可見光區高增透的一種改進方法

全球照明區域的高度集中一直是一個非常重要的問題。這對于光學系統消除雜光,提高照相機鏡頭和望遠鏡質量都是很重要的。以往國內的有關資料表明,利用兩種材料4層膜可取得好的結果,其透過率T≥99.5%,帶寬為400~680nm。國外利用同種材料4層膜最好的計算結果也只是400~688nm,而國內最好的計算結果為400~695nm。本人利用兩種計算方法使帶寬擴展為400~710nm。一種方法為迭代法(逼近或變尺度法)。這種方法首先由Davidon提出,叫做DFP變尺度法,是一種容易理解和成功的求值算法。如果用X表示膜系光學厚度向量,則X={n1d1n2d2?nΝdΝX=???????????n1d1n2d2?nNdNN為層數。那么在前后兩次迭代中X(Κ+1)=X(k)-α(Κ)Η(Κ)G(k)(1)X(K+1)=X(k)?α(K)H(K)G(k)(1)其中,H(K)是第K次迭代的正定矩陣(開始時的H(1)可以任意選擇,例如,取單位矩陣);G(k)是評價函數f在第K次迭代時對于各層厚度的梯度向量;α(K)是待調整參數。調整方法是把(1)式代入評價函數f中,用插值法、0.618法或比較法使f(α)?0,這就是尋找α(K)。整個變尺度法的這個步驟是費時間的。Powell指出,求出近似的α(k)也就可以了。用DFP法求取H(K+1):Η(Κ+1)=Η(Κ)-Η(Κ)r(Κ)r(Κ)ΤΗ(Κ)Ιr(Κ)ΤΗ(Κ)r(Κ)+Ρ(Κ)Ρ(Κ)ΤΡ(Κ)r(Κ)(2)H(K+1)=H(K)?H(K)r(K)r(K)TH(K)Ir(K)TH(K)r(K)+P(K)P(K)TP(K)r(K)(2)式中,T表示轉置,P(K)和r(K)分別為Ρ(Κ)=X(Κ+1)-X(Κ)r(Κ)=G(Κ+1)-G(k)}(3)P(K)=X(K+1)?X(K)r(K)=G(K+1)?G(k)}(3)我們曾經用DFP算法的Algol60程序進行了許多計算,絕大多數情況是滿意的。在有舍入誤差情況下,H(K)易趨于病態,致使收欽穩定性沒有絕對保證。Broyden、Fletcher與Shanno改進了上述的H(K),得出:Η(k+1)=Η(Κ)+(μ(Κ)Ρ(Κ)Ρ(Κ)Τ-Η(Κ)×r(Κ)Ρ(Κ)Τ-Ρ(Κ)r(Κ)ΤΗ(Κ))/Ρ(Κ)Τr(Κ)(4)H(k+1)=H(K)+(μ(K)P(K)P(K)T?H(K)×r(K)P(K)T?P(K)r(K)TH(K))/P(K)Tr(K)(4)式中,μ(Κ)=1+r(Κ)ΤΗ(k)r(Κ)/Ρ(Κ)Τr(Κ)(5)μ(K)=1+r(K)TH(k)r(K)/P(K)Tr(K)(5)叫做BFS變尺度法。這樣一來使H(K)不會病態,有可靠的穩定性。因此,它是目前最成功的變尺度法,而且比DFP法更省時間。評價函數f(x)的定義是f(x)=Σ[R(λ)-R0(λ)]2(6)f(x)=Σ[R(λ)?R0(λ)]2(6)式中,R0(λ)為各計算點(波長)的目標值;R(λ)為該點的反射率。在計算過程中對初始條件沒有苛刻的要求(初始條件指厚度)。當然,很壞的初始條件會延長計算時間。在一定意義上講,初始條件選擇與計算結果有關。在利用變尺度法計算得出較為滿意的結果之后,以此結果作為初始條件,采用局部修正法(即膜厚修正法)進一步修正計算,最終給出一個最佳結果。膜厚修正法是略微改變不夠理想的原始膜系設計的各層厚度,用計算機排出程序,估計對膜系特性的影響,以便逐步改進膜系特性。先簡要介紹這種方法的基本原理,然后簡要說明利用這種方法壓縮可見光區靠近700nm一側的反射率。