河北深州市長江中學2023年高二數學第一學期期末統考試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．過雙曲線的右焦點F作一條漸近線的垂線，垂足為M，且FM的中點A在雙曲線上，則雙曲線離心率e等于（）A. B.C. D.2．若圓C：上有到的距離為1的點，則實數m的取值范圍為（）A. B.C. D.3．已知等比數列中，，則由此數列的奇數項所組成的新數列的前項和為（）A. B.C. D.4．拋物線的焦點到準線的距離是A. B.1C. D.5．如圖，在四面體OABC中，，，，點在線段上，且，為的中點，則等于（）A. B.C. D.6．函數為的導函數，令，則下列關系正確的是（）A. B.C. D.7．由于受疫情的影響，學校停課，同學們通過三種方式在家自主學習，現學校想了解同學們對假期學習方式的滿意程度，收集如圖1所示的數據；教務處通過分層抽樣的方法抽取4%的同學進行滿意度調查，得到的數據如圖2.下列說法錯誤的是（）A.樣本容量為240B.若，則本次自主學習學生的滿意度不低于四成C.總體中對方式二滿意學生約為300人D.樣本中對方式一滿意的學生為24人8．觀察下列各式：，，，，，可以得出的一般結論是A.B.C.D.9．設函數在R上可導，其導函數為，且函數的圖像如題（8）圖所示，則下列結論中一定成立的是A.函數有極大值和極小值B.函數有極大值和極小值C.函數有極大值和極小值D.函數有極大值和極小值10．已知拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則拋物線的準線方程為（）A. B.C. D.11．某中學為了解高三男生的體能情況，通過隨機抽樣，獲得了200名男生的100米體能測試成績（單位：秒），將數據按照，，…，分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.規定成績低于13秒為優，成績高于14.8秒為不達標.由直方圖推斷，下列選項錯誤的是（）A.直方圖中a的值為0.40B.由直方圖估計本校高三男生100米體能測試成績的眾數為13.75秒C.由直方圖估計本校高三男生100米體能測試成績為優的人數為54D.由直方圖估計本校高三男生100米體能測試成績為不達標的人數為1812．已知直線的方向向量為，則直線l的傾斜角為（）A.30° B.60°C.120° D.150°二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過雙曲線的右焦點作一條與其漸近線平行的直線，交于點.若點的橫坐標為,則的離心率為-.14．命題的否定是____________________.15．設分別是平面的法向量，若，則實數的值是________16．若＝，則x的值為_______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的焦點為，點在第一象限且為拋物線上一點，點在點右側，且△恰為等邊三角形（1）求拋物線的方程；（2）若直線與交于兩點，向量的夾角為（其中為坐標原點），求實數的取值范圍.18．（12分）已知函數（1）討論函數的單調性；（2）證明：對任意正整數n，19．（12分）已知過點的圓的圓心M在直線上，且y軸被該圓截得的弦長為4（1）求圓M的標準方程；（2）設點，若點P為x軸上一動點，求的最小值，并寫出取得最小值時點P的坐標20．（12分）已知點，點B為直線上的動點，過B作直線的垂線，線段AB的中垂線與交于點P（1）求點P的軌跡C的方程；（2）若過點的直線l與曲線C交于M，N兩點，求面積的最小值．（O為坐標原點）21．（12分）已知函數.（1）證明：；（2）若函數有兩個零點，求實數的取值范圍.22．（10分）設函數，其中，為自然對數的底數.(1)討論單調性；(2)證明：當時，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據題意可表示出漸近線方程，進而可知的斜率，表示出直線方程，求出的坐標進而求得A點坐標，代入雙曲線方程整理求得和的關系式，進而求得離心率【詳解】：由題意設相應的漸近線：，則根據直線的斜率為，則的方程為，聯立雙曲線漸近線方程求出，則，，則的中點，把中點坐標代入雙曲線方程中，即，整理得，即，求得，即離心率為，故答案為：2、C【解析】利用圓與圓的位置關系進行求解即可.【詳解】將圓C的方程化為標準方程得，所以．因為圓C上有到的距離為1的點，所以圓C與圓：有公共點，所以因為，所以，解得，故選：C3、B【解析】確實新數列是等比數列及公比、首項后，由等比數列前項和公式計算，【詳解】由題意，新數列為，所以，，前項和為故選：B.4、D【解析】，，所以拋物線的焦點到其準線的距離是，故選D.5、D【解析】利用空間向量的加法與減法可得出關于、、的表達式.【詳解】.故選：D.6、B【解析】求導后，令，可求得，再利用導數可得為減函數，比較的大小后，根據為減函數可得答案.【詳解】由題意得，，，解得，所以所以，所以為減函數因為，所以，故選：B【點睛】關鍵點點睛：比較大小的關鍵是知道的單調性，利用導數可得的單調性.7、B【解析】利用扇形統計圖和條形統計圖可求出結果【詳解】選項A，樣本容量為，該選項正確；選項B，根據題意得自主學習的滿意率，錯誤；選項C，樣本可以估計總體，但會有一定的誤差，總體中對方式二滿意人數約為，該選項正確；選項D，樣本中對方式一滿意人數為，該選項正確.