)定，則系統(tǒng)的所有極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)。收斂域包含單位圓，系統(tǒng)穩(wěn)定；收斂域包含無(wú)窮遠(yuǎn)，系統(tǒng)因果。98例：分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性例：已知一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，試確定系統(tǒng)的收斂域，并分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。

解：對(duì)H(z)的分母進(jìn)行因式分解得極點(diǎn)為-0.25，-0.5；零點(diǎn)為0，0.5，如右圖所示。兩個(gè)極點(diǎn)把平面劃分為三個(gè)區(qū)域，所以H(z)的收斂域有三種可能的情況，下面分別進(jìn)行討論。99

如果收斂域是極點(diǎn)-0.5所在的圓的外部區(qū)域，收斂域包含∞點(diǎn)，有，因此系統(tǒng)是因果的。系統(tǒng)函數(shù)的收斂域?yàn)?.5＜|z|≤+∞

，而且包含單位圓，所以對(duì)應(yīng)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果收斂域是極點(diǎn)-0.25所在的圓的內(nèi)部區(qū)域，有，因此系統(tǒng)是逆因果的，收斂域?yàn)?≤|z|＜0.25。收斂域不包含單位圓，所以對(duì)應(yīng)系統(tǒng)不是穩(wěn)定的。如果收斂域是極點(diǎn)-0.25和-0.5所在的兩個(gè)圓之間的環(huán)域，即0.25≤|z|＜0.5，收斂域不包含∞點(diǎn)，單位圓也沒(méi)有位于收斂域內(nèi)，所以對(duì)應(yīng)系統(tǒng)是非因果且不穩(wěn)定的。100

【例2.6.1】已知，分析其因果性和穩(wěn)定性。

解

H(z)的極點(diǎn)為z=a,z=a－1，如圖2.5.5所示。（1）收斂域?yàn)閍－1<|z|≤∞:對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，但由于收斂域不包含單位圓，因此是不穩(wěn)定系統(tǒng)。單位脈沖響應(yīng)h(n)=(an－a－n)u(n)，這是一個(gè)因果序列，但不收斂。（2）收斂域?yàn)?≤|z|<a:對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)是非因果且不穩(wěn)定系統(tǒng)。其單位脈沖響應(yīng)h(n)=(a－n－an)u(－n－1)，這是一個(gè)非因果且不收斂的序列。（3）收斂域?yàn)閍<|z|<a-1:對(duì)應(yīng)一個(gè)非因果系統(tǒng)，但由于收斂域包含單位圓，因此是穩(wěn)定系統(tǒng)。其單位脈沖響應(yīng)h(n)=a|n|，這是一個(gè)收斂的雙邊序列。1012.6.3系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布與系統(tǒng)頻率響應(yīng)

對(duì)系統(tǒng)函數(shù)的分子、分母多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解

H(z)在z=cr處有零點(diǎn)，在z=dr處有極點(diǎn)

N＞M時(shí)，在z=0處有一個(gè)(N-M)階零點(diǎn)

零點(diǎn)和極點(diǎn)分別由差分方程的系數(shù)ai和bi決定

除常數(shù)A外，系統(tǒng)函數(shù)完全由零點(diǎn)cr極點(diǎn)dr唯一確定

零、極點(diǎn)也是描述系統(tǒng)的一種方法，因?yàn)橐阎到y(tǒng)的零、極點(diǎn)分布，就可以大致了解系統(tǒng)的性能

102

將上式分子、分母同乘以zN+M，得到：設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定，將z=ejω代入上式，得到頻率響應(yīng)函數(shù)2頻率響應(yīng)的幾何確定法

零點(diǎn)矢量

：極點(diǎn)矢量：矢量的模即矢量長(zhǎng)度；矢量的幅角是對(duì)應(yīng)矢量與正實(shí)軸的夾角。

103頻率響應(yīng)幾何確定法系統(tǒng)頻率響應(yīng)式可表示

幅度響應(yīng)等于各零點(diǎn)矢量長(zhǎng)度之積除以各極點(diǎn)矢量長(zhǎng)度之積，再乘以常數(shù)A

相位響應(yīng)等于各零點(diǎn)矢量的相角之和減去各極點(diǎn)矢量的相角之和，再加上線性分量ω(N-M)。

104頻率響應(yīng)幾何確定法圖示105零極點(diǎn)位置對(duì)頻率響應(yīng)的影響零點(diǎn)位置:

主要影響幅度響應(yīng)的谷點(diǎn)值及形狀。當(dāng)B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到某個(gè)零點(diǎn)cr

附近時(shí)，如果零點(diǎn)矢量長(zhǎng)度最短，則幅度響應(yīng)在該點(diǎn)可能出現(xiàn)谷點(diǎn)；零點(diǎn)cr

越靠近單位圓，零點(diǎn)矢量長(zhǎng)度越短，則谷點(diǎn)越接近零；如果零點(diǎn)cr

在單位圓上，零點(diǎn)矢量長(zhǎng)度為零，則谷點(diǎn)為零。

極點(diǎn)位置:

主要影響幅度響應(yīng)的峰值及尖銳程度。當(dāng)B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到某個(gè)極點(diǎn)dr附近時(shí)，如果極點(diǎn)矢量長(zhǎng)度最短，則幅度響應(yīng)在該點(diǎn)可能出現(xiàn)峰值；極點(diǎn)dr越靠近單位圓，極點(diǎn)矢量長(zhǎng)度越短，則幅度響應(yīng)在峰值附近越尖銳；如果極點(diǎn)dr在單位圓上，極點(diǎn)矢量長(zhǎng)度為零，則幅度響應(yīng)的峰值趨于無(wú)窮大，此時(shí)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