如圖1所示,淀積在透明基片上的m層無均勻吸收膜堆反射率R和透射率T是每層膜的折射率n、光學厚度[t=(ndr)]和入射光真空波長j及入射角的函數。對確定的入射角(定為0°),在給定波長j處由膜層圖1的光學厚度δt和折射率變化δnr引起的反射率變化δR和透射率的變化δTj可近似為δRj=-δΤj=mΣr=1?Rj?trdtr+mΣr=1?Rj?nrδnr+(二階項)δRj=?δTj=Σr=1m?Rj?trdtr+Σr=1m?Rj?nrδnr+(二階項)入射媒質和基片的折射率都保持不變。在δRj變化很小時,忽略掉二階以上的項,將得到足夠好的近似。取反射率RJ對光學厚度tr和折射率nr的偏導數(變化率)就可以使光學厚度與折射率的變化和反射率總的變化聯系起來。假設膜層組合的反射率在波長j處必須改變,由于折射率只能是各種不連續值,故只能限制光學厚度的變化。此時得到:δRj=mΣr=1?Rj?trdt(7)δRj=Σr=1m?Rj?trdt(7)所以,這個方法的成功在于上式中的一階導數能被計算出來。如果計算出?Rj?tr?Rj?tr,這就意味著在波長j處整個膜系的反射率Rj隨第r層膜光學厚度的變化率就知道了,從而就可以給出各層膜光學厚度小的變化會引起膜系反射率Rj的變化有多大。為求?Rj?tr?Rj?tr,首先要求出膜系總反射率R。計算多層膜的反射率有各種方法,這里我們用特征矩陣法。折射率為nr的光學均勻薄層的特征矩陣是Μ=(cosβrisinβr/nrinrsinβrcosβr)(8)M=(cosβrinrsinβrisinβr/nrcosβr)(8)其中位相厚度:βr=2πnrdr/λ=2πtr/λ(9)βr=2πnrdr/λ=2πtr/λ(9)m層膜的合成矩陣是Μ=Μm?Μm-1?Μ2?Μ1(10)顯然,合成矩陣M也是一個二階矩陣,有如下形式:Μ=(C1iC2iC3C4)(11)如果光從折射率為nA的入射媒質入射到淀積在折射率為ng的基底上的m層膜堆上,則反射率R為R=(B1-B3)2+(B2-B4)2(B1+B3)2+(B2+B4)2(12)其中B1=nAC1,B2=nAngC2,B3=ngC4,B4=C3,而C1,C2,C3,C4是合成矩陣M的陣元。求出了膜系反射率Ri與各層膜的nr和tr的關系后,就可以求?Rj?tr了。計算?Rj?tr有許多方法,我們用的是精確法。注意到R是C1,C2,C3,C4的函數,則?R?β=nA?R?B1?C1?β1+nAng?R?B2?C2?βr+ng?R?B3?C4?βr+?R?B4?C3?βr(13)導數?R?B1??R?B2等是簡單的代數函數。注意到βr僅僅出現在第r個特征矩陣中,導數?C1?βr等是容易計算的。在第r個特征矩陣中對每一個陣元求導,然后在方程(10)中進行矩陣乘積。假定我們要計算6層膜系的?C1?β4,那么[?C1?β4i?C2?β4i?C2?β4?C4?β4]=Μ6?Μ5?Μ4′?Μ3?Μ2?Μ1(14)其中矩陣M′4稱為微商矩陣,并且是簡單的,Μ′4=[-sinβ4i1n4cosβ4in4cosβ4-sinβ4](15)求出?R?βr以后,就可以用關系式(9)求得?R?tr:?R?tr=2πλ?R?β(16)上述計算關系式是在垂直入射情況下導出的,也可以推廣到斜入射情況。為了壓縮靠近700nm一側的反射,我們先用變尺度法計算出較為理想的結果,再用?Rj?t的程序進行分析計算。從分析修正程序的計算數據直接可以看出改變哪層膜的微小厚度使反射率壓縮,透過率增加,而且使整個可見光區透過率T≥99