統(tǒng)計(jì)學(xué)

第四章綜合指標(biāo)與數(shù)據(jù)分布特征一、總量指標(biāo)（絕對數(shù)指標(biāo)）二、相對數(shù)指標(biāo)（相對數(shù)）三、平均數(shù)指標(biāo)（平均數(shù)）四、標(biāo)志變異指標(biāo)五、分布的偏度與峰度主要內(nèi)容本章重點(diǎn)1、時(shí)期指標(biāo)和時(shí)點(diǎn)指標(biāo)的區(qū)別2、各種相對指標(biāo)的判斷3、算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算4、調(diào)和平均數(shù)的計(jì)算5、標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)的應(yīng)用一、概念總量指標(biāo)是反映社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象總規(guī)模、總水平的綜合指標(biāo)。§1總量指標(biāo)例如：2005年我國財(cái)政收入30510億元，財(cái)政支出33510億元，財(cái)政赤字3000億元。總量指標(biāo)表現(xiàn)形式是絕對數(shù)，也可表現(xiàn)為絕對差數(shù)。二、作用（1）反映國情、國力和企事業(yè)單位人、財(cái)、物的狀況；（2）是國民經(jīng)濟(jì)宏觀管理和企業(yè)經(jīng)濟(jì)核算的基礎(chǔ)性指標(biāo)，是實(shí)行目標(biāo)管理的工具；（3）是計(jì)算相對指標(biāo)和平均指標(biāo)的基礎(chǔ)。三、總量指標(biāo)的種類1、按反映現(xiàn)象總體內(nèi)容的不同總體單位總量總體標(biāo)志總量2、按反映時(shí)間狀況的不同時(shí)期指標(biāo)時(shí)點(diǎn)指標(biāo)區(qū)別：是否連續(xù)登記取得數(shù)值、是否可累加、是否與時(shí)間長短有關(guān)單位名稱企業(yè)數(shù)（個(gè)）職工數(shù)（人）固定資產(chǎn)增加額（萬元）工業(yè)增加值（元）紡織局化工局機(jī)械局300250450800050007000

100020002000200500300合計(jì)10002000050001000例:通過下表：1、區(qū)分總體單位總量與總體標(biāo)志總量；2、區(qū)分時(shí)期指標(biāo)與時(shí)點(diǎn)指標(biāo)。四、總量指標(biāo)的計(jì)量單位計(jì)量單位自然單位：頭、輛、人雙重單位：臺(tái)/千瓦復(fù)合單位：噸公里實(shí)物單位貨幣單位勞動(dòng)量單位：工時(shí)、工日度量衡單位：米、公斤實(shí)物指標(biāo)價(jià)值指標(biāo)勞動(dòng)指標(biāo)§2相對指標(biāo)一、相對指標(biāo)的概念、表現(xiàn)形式第三章綜合指標(biāo)1、概念：相對指標(biāo)是兩個(gè)相互聯(lián)系的現(xiàn)象數(shù)量的比率，用以反映現(xiàn)象的發(fā)展程度、結(jié)構(gòu)、強(qiáng)度、普遍程度。例：2005年我國對外貿(mào)易進(jìn)口總額增長率為16.1%，出口總額增長率為25.7%2、作用1）能具體表明社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象之間的比例關(guān)系2）使一些不能直接對比的現(xiàn)象有了共同對比的基礎(chǔ)；3）是經(jīng)濟(jì)管理和考核評價(jià)企業(yè)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)狀態(tài)的重要指標(biāo)。

3、表現(xiàn)形式：無名數(shù)、有名數(shù)企業(yè)8月份勞動(dòng)生產(chǎn)率(萬元)7月份勞動(dòng)生產(chǎn)率(萬元)8月比7月發(fā)展速度（%）甲21.94103.09+600元乙0.560.52107.69+400元從上表中看來，好象甲廠比乙廠勞動(dòng)生產(chǎn)率高（∵600>400）；而將其換算成相對指標(biāo)，實(shí)際發(fā)展速度是乙廠快于甲廠。由此可看出相對指標(biāo)可以彌補(bǔ)總量指標(biāo)的不足。例二、相對指標(biāo)的種類及計(jì)算方法（一）結(jié)構(gòu)相對指標(biāo)1、結(jié)構(gòu)相對指標(biāo)是反映總體內(nèi)部構(gòu)成特征或類型的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)。3、指標(biāo)特點(diǎn)：各組或各部分占總體的比重之和，必須為1或100%2004年人口主要構(gòu)成情況（單位：萬人）指