故選：B【點睛】本題主要考查了命題真假的判斷，考查扇形統計圖和條形統計圖等基礎知識，考查運算求解能力，屬于中檔題8、C【解析】1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，由上述式子可以歸納：左邊每一個式子均有2n-1項，且第一項為n，則最后一項為3n-2右邊均為2n-1的平方故選C點睛：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發現某些相同性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）9、D【解析】則函數增；則函數減；則函數減；則函數增；選D.【考點定位】判斷函數的單調性一般利用導函數的符號，當導函數大于0則函數遞增，當導函數小于0則函數遞減10、C【解析】先求出橢圓的右焦點，從而可求拋物線的準線方程.【詳解】，橢圓右焦點坐標為，故拋物線的準線方程為，故選：C.【點睛】本題考查拋物線的幾何性質，一般地，如果拋物線的方程為，則拋物線的焦點的坐標為，準線方程為，本題屬于基礎題.11、D【解析】根據頻率之和為求得，結合眾數、頻率等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】，解得，A選項正確.眾數為，B選項正確.成績低于秒的頻率為，人數為，所以C選項正確.成績高于的頻率為，人數為人，D選項錯誤.故選：D12、B【解析】利用直線的方向向量求出其斜率，進而求出傾斜角作答.【詳解】因直線的方向向量為，則直線l的斜率，直線l的傾斜角，于是得，解得，所以直線l的傾斜角為.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】雙曲線的右焦點為.不妨設所作直線與雙曲線的漸近線平行，其方程為，代入求得點的橫坐標為，由，得，解之得，（舍去，因為離心率），故雙曲線的離心率為.考點：1.雙曲線的幾何性質；2.直線方程.14、##【解析】根據全稱量詞命題的否定的知識寫出正確答案.【詳解】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，要注意否定結論，所以命題否定是：故答案為：15、4【解析】根據分別是平面的法向量，且，則有求解.【詳解】因為分別是平面的法向量，且所以所以解得故答案為：4【點睛】本題主要考查空間向量垂直，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.16、4或9.【解析】分析：先根據組合數性質得，解方程得結果詳解：因為＝，所以因此點睛：組合數性質：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據△恰為等邊三角形由題意知：得到，再利用拋物線的定義求解；（2）聯立，結合韋達定理，根據的夾角為，由求解.【小問1詳解】解：由題意知：，由拋物線的定義知：，由，解得，所以拋物線方程為；【小問2詳解】設，由，得，則，，則，，因為向量的夾角為，所以，，則，且，所以，解得，所以實數的取值范圍.18、（1）見解析（2）見解析【解析】(1)由，令，得，或，又的定義域為，討論兩個根及的大小關系，即可判定函數的單調性；(2)當時，在，上遞減，則，即，由此能夠證明【小問1詳解】的定義域為，，令，得，或，①當，即時，若，則，遞增；若，則，遞減；②當，即時，若，則，遞減；若，則，遞增；若，則，遞減；綜上所述，當－2＜a＜0時，f(x)在，單調遞減，在單調遞增；當a≥0時，f(x)在單調遞增，在單調遞減.【小問2詳解】由(2)知當時，在，上遞減，，即，，，，2，3，，，，【點睛】本題考查利用導數研究函數的單調性，本題的關鍵是令a＝1，用已知函數的單調性構造，再令x＝恰當地利用對數求和進行解題19、（1）（2），【解析】（1）用待定系數法設出圓心，根據圓過點和弦長列出方程求解即可；（2）當三點共線時有最小值，求出直線MN的方程，令y=0即可.【小問1詳解】由題意可設圓心，因為y軸被圓M截得的弦長為4，所以，又，則，化簡得，解得，則圓心，半徑，所以圓M的標準方程為【小問2詳解】點關于x軸的對稱點為，則，當且僅當M，P，三點共線時等號成立，因為，則直線的方程為，即，令，得，則20、（1）（2）【解析】（1）由已知可得，根據拋物線的定義可知點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，即可得到軌跡方程；（2）設直線方程為，，，，，聯立直線與拋物線方程，消元、列出韋達定理，則，代入韋達定理，即可求出面積最小值；【小問1詳解】解：由已知可得，，即點到定點的距離等于到直線的距離，故點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，所以點的軌跡方程為【小問2詳解】解：當直線的傾斜角為時，與曲線只有一個交點，不符合題意；當直線的傾斜角不為時，設直線方程為，，，，，由，可得，，所以，，，，所以當且僅當時取等號，即面積的最小值為；21、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）令，求導得到函數的增區間為，減區間為，故，得到證明.（2），討論和兩種情況，計算函數的單調區間得到，解得答案.【詳解】（1）令，有，令可得，故函數的增區間為，減區間為，，故有.（2）由①當時，，此時函數的減區間為，沒有增區間；②當時，令可得，此時函數的增區間為，減區間為.若函數有兩個零點，必須且，可得，此時，又由，當時，由(1)有，取時，顯然有，當時，故函數有兩個零點時，實數的取值范圍為.【點睛】本題考查了利用導數證明不等式，根據零點求參數，意在考查學生的計算能力和應用能力.22、（1）答案見解析（2）答案見解析【解析】（1）求導數，分和，兩種情況討論，即可求得的單調性；（2）令