第四節數列求和第六章2024內容索引0102強基礎固本增分研考點精準突破課標解讀1.鞏固等差數列、等比數列前n項和公式.2.掌握數列求和的裂項相消求和法、錯位相減求和法、拆項分組求和法、并項轉化求和法、倒序相加求和法,能夠解決數列的求和問題.強基礎固本增分數列求和的常用方法1.公式法

當等比數列的公比未知而運用其前n項和公式時,注意對q=1時的情況進行討論2.裂項相消求和法:裂項相消求和法就是把數列的各項變為兩項之差,使得相加求和時一些正負項相互抵消,前n項和變成首尾若干少數項之和,從而求出數列的前n項和.3.錯位相減求和法:如果一個數列的各項是由一個等差數列與一個等比數列的對應項之積構成的,那么求這個數列的前n項和可運用錯位相減求和法.4.拆項分組求和法:如果一個數列的各項是由幾個等差數列和等比數列的項相加減得到的,那么可以把數列的每一項拆成多個項或把數列的項重新分組,使其轉化成等差數列或等比數列,然后利用等差數列、等比數列的求和公式求和.5.并項轉化求和法:在求數列的前n項和時,如果一個數列的項是正負交錯的,尤其是當各項的絕對值又構成等差數列時,可以先將相鄰的兩項或幾項合并,然后再利用其他相關的方法進行求和.6.倒序相加求和法:如果一個數列{an}中,與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數,那么求這個數列的前n項和可運用倒序相加求和法.常用結論1.常用裂項公式2.常用求和公式

自主診斷題組一

思考辨析(判斷下列結論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)×××√題組二

雙基自測5.已知兩個等差數列2,6,10,…,190及2,8,14,…,200,將這兩個等差數列的公共項按從小到大的順序組成一個新數列.求這個新數列的各項之和.6.

求下列數列的一個通項公式和一個前n項和公式.1,11,111,1111,11111,….研考點精準突破考點一裂項相消求和法例題(2023·山東濰坊高三月考)若Sn為數列{an}的前n項和,a1=2,且Sn+1=2(Sn+1)(n∈N*).(1)求數列{an}的通項公式;解

(1)因為Sn+1=2(Sn+1),n∈N*,所以當n≥2時,Sn=2(Sn-1+1),兩式相減可得Sn+1-Sn=2(Sn+1)-2(Sn-1+1),即an+1=2an(n≥2).當n=1時,a1+a2=S2=2S1+2=2a1+2,又a1=2,所以a2=4,符合上式.所以an+1=2an(n∈N*),故數列{an}是等比數列,且首項為2,公比為2,所以an=2n.規律方法

裂項相消求和法的實質是將數列中的每項(通項)分解,然后重新組合使之能消去一些項,最終達到求和的目的.利用裂項相消求和法的關鍵是分析數列的通項,考察其是否能分解成兩項的差,在裂項求和的過程中,還要注意以下幾點:(1)注意通項裂開后,是否恰好等于相應的兩項之差,有時恰好等于兩項之差,有時則是倍數關系,需要在裂開的式子前面乘上一個系數;(2)注意在正負項抵消后,是否只剩下了第一項和最后一項,有時可能前面剩下了兩項,后面也剩下了兩項.對點訓練(2023·河南平頂山高三模擬)已知數列{an}的前n項和為Sn,且2Sn=(n+2)an-2.(1)求數列{an}的通項公式;(1)解

當n=1時,2S1=(1+2)a1-2,即a1=2.當n≥2時,2Sn=(n+2)an-2,2Sn-1=(n-1+2)an-1-2=(n+1)an-1-2,兩式相減得2an=(n+2)an-(n+1)an-1,即nan=(n+1)an-1,考點二錯位相減求和法例題已知數列{an}的前n項和為Sn,若Sn=-n2+kn(k∈N*),且Sn的最大值為25.(1)求k的值及通項公式an;綜上可得,k=10,Sn=-n2+10n.當n=1時,a1=S1=9.當n≥2時,an=Sn-Sn-1=(-n2+10n)-[-(n-1)2+10(n-1)]=-2n+11,當n=1時也成立.綜上可得an=-2n+11.所以k=10,an=-2n+11.規律方法

錯位相減求和法的方法步驟設{anbn}的前n項和為Sn,其中數列{an}為公差為d的等差數列,數列{bn}為公比為q(q≠1)的等比數列.則錯位相減求和法的步驟如下.∵Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn,∴qSn=a1b2+a2b3+…+an-1bn+anbn+1.∵{an}的各項均為正數,∴an-an-1=3,∴{an}為等差數列,則an=a1+3(n-1)=3n.∵Sn=2bn-2,∴當n≥2時,Sn-1=2bn-1-2,兩式相減得bn=2bn-1.當n=1時,b1=S1=2b1-2,得b1=2.∴{bn}為等比數列,∴bn=2·2n-1=2n.考點三其他求和法(多考向探究預測)考向1拆項分組求和法

規律方法

適合拆項分組求和法的兩種數列

對點訓練(2023·山東師大附中高三模擬)已知Sn是數列{an}的前n項和,且a1=1,an+an+1=2n+1.(1)求數列{an}的通項公式;解

(1)an+an+1=2n+1變形為an+1-(n+1)=-(an-n),因為a1-1=0,所以an+1-(n+1)=-(an-n)=…=0,故a