標(biāo)年末數(shù)比重（%）全國總?cè)丝?29988

100.0

其中：城鎮(zhèn)54283

41.8

鄉(xiāng)村75705

58.2

其中：男性66976

51.5

女性63012

48.5

其中：0-14歲27947

21.5

15-64歲92184

70.9

65歲及以上9857

7.6

指標(biāo)單位20012002200320042005城鎮(zhèn)居民人均可支配收入元686077038472942210493農(nóng)村居民人均純收入元23662476262229363255城鎮(zhèn)居民家庭恩格爾系數(shù)%38.237.737.137.736.7農(nóng)村居民家庭恩格爾系數(shù)%47.746.245.647.245.51998100.020.941.033.77.338.11999100.019.240.933.37.639.92000100.017.841.433.28.240.82001100.016.741.633.08.641.72002100.016.042.033.09.042.0年

份國內(nèi)生產(chǎn)

總值

第一產(chǎn)業(yè)第二產(chǎn)業(yè)

第三產(chǎn)業(yè)工業(yè)建筑業(yè)重慶重慶市國內(nèi)生產(chǎn)總值構(gòu)成(%)（二）比例相對指標(biāo)1、比例相對指標(biāo)是反映總體內(nèi)各個(gè)局部、各個(gè)分組之間量的比例關(guān)系的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)。3、一般用百分比表示，也可用幾比幾的形式表示。

指標(biāo)19531964198219902000總?cè)丝?萬人）5943569458100818113368126583男3079935652519445849565355女2863633806488745487361228性別比(以女性為100)107.56105.46106.30106.60106.74

五次全國人口普查人口基本情況

2004年重慶GDP抽象化為100，第一產(chǎn)業(yè)、第二產(chǎn)業(yè)、第三產(chǎn)業(yè)的比例為：15.9︰44.3︰39.8。（三）比較相對指標(biāo)1、說明某一同類現(xiàn)象在同一時(shí)間內(nèi)不同單位發(fā)展的不平衡程度。3、一般用百分?jǐn)?shù)或倍數(shù)表示。城市人均可支配收入

2003年2004年人均消費(fèi)支出

2003年2004年北京(元)13882.615637.811123.812200.4重慶(元)8093.79221.07118.17973.1兩者之比（倍）1.7151.6961.5631.53絕對差額（元）5788.96416.84005.74227.31997年中美小學(xué)、中學(xué)、高等院校師生比

小學(xué)中學(xué)高等院校美國18.314.215.6中國24.216.89.8二者之比（倍或%）0.756（倍）(75.6%)0.845(倍)（84.5%)1.592(倍)（159.2%)

例:某年有甲、乙兩企業(yè)同時(shí)生產(chǎn)一種性能相同的產(chǎn)品，甲企業(yè)工人勞動(dòng)生產(chǎn)率為19,307元，乙企業(yè)為27,994元。說明甲企業(yè)勞動(dòng)生產(chǎn)率比乙企業(yè)低31%。（四）動(dòng)態(tài)相對指標(biāo)1、反映同類現(xiàn)象在不同時(shí)間上變動(dòng)程度的相對指標(biāo)。1、是用來表明某一現(xiàn)象在另一現(xiàn)象中發(fā)展的強(qiáng)度、密度或普遍程度的相對指標(biāo)。例如人口密度、每萬人擁有醫(yī)院病床數(shù)、人均綠地面積等（五）強(qiáng)度相對指標(biāo)3、分子分母可以互換，故有正指標(biāo)與逆指標(biāo)之分。4、強(qiáng)度相對數(shù)常帶有“人均”字樣，但不是平均數(shù)（含義不同）。例:某城市人口100萬人，有零售商業(yè)機(jī)構(gòu)5000個(gè)，則：（六）計(jì)劃完成程度相對指標(biāo)1、以絕對數(shù)形式計(jì)算計(jì)劃完成程度相對指標(biāo)

⑴檢查短期計(jì)劃情況基本公式：計(jì)劃完成程度（%）=實(shí)際完成數(shù)計(jì)劃任務(wù)數(shù)某企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品產(chǎn)量計(jì)劃完成情況如下：單位（噸）b、檢查累計(jì)至二月份的產(chǎn)量計(jì)劃完成程度情況。月份計(jì)劃產(chǎn)量實(shí)際產(chǎn)量

