可見光區(qū)高增透的一種改進方法

全球照明區(qū)域的高度集中一直是一個非常重要的問題。這對于光學系統(tǒng)消除雜光,提高照相機鏡頭和望遠鏡質(zhì)量都是很重要的。以往國內(nèi)的有關(guān)資料表明,利用兩種材料4層膜可取得好的結(jié)果,其透過率T≥99.5%,帶寬為400~680nm。國外利用同種材料4層膜最好的計算結(jié)果也只是400~688nm,而國內(nèi)最好的計算結(jié)果為400~695nm。本人利用兩種計算方法使帶寬擴展為400~710nm。一種方法為迭代法(逼近或變尺度法)。這種方法首先由Davidon提出,叫做DFP變尺度法,是一種容易理解和成功的求值算法。如果用X表示膜系光學厚度向量,則X={n1d1n2d2?nΝdΝX=???????????n1d1n2d2?nNdNN為層數(shù)。那么在前后兩次迭代中X(Κ+1)=X(k)-α(Κ)Η(Κ)G(k)(1)X(K+1)=X(k)?α(K)H(K)G(k)(1)其中,H(K)是第K次迭代的正定矩陣(開始時的H(1)可以任意選擇,例如,取單位矩陣);G(k)是評價函數(shù)f在第K次迭代時對于各層厚度的梯度向量;α(K)是待調(diào)整參數(shù)。調(diào)整方法是把(1)式代入評價函數(shù)f中,用插值法、0.618法或比較法使f(α)?0,這就是尋找α(K)。整個變尺度法的這個步驟是費時間的。Powell指出,求出近似的α(k)也就可以了。用DFP法求取H(K+1):Η(Κ+1)=Η(Κ)-Η(Κ)r(Κ)r(Κ)ΤΗ(Κ)Ιr(Κ)ΤΗ(Κ)r(Κ)+Ρ(Κ)Ρ(Κ)ΤΡ(Κ)r(Κ)(2)H(K+1)=H(K)?H(K)r(K)r(K)TH(K)Ir(K)TH(K)r(K)+P(K)P(K)TP(K)r(K)(2)式中,T表示轉(zhuǎn)置,P(K)和r(K)分別為Ρ(Κ)=X(Κ+1)-X(Κ)r(Κ)=G(Κ+1)-G(k)}(3)P(K)=X(K+1)?X(K)r(K)=G(K+1)?G(k)}(3)我們曾經(jīng)用DFP算法的Algol60程序進行了許多計算,絕大多數(shù)情況是滿意的。在有舍入誤差情況下,H(K)易趨于病態(tài),致使收欽穩(wěn)定性沒有絕對保證。Broyden、Fletcher與Shanno改進了上述的H(K),得出:Η(k+1)=Η(Κ)+(μ(Κ)Ρ(Κ)Ρ(Κ)Τ-Η(Κ)×r(Κ)Ρ(Κ)Τ-Ρ(Κ)r(Κ)ΤΗ(Κ))/Ρ(Κ)Τr(Κ)(4)H(k+1)=H(K)+(μ(K)P(K)P(K)T?H(K)×r(K)P(K)T?P(K)r(K)TH(K))/P(K)Tr(K)(4)式中,μ(Κ)=1+r(Κ)ΤΗ(k)r(Κ)/Ρ(Κ)Τr(Κ)(5)μ(K)=1+r(K)TH(k)r(K)/P(K)Tr(K)(5)叫做BFS變尺度法。這樣一來使H(K)不會病態(tài),有可靠的穩(wěn)定性。因此,它是目前最成功的變尺度法,而且比DFP法更省時間。評價函數(shù)f(x)的定義是f(x)=Σ[R(λ)-R0(λ)]2(6)f(x)=Σ[R(λ)?R0(λ)]2(6)式中,R0(λ)為各計算點(波長)的目標值;R(λ)為該點的反射率。在計算過程中對初始條件沒有苛刻的要求(初始條件指厚度)。當然,很壞的初始條件會延長計算時間。在一定意義上講,初始條件選擇與計算結(jié)果有關(guān)。在利用變尺度法計算得出較為滿意的結(jié)果之后,以此結(jié)果作為初始條件,采用局部修正法(即膜厚修正法)進一步修正計算,最終給出一個最佳結(jié)果。膜厚修正法是略微改變不夠理想的原始膜系設(shè)計的各層厚度,用計算機排出程序,估計對膜系特性的影響,以便逐步改進膜系特性。