杭州第十三中學2023年高二數學第一學期期末達標檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設雙曲線的實軸長為8，一條漸近線為，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.2．已知拋物線=的焦點為F，M、N是拋物線上兩個不同的點，若，則線段MN的中點到y軸的距離為（）A.8 B.4C. D.93．在各項均為正數的等比數列中，若，則（）A.6 B.12C.56 D.784．已知函數，則函數在區間上的最小值為（）A. B.C. D.5．某人忘了電腦屏保密碼的后兩位，但記得最后一位是1，3，5，7，9中的一個數字，倒數第二位是G，O，D中的一個字母，若他嘗試輸入密碼，則一次輸入就解開屏保的概率是（）A. B.C. D.6．橢圓的長軸長是（）A.3 B.4C.6 D.87．已知，是雙曲線的左，右焦點，經過點且與x軸垂直的直線與雙曲線的一條漸近線相交于點A，且A在第三象限，四邊形為平行四邊形，為直線的傾斜角，若，則該雙曲線離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.8．《九章算術》是中國古代張蒼、耿壽昌所撰寫的一部數學專著，全書總結了戰國、秦、漢時期的數學成就，其中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等，問各得幾何?”其意思為：“今有人分錢，各人所得錢數依次為等差數列，其中前人所得之和與后人所得之和相等，問各得多少錢?”，則第人得錢數為（）A.錢 B.錢C.錢 D.錢9．在流行病學中，基本傳染數是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數.一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定．假設某種傳染病的基本傳染數，平均感染周期為4天，那么感染人數超過1000人大約需要（）（初始感染者傳染個人為第一輪傳染，這個人每人再傳染個人為第二輪傳染）A.20天 B.24天C.28天 D.32天10．等比數列的前項和為，若，則（）A. B.8C.1或 D.或11．已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列結論正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則12．已知直線過點，當直線與圓有兩個不同的交點時，其斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過點與直線平行的直線的方程是________.14．已知圓：和圓：，動圓M同時與圓及圓外切，則動圓的圓心M的軌跡方程為______.15．函數在處的切線方程為_________16．下圖是4個幾何體的展開圖，圖①是由4個邊長為3的正三角形組成；圖②是由四個邊長為3的正三角形和一個邊長為3的正方形組成；圖③是由8個邊長為3的正三角形組成；圖④是由6個邊長為3的正方形組成若直徑為4的球形容器（不計容器厚度）內有一幾何體，則該幾何體的展開圖可以是______（填所有正確結論的番號）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數（…是自然對數的底數）.（1）求的單調區間；（2）求函數的零點的個數.18．（12分）新疆長絨棉品質優良，纖維柔長，被世人譽為“棉中極品”，產于我國新疆的吐魯番盆地、塔里木盆地的阿克蘇、喀什等地.棉花的纖維長度是評價棉花質量的重要指標之一，在新疆某地區成熟的長絨棉中隨機抽測了一批棉花的纖維長度（單位：mm），將樣本數據制成頻率分布直方圖如下：（1）求的值；（2）估計該樣本數據的平均數（同一組中的數據用該組數據區間的中點值為代表）；（3）根據棉花纖維長度將棉花等級劃分如下：纖維長度小于30mm大于等于30mm，小于40mm大于等于40mm等級二等品一等品特等品從該地區成熟的棉花中隨機抽測兩根棉花的纖維長度，用樣本的頻率估計概率，求至少有一根棉花纖維長度達到特等品的概率.19．