一二三180018001800122517202665合計(jì)

54005610a、檢查各月產(chǎn)量計(jì)劃完成情況。計(jì)劃完成程度（%）

68.0695.56148.06

103.89（計(jì)算結(jié)果見上表）⑵檢查長期計(jì)劃情況a、累計(jì)法：按n年完成任務(wù)的總和下達(dá)計(jì)劃任務(wù)b、水平法：按計(jì)劃期末應(yīng)達(dá)到的水平下達(dá)計(jì)劃任務(wù)例:

根據(jù)表中的資料，采用累計(jì)法或水平法，完成如下兩項(xiàng)要求：（1）若五年計(jì)劃規(guī)定，最后一年應(yīng)達(dá)到45萬噸，試計(jì)算計(jì)劃完成相對指標(biāo)及提前多長時(shí)間完成計(jì)劃任務(wù)？（2）若五年計(jì)劃中規(guī)定，五年內(nèi)產(chǎn)量應(yīng)達(dá)到178萬噸，試計(jì)算計(jì)劃完成相對指標(biāo)及提前多長時(shí)間完成計(jì)劃任務(wù)？2、以相對數(shù)形式計(jì)算計(jì)劃完成程度相對指標(biāo)實(shí)際完成程度（%）計(jì)劃完成程度（%）=——————————

計(jì)劃規(guī)定的完成程度（%）第四章綜合指標(biāo)例3-2-3：假定某企業(yè)按計(jì)劃規(guī)定，勞動(dòng)生產(chǎn)率應(yīng)在基期的水平上提高3%，實(shí)際執(zhí)行結(jié)果提高了4%，問提高勞動(dòng)生產(chǎn)率計(jì)劃任務(wù)的完成程度是多少？第四章綜合指標(biāo)解：即：超額0.97%完成提高勞動(dòng)生產(chǎn)率的計(jì)劃任務(wù)。解：例：假定某企業(yè)按計(jì)劃規(guī)定，產(chǎn)品單位成本應(yīng)在上一年的水平上降低4%，實(shí)際降低了3%，問降低產(chǎn)品成本的計(jì)劃任務(wù)的完成程度是多少？第三章綜合指標(biāo)即：差1.04%沒有完成成本降低計(jì)劃任務(wù)。例：某企業(yè)2005年產(chǎn)品銷售量計(jì)劃為上年的108%,2004-2005年動(dòng)態(tài)相對指標(biāo)為114%,試確定2005年產(chǎn)品銷售計(jì)劃完成程度。３、以平均數(shù)形式計(jì)算計(jì)劃完成程度相對指標(biāo)實(shí)際平均水平計(jì)劃完成程度（%）=————————

計(jì)劃平均水平以平均數(shù)形式下達(dá)的計(jì)劃檢查方法與絕對數(shù)計(jì)劃檢查方法大致相同，但長期計(jì)劃檢查不適合采用累計(jì)法。六種相對數(shù)指標(biāo)的比較不同時(shí)期比較動(dòng)態(tài)相對數(shù)強(qiáng)度相對數(shù)不同現(xiàn)象比較不同總體比較比較相對數(shù)同一總體中部分與部分比較部分與總體比較實(shí)際與計(jì)劃比較比例相對數(shù)結(jié)構(gòu)相對數(shù)計(jì)劃完成相對數(shù)同一時(shí)期比較同類現(xiàn)象比較三、正確運(yùn)用相對指標(biāo)的原則（1）正確選擇對比的基數(shù)；（2）必須注意對比的兩個(gè)指標(biāo)的可比性；（3）相對指標(biāo)要與總量指標(biāo)相結(jié)合；（4）多種相對指標(biāo)的結(jié)合運(yùn)用。§3平均指標(biāo)一、平均指標(biāo)的概念、特點(diǎn)、種類平均指標(biāo)又稱平均數(shù)，它是將一個(gè)同質(zhì)總體各單位之間量的差異抽象化，用一個(gè)指標(biāo)來代表總體各單位的一般水平，是對總體分布集中趨勢或中心位置的度量。特點(diǎn)

-數(shù)量抽象性

-集中趨勢代表性種類:數(shù)值平均數(shù)位置平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)幾何平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)二、算術(shù)平均數(shù)（一）基本公式例:平均工資=工資總額/職工人數(shù)平均成本=總成本/產(chǎn)量