106小結(jié)單位圓附近的零點(diǎn)位置對(duì)幅度響應(yīng)波谷的位置和深度有明顯的影響，零點(diǎn)可在單位圓外。在單位圓內(nèi)且靠近單位圓附近的極點(diǎn)對(duì)幅度響應(yīng)的波峰的位置和高度則有明顯的影響，極點(diǎn)在單位圓上，則不穩(wěn)定。利用直觀的幾何確定法，適當(dāng)?shù)乜刂屏恪O點(diǎn)的分布，就能改變系統(tǒng)頻率響應(yīng)的特性，達(dá)到預(yù)期的要求，因此它是一種非常有用的分析系統(tǒng)的方法。107

【例2.6.2】

已知H(z)=z-1，分析其頻率特性。

解：由H(z)=z－1，可知極點(diǎn)為z=0，幅頻特性|H(ejω)|=1,相頻特性φ(ω)=－ω，當(dāng)ω=0轉(zhuǎn)到ω=2π時(shí)，極點(diǎn)向量的長(zhǎng)度始終為1。

圖2.6.2

H(z)=z－1的頻響特性當(dāng)ω=0轉(zhuǎn)到ω=2π時(shí)，極點(diǎn)向量的長(zhǎng)度始終為1。由該例可以得到結(jié)論：位于原點(diǎn)處的零點(diǎn)或極點(diǎn)，由于零點(diǎn)向量長(zhǎng)度或者極點(diǎn)向量長(zhǎng)度始終為1，因此原點(diǎn)處的零極點(diǎn)不影響系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)特性，但對(duì)相頻特性有貢獻(xiàn)。108【例2.6.3】

設(shè)一階系統(tǒng)的差分方程為y(n)=by(n－1)+x(n)用幾何法分析其幅度特性。解由系統(tǒng)差分方程得到系統(tǒng)函數(shù)為

式中，0<b<1。系統(tǒng)極點(diǎn)z=b，零點(diǎn)z=0，當(dāng)B點(diǎn)從ω=0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，在ω=0點(diǎn)，由于極點(diǎn)向量長(zhǎng)度最短，形成波峰；在ω=π點(diǎn)形成波谷；z=0處零點(diǎn)不影響幅頻響應(yīng)。極零點(diǎn)分布及幅度特性如圖所示。如果-1<b<0，則峰值點(diǎn)出現(xiàn)在ω=π處，形成高通濾波器。

109【例2.6.4】已知H(z)=1－z－N，試定性畫出系統(tǒng)的幅頻特性。解

H(z)的極點(diǎn)為z=0，這是一個(gè)N階極點(diǎn)，它不影響系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)。零點(diǎn)有N個(gè)，由分子多項(xiàng)式的根決定

即N個(gè)零點(diǎn)等間隔分布在單位圓上，設(shè)N=8，極零點(diǎn)分布如圖2.6.5所示。當(dāng)ω從0變化到2π時(shí)，每遇到一個(gè)零點(diǎn)，幅度為零，在兩個(gè)零點(diǎn)的中間幅度最大，形成峰值。幅度谷值點(diǎn)頻率為：ωk=(2π/N)k,k=0,1,2,

,N－1。110例2.6.4的梳狀濾波器的極零點(diǎn)分布及幅頻、相頻特性N個(gè)零點(diǎn)等間隔分布在單位圓上，設(shè)N=8，極零點(diǎn)分布如圖2.6.4所示。當(dāng)ω從0變化到2π時(shí)，每遇到一個(gè)零點(diǎn)，幅度為零，在兩個(gè)零點(diǎn)的中間幅度最大，形成峰值。幅度谷值點(diǎn)頻率為：ωk=(2π/N)k,k=0,1,2,

,N－1。根據(jù)其形狀，稱之為梳狀濾波器。1112.6.4幾種特殊系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)及其特點(diǎn)全通濾波器梳狀濾波器最小相位系統(tǒng)1121全通系統(tǒng)（全通網(wǎng)絡(luò)，全通濾波器）

定義：如果濾波器的幅頻特性對(duì)所有頻率均等于常數(shù)或1.

表明信號(hào)通過(guò)全通濾波器后，幅度譜保持不變，僅相位譜隨φ(ω)改變，起純相位濾波作用全通濾波器系統(tǒng)函數(shù)的一般形式：

頻率響應(yīng)函數(shù)1131全通系統(tǒng)（全通網(wǎng)絡(luò)，全通濾波器）

或?qū)懗啥A濾波器級(jí)聯(lián)形式：全通濾波器零點(diǎn)與極點(diǎn)互為共軛倒易關(guān)系用零極點(diǎn)表示如下：

全通濾波器一組零極點(diǎn)示意

可以證明上式表示的濾波器具有全通幅頻特性114例：二階全通系統(tǒng)

例：

設(shè)二階全通系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)，并畫出相應(yīng)曲線。

解：2梳狀濾波器系統(tǒng)函數(shù)，其頻率響應(yīng)函數(shù)以2π為周期，將

的變量

用代替，得到的，其頻率響應(yīng)是以為周期的，所以在區(qū)間【0，2π】上就有

N個(gè)相同的頻率特性周期，從而可以構(gòu)成各種梳狀濾波器。115梳狀濾波器可以濾除輸入信號(hào)中的的頻率分量。可用于消除信號(hào)中的電網(wǎng)諧波干擾和其它頻譜的等間隔分布的干擾。11