（12分）已知兩定點，，動點與兩定點的斜率之積為（1）求動點M的軌跡方程；（2）設（1）中所求曲線為C，若斜率為的直線l過點，且與C交于P，Q兩點．問：在x軸上是否存在一點T，使得對任意且，都有（其中，分別表示，的面積）．若存在，請求出點T的坐標；若不存在，請說明理由20．（12分）已知點、分別是橢圓C：）的左、右焦點，點P在橢圓C上，當∠PF1F2=時，面積達到最大，且最大值為.（1）求橢圓C的標準方程；（2）設直線l：與橢圓C交于A、B兩點，求面積的最大值.21．（12分）已知圓C：，直線l：.（1）當a為何值時，直線l與圓C相切；（2）當直線l與圓C相交于A，B兩點，且|AB|=時，求直線l的方程.22．（10分）圓心為的圓經過點,，且圓心在上，（1）求圓的標準方程；（2）過點作直線交圓于且，求直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】雙曲線的實軸長為，漸近線方程為，代入解析式即可得到結果.【詳解】雙曲線的實軸長為8，即，，漸近線方程為，進而得到雙曲線方程為.故選：D.2、B【解析】過分別作垂直于準線，垂足為，則由拋物線的定義可得，再過MN的中點作垂直于準線，垂足為，然后利用梯形的中位線定理可求得結果【詳解】拋物線=的焦點，準線方程為直線如圖，過分別作垂直于準線，垂足為，過MN的中點作垂直于準線，垂足為，則由拋物線的定義可得，因為，所以，因為是梯形的中位線，所以，所以線段MN的中點到y軸的距離為4，故選：B3、D【解析】由等比數列的性質直接求得.【詳解】在等比數列中，由等比數列的性質可得：由，解得：；由可得：，所以.故選：D4、B【解析】根據已知條件求得以及，利用導數判斷函數的單調性，即可求得函數在區間上的最小值.【詳解】因為，故可得，則，又，令，解得，令，解得，故在單調遞減，在單調遞增，又，故在區間上的最小值為.故選：.5、C【解析】應用分步計數法求后兩位的可能組合數，即可求一次輸入就解開屏保的概率.【詳解】由題設，后兩位可能情況有，∴一次輸入就解開屏保的概率是.故選：C.6、D【解析】根據橢圓方程可得到a，從而求得長軸長.【詳解】橢圓方程為，故，所以橢圓長軸長為，故選:D.7、B【解析】根據雙曲線的幾何性質和平行四邊形的性質可知也在雙曲線的漸近線上，且在第一象限，從而由可知軸，所以在直角三角形中，，由，可得的范圍，進而轉化為，的不等式，結合可得離心率的取值范圍【詳解】解：因為經過點且與軸垂直的直線與雙曲線的一條漸近線相交于點，且在第三象限，四邊形為平行四邊形，所以由雙曲線的對稱性可知也在雙曲線的漸近線上，且在第一象限，由軸，可知軸，所以，在直角三角形中，，因為，所以，，即，所以，即，即，故，所以.故選：B8、A【解析】設第所得錢數為錢，設數列、、、、的公差為，根據已知條件可得出關于、的值，即可求得的值.【詳解】設第所得錢數為錢，則數列、、、、為等差數列，設數列、、、、公差為，則，解得，故.故選：A.9、B【解析】根據題意列出方程，利用等比數列的求和公式計算n輪傳染后感染的總人數，得到指數方程，求得近似解，然后可得需要的天數.【詳解】感染人數由1個初始感染者增加到1000人大約需要n輪傳染,則每輪新增感染人數為，經過n輪傳染，總共感染人數為：即，解得，所以感染人數由1個初始感染者增加到1000人大約需要24天，故選：B【點睛】等比數列基本量的求解是等比數列中的一類基本問題，解決這類問題的關鍵在于熟練掌握等比數列的有關公式并能靈活運用，尤其需要注意的是，在使用等比數列的前n項和公式時，應該要分類討論，有時還應善于運用整體代換思想簡化運算過程10、C【解析】根據等比數列的前項和公式及等比數列通項公式即可求解.【詳解】設等比數列的公比為，則因為，所以，即，解得或，所以或.故選：C.11、C【解析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系，逐一核對四個選項得答案【詳解】解：對于A：若，則或，故A錯誤；對于B：若，則或與相交，故B錯誤；對于C：若，根據面面垂直的判定定理可得，故C正確；對于D：若則與平行、相交、或異面，故D錯誤；故選：C12、A【解析】設直線方程，利用圓與直線的關系，確定圓心到直線的距離小于半徑，即可求得斜率范圍.