廣東省茂名地區2023年高二數學第一學期期末教學質量檢測模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若，則復數在復平面內對應的點在（）A.曲線上 B.曲線上C.直線上 D.直線上2．命題“”的一個充要條件是（）A. B.C. D.3．已知集合，則（）A. B.C. D.4．已知直線與直線垂直，則（）A. B.C. D.35．有下列三個命題:①“若，則互為相反數”的逆命題;②“若，則”的逆否命題;③“若，則”的否命題.其中真命題的個數是A.0 B.1C.2 D.36．若一個正方體的全面積是72，則它的對角線長為（）A. B.12C. D.67．方程表示的曲線經過的一點是（）A. B.C. D.8．已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是邊長為2的正方形，側棱與底面垂直，若點C到平面AB1D1的距離為，則直線與平面所成角的余弦值為（）A. B.C. D.9．若x，y滿足約束條件,則的最大值為（）A.2 B.3C.4 D.510．函數在處有極值為，則的值為（）A. B.C. D.11．據記載，歐拉公式是由瑞士著名數學家歐拉發現的，該公式被譽為“數學中的天橋”特別是當時，得到一個令人著迷的優美恒等式，將數學中五個重要的數（自然對數的底，圓周率，虛數單位，自然數的單位和零元）聯系到了一起，有些數學家評價它是“最完美的數學公式”.根據歐拉公式，復數的虛部（）A. B.C. D.12．為發揮我市“示范性高中”的輻射帶動作用，促進教育的均衡發展，共享優質教育資源．現分派我市“示范性高中”的5名教師到，，三所薄弱學校支教，開展送教下鄉活動，每所學校至少分派一人，其中教師甲不能到學校，則不同分派方案的種數是（）A.150 B.136C.124 D.100二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，且，則的最小值為______.14．已知平面，過空間一定點P作一直線l，使得直線l與平面，所成的角都是30°，則這樣的直線l有______條15．某校學生在研究折紙實驗中發現，當對折后紙張達到一定的厚度時，便不能繼續對折了．在理想情況下，對折次數與紙的長邊和厚度有關系：．現有一張長邊為30cm，厚度為0.05cm的矩形紙，根據以上信息，當對折完4次時，的最小值為________；該矩形紙最多能對折________次．（參考數值：，）16．在數列中，，，則數列的前6項和為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖1，已知矩形ABCD，，，E，F分別為AB，CD的中點，將ABCD卷成一個圓柱，使得BC與AD重合（如圖2），MNGH為圓柱的軸截面，且平面平面MNGH，NG與曲線DE交于點P（1）證明：平面平面MNGH；（2）判斷平面PAE與平面PDH夾角與的大小，并說明理由18．（12分）設集合（1）若，求；（2）設，若是成立的必要不充分條件，求實數a的取值范圍19．（12分）已知：方程表示焦點在軸上的橢圓，：方程表示焦點在軸上的雙曲線，其中.（1）若“”為真命題，求的取值范圍：（2）若“”為假命題，“”為真命題，求的取值范圍.20．（12分）如圖，在三棱柱中，點在底面內的射影恰好是點，是的中點，且滿足（1）求證：平面；（2）已知，直線與底面所成角的大小為，求二面角的大小21．（12分）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面橫線上，并解答.在中，內角，，的對邊分別為，，，且___________.（1）求角的大小；（2）已知，，點在邊上，且，求線段的長.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.22．（10分）已知函數.（I）當時，求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）若當時，，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據復數的除法運算，先化簡，進而求出，再由復數的幾何意義，即可得出結果.【詳解】因為，所以，因此復數在復平面內對應的點為，可知其在曲線上.故選：B2、D【解析】結合不等式的基本性質，利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】A.當時，滿足，推不出，故不充分；B.當時，滿足，推不出，故不充分；C.當時，推不出，故不必要；D.因為，故充要，故選：D3、B【解析】先求得集合A，再根據集合的交集運算可得選項.【詳解】解：因為，所以故選：B.4、D【解析】先分別求出兩條直線的斜率，再利用兩直線垂直斜率之積為，即可求出.【詳解】由已知得直線與直線的斜率分別為、，∵直線與直線垂直，∴，解得，故選：.5、B【解析】①寫出命題的逆命題，可以進行判斷為真命題；②原命題和逆否命題真假性相同，而通過舉例得到原命題為假，故逆否命題也為假；③寫出命題的否命題，通過舉出反例得到否命題為假【詳解】①“若,則互為相反數”的逆命題是，若互為相反數,則；是真命題；②“若,則”，當a=-1,b=-2,時不滿足，故原命題為假命題，而原命題和逆否命題真假性相同，故得到命題為假；③“若,則”的否命題是若,則，舉例當x=5時，不滿足不等式，故得到否命題是假命題；故答案為B.【點睛】這個題目考查了命題真假的判斷，涉及命題的否定，命題的否命題，逆否命題，逆命題的相關概念，注意原命題和逆否命題的真假性相同，故需要判斷逆否命題的真假時，只需要判斷原命題的真假6、D【解析】根據全面積得到正方體的棱長，再由勾股定理計算對角線.【詳解】設正方體的棱長為，對角線長為，則有，解得，從而，解得.故選：D7、C【解析】當時可得，可得答案.