先簡要介紹這種方法的基本原理,然后簡要說明利用這種方法壓縮可見光區(qū)靠近700nm一側(cè)的反射率。如圖1所示,淀積在透明基片上的m層無均勻吸收膜堆反射率R和透射率T是每層膜的折射率n、光學厚度[t=(ndr)]和入射光真空波長j及入射角的函數(shù)。對確定的入射角(定為0°),在給定波長j處由膜層圖1的光學厚度δt和折射率變化δnr引起的反射率變化δR和透射率的變化δTj可近似為δRj=-δΤj=mΣr=1?Rj?trdtr+mΣr=1?Rj?nrδnr+(二階項)δRj=?δTj=Σr=1m?Rj?trdtr+Σr=1m?Rj?nrδnr+(二階項)入射媒質(zhì)和基片的折射率都保持不變。在δRj變化很小時,忽略掉二階以上的項,將得到足夠好的近似。取反射率RJ對光學厚度tr和折射率nr的偏導數(shù)(變化率)就可以使光學厚度與折射率的變化和反射率總的變化聯(lián)系起來。假設(shè)膜層組合的反射率在波長j處必須改變,由于折射率只能是各種不連續(xù)值,故只能限制光學厚度的變化。此時得到:δRj=mΣr=1?Rj?trdt(7)δRj=Σr=1m?Rj?trdt(7)所以,這個方法的成功在于上式中的一階導數(shù)能被計算出來。如果計算出?Rj?tr?Rj?tr,這就意味著在波長j處整個膜系的反射率Rj隨第r層膜光學厚度的變化率就知道了,從而就可以給出各層膜光學厚度小的變化會引起膜系反射率Rj的變化有多大。為求?Rj?tr?Rj?tr,首先要求出膜系總反射率R。計算多層膜的反射率有各種方法,這里我們用特征矩陣法。折射率為nr的光學均勻薄層的特征矩陣是Μ=(cosβrisinβr/nrinrsinβrcosβr)(8)M=(cosβrinrsinβrisinβr/nrcosβr)(8)其中位相厚度:βr=2πnrdr/λ=2πtr/λ(9)βr=2πnrdr/λ=2πtr/λ(9)m層膜的合成矩陣是Μ=Μm?Μm-1?Μ2?Μ1(10)顯然,合成矩陣M也是一個二階矩陣,有如下形式:Μ=(C1iC2iC3C4)(11)如果光從折射率為nA的入射媒質(zhì)入射到淀積在折射率為ng的基底上的m層膜堆上,則反射率R為R=(B1-B3)2+(B2-B4)2(B1+B3)2+(B2+B4)2(12)其中B1=nAC1,B2=nAngC2,B3=ngC4,B4=C3,而C1,C2,C3,C4是合成矩陣M的陣元。求出了膜系反射率Ri與各層膜的nr和tr的關(guān)系后,就可以求?Rj?tr了。計算?Rj?tr有許多方法,我們用的是精確法。注意到R是C1,C2,C3,C4的函數(shù),則?R?β=nA?R?B1?C1?β1+nAng?R?B2?C2?βr+ng?R?B3?C4?βr+?R?B4?C3?βr(13)導數(shù)?R?B1??R?B2等是簡單的代數(shù)函數(shù)。注意到βr僅僅出現(xiàn)在第r個特征矩陣中,導數(shù)?C1?βr等是容易計算的。在第r個特征矩陣中對每一個陣元求導,然后在方程(10)中進行矩陣乘積。假定我們要計算6層膜系的?C1?β4,那么[?C1?β4i?C2?β4i?C2?β4?C4?β4]=Μ6?Μ5?Μ4′?Μ3?Μ2?Μ1(14)其中矩陣M′4稱為微商矩陣,并且是簡單的,Μ′4=[-sinβ4i1n4cosβ4in4cosβ4-sinβ4](15)求出?R?βr以后,就可以用關(guān)系式(9)求得?R?tr:?R?tr=2πλ?R?β(16)上述計算關(guān)系式是在垂直入射情況下導出的,也可以推廣到斜入射情況。為了壓縮靠近700nm一側(cè)的反射,我們先用變尺度法計算出較為理想的結(jié)果,再用?Rj?t的程序進行分析計算。從分析修正程序的計算數(shù)據(jù)直接可以看出改變哪層膜的微小厚度使反射率壓縮,透過率增加,而且使整個可見光區(qū)透過率T≥99