算術(shù)平均數(shù)與強(qiáng)度相對數(shù)的區(qū)別平均數(shù)（1）、平均數(shù)是在同質(zhì)總體內(nèi)進(jìn)行計(jì)算的。（2）、平均數(shù)的分子與分母是一一對應(yīng)關(guān)系。分母是分子（標(biāo)志值）的承擔(dān)者。（3）、平均數(shù)是反映一般水平或集中趨勢的。強(qiáng)度相對數(shù)：（1）、強(qiáng)度相對數(shù)是由兩個(gè)不同質(zhì)但有聯(lián)系的總體的指標(biāo)數(shù)值對比求得。（2）、強(qiáng)度相對數(shù)的分子與分母不存在一一對應(yīng)關(guān)系。（3）、強(qiáng)度相對數(shù)是反映兩個(gè)有聯(lián)系的總體之間的數(shù)量聯(lián)系。1、簡單算術(shù)平均數(shù)：適合于未分組資料6名學(xué)生的考試成績分別為（分）：79、82、87、60、95、91，他們的平均成績是多少？2、加權(quán)算術(shù)平均數(shù)：適合分組資料工人日產(chǎn)量（件）工人人數(shù)（人）工人人數(shù)比重（%）

101112131470150380150100

8.7512.5047.501872512.50合

計(jì)800100.00錯(cuò)誤原因：不符合基本公式，不是5個(gè)工人，而是800個(gè)工人；工人人總產(chǎn)量不是60件，而是9710件。正確的計(jì)算：

常犯的錯(cuò)誤：（件）例3-3-1：某企業(yè)工人日產(chǎn)量分組資料如下：試計(jì)算平均日產(chǎn)量日產(chǎn)量（件）工人人數(shù)（人）（x）（f）

1510

1620173018501940解:例3-3-2：某企業(yè)職工按工資分組資料如下：工資（元）職工人數(shù)（人）

xf400—50050500—60070600—700120700—80060要求：根據(jù)資料計(jì)算全部職工的平均工資。第三章綜合指標(biāo)解：計(jì)算過程如下：工資（元）組中值

x職工人數(shù)f400—500500—600600—700700—800450550650750

507012060合計(jì)—300平均工資：xf22500385007800045000184000（二）影響加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的因素影響加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的因素有二：各組變量值（X）和各組權(quán)數(shù)所占比重通過公式變形也可得到上述結(jié)論：例3-3-1也可求解為：（三）權(quán)數(shù)的選擇對絕對數(shù)求平均數(shù)時(shí)，頻數(shù)一般都是權(quán)數(shù)。但對相對數(shù)求平均數(shù)時(shí)，頻數(shù)不一定是權(quán)數(shù)。例3-3-3：某企業(yè)25個(gè)班組按工人勞動(dòng)生產(chǎn)率分組資料如下：求：這25個(gè)班組的平均勞動(dòng)生產(chǎn)率勞動(dòng)生產(chǎn)率（件/人）生產(chǎn)班組數(shù)工人數(shù)50-601015060-70710070-8057080-9023090以上116解：平均勞動(dòng)生產(chǎn)率==65.77(件/人)（四）算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)1、各變量值與其均值的離差之和等于零，即=02、各變量值與其均值的離差平方和最小，即=min

優(yōu)點(diǎn)：①容易理解，便于計(jì)算

②靈敏度高

③穩(wěn)定性好

④=min

和

=0缺點(diǎn)：①易受極值影響

②在偏斜分布和U形分布中，不具有代表性例：某售貨小組有5名營業(yè)員，10月6日一天的銷售額分別為520元，600元，480元，750元和500元，求該日平均銷售額。

如果其中一個(gè)銷售人員昨天銷售520元，10月7號他一下子銷售了5000元，其他人銷售額不變，那10月7號平均銷售額是多少？這個(gè)數(shù)據(jù)代表性還好不好？

二、調(diào)和平均數(shù)（一）基本公式1、例3-3-4：張三在甲、乙、丙三處各買了1元的小白菜，價(jià)格分別為1、1.1、1.2（元/斤）。求張三購買小白菜的平均價(jià)格。解：平均價(jià)格====1.094元/斤得，簡單調(diào)和平均數(shù)2、例3-3-5：張三在甲、乙、丙三處各買了1、2、3元的小白菜，價(jià)格分別為1、1.1、1.2（元/斤）。求張三購買小白菜的平均價(jià)格。解：平均價(jià)格====1.128元/斤得，加權(quán)調(diào)和平均數(shù)（二）調(diào)和平均數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的判斷