【詳解】如下圖：設直線l的方程為即圓心為，半徑是1又直線與圓有兩個不同的交點故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據給定條件設出所求直線方程，利用待定系數法求解即得.【詳解】設與直線平行的直線的方程為，而點在直線上，于是得，解得，所以所求的直線的方程為.故答案為：14、【解析】根據動圓同時與圓及圓外切，即可得到幾何關系，再結合雙曲線的定義可得動點的軌跡方程.【詳解】由題，設動圓的半徑為，圓的半徑為，圓的半徑為,當動圓與圓，圓外切時,,,所以,因為圓心,，即，又根據雙曲線的定義，得動點的軌跡為雙曲線的上支，其中，，所以,則動圓圓心的軌跡方程是；故答案為：15、【解析】求得函數的導數，得到且，結合直線的點斜式方程，即可求解.【詳解】由題意，函數，可得，則且，所以函數在處的切線方程為，即，即切線方程為.故答案為：.16、①【解析】根據幾何體展開圖可知①正四面體、②正四棱錐、③正八面體、④正方體，進而求其外接球半徑，并與4比較大小，即可確定答案.【詳解】若幾何體外接球球心為，半徑為，①由題設，幾何體為棱長為3的正四面體，為底面中心，則，，所以，可得，即，滿足要求；②由題設，幾何體為棱長為3的正四棱錐，為底面中心，則，所以，可得，即，不滿足要求；③由題設，幾何體為棱長為3的正八面體，其外接球直徑同棱長為3的正四棱錐，故不滿足要求；④由題設，幾何體為棱長為3的正方體，體對角線的長度即為外接球直徑，所以，不滿足要求；故答案為：①三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）當時，的單調遞增區間為，無單調遞減區間；當時，的單調遞減區間為，單調遞增區間為；（2）時函數沒有零點；或時函數有且只有一個零點；時，函數有兩個零點.【解析】（1）先對函數求導，然后分和兩種情況判斷導函數正負，求其單調區間；（2）由，得，構造函數，然后利用導數求出其單調區間和極值，畫出此函數的圖像，再判斷圖像與直線的交點情況，從而可得答案【詳解】（1）因為，所以，當時，恒成立，所以的單調遞增區間為，無單調遞減區間；當時，令，得；令，得，所以的單調遞減區間為，單調遞增區間為.（2）顯然0不是函數的零點，由，得.令，則.或時，，時，，所以在和上都是減函數，在上是增函數，時取極小值，又當時，.所以時，關于的方程無解，或時關于的方程只有一個解，時，關于的方程有兩個不同解.因此，時函數沒有零點，或時函數有且只有一個零點，時，函數有兩個零點.【點睛】關鍵點點睛：此題考查導數的應用，考查利用導數求函數的單調區間，考查利用導數判斷函數的零點，解題的關鍵是由，得，構造函數，然后利用導數求出其單調區間和極值，畫出此函數的圖像，再判斷圖像與直線的交點情況，考查數形結合的思想，屬于中檔題18、（1）（2）（3）【解析】（1）由頻率分布直方圖中所有矩形的面積之和為1，可求出答案.（2）根據平均數的公式可得到答案.（3）先求出一根棉花纖維長度達到特等品的概率，然后分恰好有一根和兩根棉花小問1詳解】由解得【小問2詳解】該樣本數據的平均數為：【小問3詳解】由題意一根棉花纖維長度達到特等品的概率為：兩根棉花中至少有一根棉花纖維長度達到特等品的概率19、（1）（2）存在；【解析】（1）設出點的坐標，根據，即可直接求出動點M的軌跡方程；（2）根據題意寫出直線的方程，把直線的方程與曲線的方程聯立，消元，寫韋達；根據條件，同時結合三角形的面積公式可得出；從而結合韋達定理可求出點T的坐標.【小問1詳解】設，由，得，即，所以動點M的軌跡方程為.【小問2詳解】設PT與RT夾角為，QT與RT夾角為，因為，所以，即，所以，設，，，直線l的方程為，因為，所以，即，所以，即①，由，得，所以，代入①式，得，解得，所以存在點，使得對任意且，都有.20、（1）（2）3【解析】（1）根據焦點三角形的性質可求出，從而可得標準方程,（2）聯立直線方程和橢圓方程，消元后利用公式表示三角形面積，從而可求面積的最大值.小問1詳解】△PF1F2面積達到最大時為橢圓的上頂點或下頂點，而此時∠PF1F2=，故面積最大時為等邊三角形，故，因面積的最大