【詳解】當時可得所以方程表示的曲線經過的一點是，且其它點都不滿足方程，故選：C8、A【解析】先由等面積法求得的長，再以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，運用線面角的向量求解方法可得答案【詳解】如圖，連接交于點，過點作于，則平面，則，設，則，則根據三角形面積得，代入解得以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系則，，設平面的法向量為，，，則，即，令，得，所以直線與平面所成的角的余弦值為，故選：9、C【解析】畫出約束條件的可行域，利用目標函數的幾何意義即可求解【詳解】作出可行域如圖所示，把目標函數轉化為，平移，經過點時，縱截距最大，所以的最大值為4.故選：C10、B【解析】根據函數在處有極值為，由，求解.【詳解】因為函數，所以，所以，，解得a=6,b=9，=-3，故選：B11、D【解析】由歐拉公式的定義和復數的概念進行求解.【詳解】由題意，得，則復數的虛部為.故選：D.12、D【解析】對甲所在組的人數分類討論即得解.【詳解】當甲一個人去一個學校時，有種；當甲所在的學校有兩個老師時，有種；當甲所在的學校有三個老師時，有種；所以共有28+48+24=100種.故選：D【點睛】方法點睛：排列組合常用方法有：簡單問題直接法、小數問題列舉法、相鄰問題捆綁法、不相鄰問題插空法、至少問題間接法、復雜問題分類法、等概率問題縮倍法.要根據已知條件靈活選擇方法求解.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】利用“1”的妙用，運用基本不等式即可求解.【詳解】∵，即，∴又∵，，∴，當且僅當且，即，時，等號成立，則的最小值為4.故答案為：.14、4【解析】設平面，在平面內作于點O，在平面內過點O作，設OM是的角平分線，過棱m上一點P作，則過點O在平面OMQP上存在2條直線l，使得直線l與OB、OA成，直線l與平面且與平面，所成的角都是30°，在的補角一側也存在2條滿足條件的直線l，由此可得答案.【詳解】解：設平面，在平面內作于點O，在平面內過點O作，因為平面，所以，設OM是的角平分線，則，過棱m上一點P作，則過點O在平面OMQP上存在2條直線l，使得直線l與OB、OA成，此時直線l與平面且與平面，所成的角都是30°，同理，在的補角一側也存在2條滿足條件的直線l，所以這樣的直線l有4條，故答案為：4.15、①.64②.6【解析】利用即可求解，利用和換底公式進行求解.【詳解】令，則，則，即，即當對折完4次時，最小值為；由題意，得，，則，所以該矩形紙最多能對折6次.故答案為：64，6.16、129【解析】依次寫出前6項，即可求得數列的前6項和.【詳解】數列中，，則，，，則數列的前6項和為故答案為：129三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）平面PAE與平面PDH夾角大于，理由見解析【解析】（1）由面面垂直證明，然后得證平面MNGH后可得面面垂直；（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，用空間向量法求出二面角的余弦可得結論【小問1詳解】如圖O，為圓柱上，下底面的中心，可知，，平面平面MNGH，所以是二面角的平面角，平面平面MNGH，所以，即，，平面MNGH，所以平面MNGH，因為平面PAE，所以平面平面MNGH；【小問2詳解】因為，所以得，如圖，以為坐標原點，以，,所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則可知，，，，，則，，，，設平面AEP的法向量為，則，令，得，設平面DHP的法向量為，則，即令，得，，設平面PAE與平面PDH夾角為，則，，因為，即，所以平面PAE與平面PDH夾角大于18、（1）（2）【解析】（1）根據不等式的解答求得，當時，求得，結合集合并集的運算，即可求解；（2）由題意得到是的真子集，根據集合間的包含關系，列出不等式組，即可求解.【小問1詳解】解：由，解得，即，當時，可得，所以.【小問2詳解】解：由集合，因為，且是成立的必要不充分條件，是的真子集，所以且等號不能同時成立，解得，其中當和是滿足題意，故實數的取值范圍是.19、（1）或（2）【解析】（1）先假設命題為真命題，求出的取值范圍，為真命題，取補集即可（2）假設命題為真命題，求出的取值范圍，根據題意，則命題假設和命題一真一假，分類討論求的取值范圍【小問1詳解】解：若為真命題，則，解得，若“”為真命題，則為假命題，或；【小問2詳解】若為真命題，則解得，若“”為假命題，則“”為真命題，則與一真一假，①若真假，則解得，②若真假，則解得，綜上所述，，即的取值范圍為.20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）分別證明出和，利用線面垂直的判定定理即可證明；（2）以C為原點，為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系，用向量法求二面角的平面角.【小問1詳解】因為點在底面內的射影恰好是點，所以面.因為面,所以.因為是的中點，且滿足．所以，所以.因為，所以，即,所以.因為,面,面,所以平面.【小問2詳解】∵面，∴直線與底面所成角為，即.因為，所以由（1）知，，因，所以，.如圖示，以C為原點，為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系.則,,,,所以，設，由得，，即.則.設平面BDC1的一個法向量為，則，不妨令，則.因為面，所以面的一個法向量為記二面角的平面角為，由圖知，為銳角.所以,即.所以二面角的大小為.21、（1）（2）【解析】（1）若選①，則根據正弦定理，邊化角，結合二倍角公式，求得，可得答案；若選②，則根據余弦定理和三角形面積公式，將化簡，求得，可得答案；若選③，則切化弦，化簡可得到的值，求得答案；（2）由余弦定理求出，進而求得,設，，在中用余弦定理列出方程，求得答案.【小問1詳解】若選①，則根據正弦定理可得：，由于,，故，則；若選②，則，即，則，而，故；若選③，則，即，則，而，故；【小問2詳解】如圖示：,故，故,在中，設，則，則，即，解得，或（舍去）故.22、（1）（2）【解析】（Ⅰ）先求的定義域，再求，，，由直線方程的點斜式可求曲線在處的切線方程