1、例3-3-6：某校大二年級10個(gè)班的英語四級過級情況如下：過級率（%）班數(shù)（個(gè)）40以下240-60260-80580-1001總過關(guān)人數(shù)213014036要求：⑴舍棄總過關(guān)人數(shù)資料，求平均過級率；

⑵舍棄總?cè)藬?shù)資料，求平均過級率。總?cè)藬?shù)706020040解：平均過級率=⑴=61.35%⑵=61.35%某公司下屬18個(gè)企業(yè)，計(jì)劃完成相對數(shù)如下：產(chǎn)值計(jì)劃完成程度（%）組中值（%）企業(yè)數(shù)（個(gè)）實(shí)際產(chǎn)值計(jì)劃80-9085268080090-10095323752500100-110105101806017200110-120115350604400合計(jì)——182617524900產(chǎn)值產(chǎn)值計(jì)劃完成程度（%）組中值（%）x

企業(yè)數(shù)（個(gè)）計(jì)劃產(chǎn)值(萬元）f80—90

85280090—100

9532500100—1101051017200110—12011534400合計(jì)——1824900實(shí)際產(chǎn)值（萬元）xf680237518060506026175某公司下屬18個(gè)企業(yè)，計(jì)劃完成相對數(shù)如下：產(chǎn)值計(jì)劃完成程度（%）組中值（%）企業(yè)數(shù)（個(gè)）實(shí)際產(chǎn)值計(jì)劃產(chǎn)值

80-9085268080090-10095323752500

100-110105101806017200

110-120115350604400合計(jì)——182617524900

平均計(jì)劃完成為105.12%2、結(jié)論：已知x的文字公式中的母項(xiàng)（f）資料時(shí)，用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)已知x的文字公式中的子項(xiàng)（m）資料時(shí)，用加權(quán)調(diào)和平均數(shù)當(dāng)m=xf時(shí),調(diào)和平均數(shù)是算術(shù)平均數(shù)的變形例3-3-7：10家企業(yè)的銷售利潤率分組資料如下：銷售利潤率（%）企業(yè)數(shù)（個(gè)）總銷售利潤（萬元）

12以下250012-164150016-203800

20以上1100試求這10家企業(yè)的平均銷售利潤率（14.07%）優(yōu)點(diǎn)：①靈敏度高③有“0”值時(shí)不能計(jì)算②易受極值影響缺點(diǎn)：①不易理解②在某種不能計(jì)算的條件下，可以代替算術(shù)平均數(shù)進(jìn)行計(jì)算三、幾何平均數(shù)（一）概念它是N個(gè)單位的變量值的連乘積的N次方根。凡是變量值的連乘積等于總比率或總速度時(shí)，都可使用幾何平均數(shù)（二）計(jì)算公式1、資料未分組時(shí)，用簡單幾何平均數(shù)：例3-3-8：某廠生產(chǎn)某種零件經(jīng)過四個(gè)車間，各車間合格率依次為95%、92%、90%、94%。求平均合格率。平均合格率==92.73%2、資料分組時(shí)，用加權(quán)幾何平均數(shù)：

某金融機(jī)構(gòu)以復(fù)利方式計(jì)息。近12年來的年利率有4年為3%、2年為5%、2年為8%、3年為10%、1年為15%。則12年的平均年利率？平均年利率=106.82%-1=6.82幾何平均數(shù)的特點(diǎn)：

1、如數(shù)列中有標(biāo)志值為0或負(fù)值，則無法計(jì)算3、幾何平均數(shù)主要應(yīng)用于計(jì)算比率或速度的平均（變量值的連乘積等于總比率或總速度。）2、受極值的影響常用的數(shù)值平均數(shù)的一般數(shù)量關(guān)系：H（調(diào)和平數(shù)）≤G（幾何平均數(shù)）≤A（算術(shù)平均數(shù)）由于三種平均數(shù)之間存在著上述不等式關(guān)系，因而在計(jì)算平均數(shù)時(shí)應(yīng)根據(jù)社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的性質(zhì)和統(tǒng)計(jì)研究的目的選擇適當(dāng)?shù)挠?jì)算方法。四、眾數(shù)（Mo）1、眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值。它是一個(gè)位置代表值，不受極端值）（極大值、極小值）的影響。求眾數(shù)不需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行排序。把例一中45換成500，眾數(shù)是否改變？例一：31，32，31，28，29，31，45，40，42，31，28眾數(shù)＝31例二：8，9，6，7，8，5，9，8，9眾數(shù)＝8，9例三：8，6，5，7，9，10，4，12眾數(shù)＝不存在M0M0M0M0M0若有兩個(gè)次數(shù)相等的眾數(shù)，則稱復(fù)眾數(shù)。①只有總體單位數(shù)比較多，而且又有明顯的集中趨勢時(shí)才存在眾數(shù)。下三圖無眾數(shù)：②在單位數(shù)很少，或單位數(shù)雖多但無明顯集中趨勢時(shí)，

計(jì)算眾數(shù)是沒有意義的。由單項(xiàng)式數(shù)列確定眾數(shù)：只需找出出現(xiàn)次數(shù)最多的標(biāo)志值。如：每日平均砌磚墻量（M3）工人人數(shù)（人）xf0.8200.930(Mo)1.0801.1151.25合計(jì)

1502、對未分組資料和單項(xiàng)式數(shù)列，直接找出即可。3、對組距式數(shù)列，先找出眾數(shù)組，再按公式計(jì)算：M0=XL+其中，XL表眾數(shù)組的下限、d表眾數(shù)組的組距

△1表眾數(shù)組與其前一組的次數(shù)之差

△2

表眾數(shù)組與其后一組的次數(shù)之差。例3-3-9：某市某年職工家庭收支的抽樣資料如下，求家庭月收入的眾數(shù)。某市職工家庭抽樣調(diào)查收入表月收入（元）戶數(shù)1000-2000502000-30002503000-40003204000-50009505000-60002006000以上180解：眾數(shù)組為第四組M0=XL+=4000+=4456元4、利用以上公式計(jì)算眾數(shù)時(shí)，假定數(shù)據(jù)分布具有明顯的集中趨勢同時(shí)假定眾數(shù)組的頻數(shù)在該組內(nèi)是均勻分布的。5、眾數(shù)的特點(diǎn)：是一種位置平均數(shù)；無明顯集中趨勢時(shí)，計(jì)算眾數(shù)沒有意義。五、中位數(shù)（Me）把最大值10換成100，中位數(shù)是多少？（不受極值影響）中位數(shù)＝

7先排序：4，5，6，7，7，8，8，9，10例一：8，6，5，7，9，7，8，4，10求中位數(shù)1、中位數(shù)是指一組數(shù)據(jù)按大小排列后，處于正中間位置上的變量值。中位數(shù)也不受極值的影響。例如：人口的年齡分布往往近似J型：嬰兒數(shù)最多，隨著年齡的增大，人數(shù)逐漸下降，到了百歲左右，所剩的人數(shù)就很少了。如果計(jì)算年齡的算術(shù)平均數(shù)，老年人口數(shù)雖然較少，但其年齡數(shù)值很高，這樣一來，計(jì)算的平均年齡就會(huì)偏向老年一方。因此，各國的人口統(tǒng)計(jì)資料中，平均年齡的計(jì)算一般采用中位數(shù)。中國幾次人口普查年齡結(jié)構(gòu)的變化（單位:%）

普查年份0---1415---6065歲及以上老少比196440.7055.703.608.8198233.4561.664.8914.6199027.6166.895.5019.9200022.8970.156.9630.4

1982年1990年2000年年齡中位數(shù)22.925.330.8

按照國際上劃分人口類型的標(biāo)準(zhǔn)，O--14歲少年兒童比重在30％以下、65歲以上老年人口比重在7％以上、年齡中位數(shù)超過30歲、老少比在30％以上時(shí)，為老年型結(jié)構(gòu)。按此標(biāo)準(zhǔn)，可以看出，1964年我國人口類型屬典型的年輕型。經(jīng)過近20年時(shí)間，到1982年，人口類型已經(jīng)從年輕型步入了成年型。第五次人口普查，中國的人口年齡結(jié)構(gòu)已進(jìn)入老年型社會(huì)。而且從年輕年型到老年型的轉(zhuǎn)變僅用了30年的時(shí)間，而西方發(fā)達(dá)國家完成這一轉(zhuǎn)變大約用50--100年的時(shí)間，我國人口年齡結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)型過程之快為世界罕見。例二：11，8，6，5，7，9，7，8，4，10求中位數(shù)2、中位數(shù)的確定：①資料未分組時(shí)，直接找出即可。N為奇數(shù)時(shí)N為偶數(shù)時(shí)中位數(shù)是？先排序：4，5，6，7，7，8，8，9，10，11②資料分組時(shí),先確定中位數(shù)所在的組（第所在的組），再通過以下公式計(jì)算中位數(shù)的近似值。Me=式中，XL為中位數(shù)所在組的下限，fm為中位數(shù)所在組的頻數(shù)，d為中位數(shù)所在組的組距，Sm-1為中位數(shù)所在組以前各組的累計(jì)頻數(shù)例3-3-10：某鄉(xiāng)3000戶家庭的月收入如下，試求月收入的中位數(shù)。月收入（元）戶數(shù)400以下300400-500510500-6001020600-700480700-800450800以上240向上累計(jì)次數(shù)3008101830231027603000解：=1500，第三組為中位數(shù)組XL=500，Sm-1=810，fm=1020，d=100Me==567.65元3、利用以上公式時(shí)，需假定中位數(shù)所在組的頻數(shù)在該組內(nèi)是均勻分布的。中位數(shù)的特征：2、各變量值與中位數(shù)的離差絕對值之和最小。1、是一種位置平均數(shù)，不受極端值的影響，具有穩(wěn)健性。六、、M0、Me的關(guān)系1、求出以下3例年齡的算術(shù)平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)年齡（歲）人數(shù)10-201020-302030-4010例3-3-11例3-3-13年齡（歲）人數(shù)10-20620-301030-402040-504年齡（歲）人數(shù)10-20620-302030-401040-504例3-3-12解：據(jù)公式，得以上三例的答案分別為：例3-3-11：=M0=Me=25例3-3-12：=30.5M0=33.85Me=32<Me<M0

例3-3-13：=29.2M0=26.45Me=28>Me>M0

2、上述結(jié)果用圖示如下：=M0=Me（對稱）<Me<M0（左偏）>Me>M0（右偏）（一）

眾數(shù)、中位數(shù)和均值的關(guān)系

1、判別總體分布特征。在完全對稱的正態(tài)分布中，

=Me=Mo

次數(shù)分布為右偏態(tài)時(shí)，>Me>Mo

次數(shù)分布為左偏態(tài)時(shí)，<Me<Mo2、利用位置平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系進(jìn)行推算。3（—Me）=（—Mo）

Mo=3Me—2（二）眾數(shù)、中位數(shù)和均值的特點(diǎn)和應(yīng)用場合。例：已知某地職工年消費(fèi)支出的算術(shù)平均數(shù)為2000元，中位數(shù)為1900元。則眾數(shù)應(yīng)為：七、正確應(yīng)用平均指標(biāo)的原則

（三）、用分配數(shù)列補(bǔ)充說明平均數(shù)。（二）、用組平均數(shù)補(bǔ)充說明總平均數(shù)。（一）、平均指標(biāo)只能應(yīng)用于同質(zhì)總體某生產(chǎn)小組基期有工人15人，報(bào)告期人數(shù)增加到30人，兩時(shí)期各技術(shù)等級的工人數(shù)和工資總額如下：級別基期報(bào)告期工人數(shù)(人)比重(%)工資總額(元)平均工資(元)工人數(shù)(人)比重(%)工資總額(元)平均工資(元)二級工

213.31000

5001653.39600600四級工

853.37200

9001033.3100001000七級工

533.475001500

413.468001700合計(jì)15100.015700104730100.026400880某工業(yè)部門100個(gè)企業(yè)年度利潤計(jì)劃完成程度資料如下：按計(jì)劃完成程度分組(%)企業(yè)數(shù)

85-89.9

2

90-94.9

8

95-99.9

10100-104.9

40105-109.9

30110-114.9

10合計(jì)100經(jīng)計(jì)算，100個(gè)企業(yè)年度平均利潤計(jì)劃完成程度為103.35％。

§4標(biāo)志變動(dòng)度

一、標(biāo)志變動(dòng)度的意義和作用（一）概念：是反映同質(zhì)總體各單位標(biāo)志值的差異程度的，即數(shù)列的離散趨勢。（二）作用：1、衡量平均指標(biāo)的代表性；2、反映社會(huì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的均衡程度；3、是統(tǒng)計(jì)分析的一個(gè)基本指標(biāo)。二、全距(極差）R

全距=最大值—最小值全距的意義明確，計(jì)算簡單。但它只考慮極值的大小，而不考慮其他變量值的分布情況，因而，用全距來測定數(shù)列的離散程度就不全面。例3-4-1有甲、乙兩組數(shù)據(jù)，試比較哪組均值平均數(shù)的代表性大甲：40608084乙：63656670

解：由x=∑xn，有=66=66R甲=84-40=44R乙=70-63=77<44所以，乙組平均數(shù)的代表性大三、平均差（A.D）1、簡單平均差A(yù).D=如例3-4-1中A.D甲==16A.D乙==2因?yàn)?<16，所以，乙組平均數(shù)的代表性大2、加權(quán)平均差A(yù).D=四、四分位差（Q.D）1、它指第三個(gè)四分位數(shù)與第一個(gè)四分位數(shù)之差。2、第三個(gè)四分位數(shù)是處于中位數(shù)和最大值中間的數(shù)第二個(gè)四分位數(shù)是中位數(shù)第一個(gè)四分位數(shù)是處于中位數(shù)和最小值中間的數(shù)3、如1、2、2、3、3、3、5、6、6數(shù)列中第三個(gè)四分位數(shù)為5，第二個(gè)四分位數(shù)為3，第一個(gè)四分位數(shù)為2。則四分位差等于3。五、方差和標(biāo)準(zhǔn)差方差是各變量值與其均值離差平方的平均數(shù)。方差的平方根叫標(biāo)準(zhǔn)差，也叫均方差。（一）計(jì)算公式1、資料未分組時(shí)，用簡單標(biāo)準(zhǔn)差或方差用例3-4-1中的數(shù)據(jù)，得==17.55==2.55即，仍然是乙組的均值的代表性強(qiáng)2、資料分組時(shí)，用加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差=例3-4-2：已知某廠200個(gè)工人按日產(chǎn)量分組如下：試求其標(biāo)準(zhǔn)差。日產(chǎn)量（件）工人數(shù)（人）20-301030-407040-509050-6030解：=42（件）=

====7.81(件)（二）標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)學(xué)性質(zhì)1、證明：2、如y=a+bx，則=b證明：y=a+bx則=a+b 所以，六、離散系數(shù)

一群牛的平均體重是180公斤，標(biāo)準(zhǔn)差是18公斤；一群羊的平均體重是15公斤，標(biāo)準(zhǔn)差是3公斤，能不能說羊的平均體重的代表性高些？為什么？兩組數(shù)據(jù)：第一組：5，10，20，25，30第二組：100000，100005，99995，100020，100040第一組數(shù)據(jù)極差＝25第二組數(shù)據(jù)極差＝45第一組數(shù)據(jù)平均差＝8.4第二組數(shù)據(jù)平均差＝14.4第一組數(shù)據(jù)方差＝107.5標(biāo)準(zhǔn)差＝10.36822第二組數(shù)據(jù)方差＝332.5標(biāo)準(zhǔn)差＝18.23458如一組體重?cái)?shù)據(jù)：極差＝0.017平均差＝0.0048方差＝0.000045標(biāo)準(zhǔn)差＝0.00667165（公斤），75，60，62，58極差＝17平均差＝4.8方差＝44.5標(biāo)準(zhǔn)差＝6.670832而如果將這些人的體重改成用噸計(jì)算，則數(shù)據(jù)變成：0.065（噸），0.075，0.06，0.062，0.0581、利用R、等比較兩數(shù)列離散程度或平均數(shù)代表性大小的條件①兩數(shù)列的平均數(shù)相等②兩數(shù)列的計(jì)量單位相同如果不滿足上述條件，則應(yīng)該用離散系數(shù)來判斷。有全距系數(shù)、平均差系數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)。但一般指標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)。2、具體計(jì)算V=

ó第一組：5，10，20，25，30離散系數(shù)＝0.576第二組：100000，100005，99995，100020，100040離散系數(shù)＝0.00018232392體重的例子：65（公斤），75，60，62，58離散系數(shù)＝0.104231750.065（噸），0.075，0.06，0.062，0.058離散系數(shù)＝0.104234375例3-4-3：某縣工行和農(nóng)行三個(gè)儲(chǔ)蓄所1月份的儲(chǔ)蓄額如下，試判斷哪一個(gè)銀行的儲(chǔ)蓄所之間的儲(chǔ)蓄額更均衡。工行：13、18、14農(nóng)行：50、51、91（單位：萬元）解：由