北京市東城五中2023-2024學年高二上數學期末監測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若在直線上，則直線的一個方向向量為（）A. B.C. D.2．已知拋物線的焦點為，點為拋物線上一點，點，則的最小值為（）A. B.2C. D.33．已知定義在區間上的函數，，若以上兩函數的圖像有公共點，且在公共點處切線相同，則m的值為（）A.2 B.5C.1 D.04．已知數列中，，()，則（）A. B.C. D.25．在等差數列中，若，且前n項和有最大值，則使得的最大值n為（）A.15 B.16C.17． D.186．已知命題：，；命題：，.則下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.7．某中學為了解高三男生的體能情況，通過隨機抽樣，獲得了200名男生的100米體能測試成績（單位：秒），將數據按照，，…，分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.規定成績低于13秒為優，成績高于14.8秒為不達標.由直方圖推斷，下列選項錯誤的是（）A.直方圖中a的值為0.40B.由直方圖估計本校高三男生100米體能測試成績的眾數為13.75秒C.由直方圖估計本校高三男生100米體能測試成績為優的人數為54D.由直方圖估計本校高三男生100米體能測試成績為不達標的人數為188．為了解一片大約一萬株樹木的生長情況，隨機測量了其中100株樹木的底部周長（單位：㎝）.根據所得數據畫出的樣本頻率分布直方圖如圖，那么在這片樹木中，底部周長小于110㎝的株樹大約是（）A.3000 B.6000C.7000 D.80009．已知圓C過點，圓心在x軸上，則圓C的方程為（）A. B.C. D.10．設某大學的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關關系，根據一組樣本數據（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71，則下列結論中不正確的是A.y與x具有正的線性相關關系B.回歸直線過樣本點的中心（，）C.若該大學某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD.若該大學某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg11．已知函數，那么“”是“在上為增函數”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件12．已知，，，執行如圖所示的程序框圖，輸出值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數列滿足，則其通項公式_______14．若，均為正數，且，（1）的最大值為；（2）的最小值為；（3）的最小值為；（4）的最小值為，則結論正確的是__________15．設為等差數列的前n項和，若，，則______16．中國古代《易經》一書中記載，人們通過在繩子上打結來記錄數量，即“結繩計數”，如圖，一位古人在從右到左依次排列的紅繩子上打結，滿三進一，用來記錄每年進的錢數.由圖可得，這位古人一年的收入的錢數為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.（1）當時，求的單調區間與極值；（2）若在上有解，求實數a的取值范圍.18．（12分）已知函數（1）求函數的圖象在點處的切線方程；（2）求函數的極值19．（12分）如圖，在正方體中，是棱的中點.（1）試判斷直線與平面的位置關系，并說明理由；（2）求證：直線面.20．（12分）已知，直線過且與交于兩點，過點作直線的平行線交于點（1）求證：為定值，并求點的軌跡的方程；（2）設動直線與相切于點，且與直線交于點，在軸上是否存在定點，使得以為直徑的圓恒過定點？若存在，求出的坐標；若不存在，說明理由21．（12分）計算：（1）求函數（a，b為正常數）的導數（2）已知點P在曲線上，為曲線在點P處的切線的傾斜角，則的取值范圍22．（10分）已知是各項均為正數的等比數列，且，.（1）求數列的通項公式；（2）數列通項公式為，求數列的前n項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由題意可得首先求出直線上的一個向量，即可得到它的一個方向向量，再利用平面向量共線（平行）的坐標表示即可得出答案【詳解】∵在直線上，∴直線的一個方向向量，又∵，∴是直線的一個方向向量故選：D2、D【解析】求出拋物線C的準線l的方程，過A作l的垂線段，結合幾何意義及拋物線定義即可得解.【詳解】拋物線的準線l：，顯然點A在拋物線C內，過A作AM⊥l于M，交拋物線C于P，如圖，在拋物線C上任取不同于點P的點，過作于點N，連PF，AN，，由拋物線定義知，，于是得，即點P是過A作準線l的垂線與拋物線C的交點時，取最小值，所以的最小值為3.故選：D3、C【解析】設兩曲線與公共點為，分別求得函數的導數，根據兩函數的圖像有公共點，且在公共點處切線相同，列出等式，求得公共點的坐標，代入函數，即可求解.【詳解】根據題意，設兩曲線與公共點為，其中，由，可得，則切線的斜率為，由，可得，則切線斜率為，因為兩函數的圖像有公共點，且在公共點處切線相同，所以，解得或（舍去），又由，即公共點的坐標為，將點代入，可得.故選：C.4、A【解析】由已知條件求出，可得數是以3為周期的周期數列，從而可得，進而可求得答案【詳解】因為，()，所以，所以數列的周期為3，，故選：A5、A【解析】由題可得，則，可判斷，，即可得出結果.【詳解】前n項和有最大值，，，，，，，使得的最大值n為15.故選：A.【點睛】本題考查等差數列前n項和的有關判斷，解題的關鍵是得出.6、C【解析】利用基本不等式判斷命題的真假，由不等式性質判斷命題的真假，進而確定它們所構成的復合命題的真假即可.【詳解】由，當且僅當時等號成立，故不存在使，所以命題為假命題，而命題為真命題，則為真，為假，故為假，為假，為真，為假.故選：C7、D【解析】根據頻率之和為求得，結合眾數、頻率等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】，解得，A選項正確.眾數為，B選項正確.成績低于秒的頻率為，人數為，所以C選項正確.成績高于的頻率為，人數為人，D選項錯誤.故選：D8、C【解析】先由頻率分布直方圖得到抽取的樣本中底部周長小于110㎝的概率，進而可求出結果.【詳解】由頻率分布直方圖可得，樣本中底部周長小于110㎝的概率為，因此在這片樹木中，底部周長小于110㎝的株樹大約是.故選：C.【點睛】本題主要考查頻率分布直方圖的應用，屬于基礎題型.9、C【解析】設出圓的標準方程，將已知點的坐標代入，解方程組即可.【詳解】設圓的標準方程為，將坐標代入得:,解得，故圓的方程為，故選：C.10、D【解析】根據y與x的線性回歸方程為y=0.85x﹣85.71，則=0.85＞0，y與x具有正的線性相關關系，A正確；回歸直線過樣本點的中心（），B正確；該大學某女生身高增加1cm，預測其體重約增加0.85kg，C正確；該大學某女生身高為170cm，預測其體重約為0.85×170﹣85.71=58.79kg，D錯誤故選D11、A【解析】對函數進行求導得，進而得時，，在上為增函數，然后判斷充分性和必要性即可.【詳解】解：因為的定義域是，所以，當時，，在上為增函數.所以在上為增函數，是充分條件；反之，在上為增函數或，不是必要條件.故選：A.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，屬于中檔題.12、A【解析】模擬程序運行可得程序框圖的功能是計算并輸出三個數中的最小數，計算三個數判斷作答.【詳解】模擬程序運行可得程序框圖的功能是計算并輸出三個數中的最小數，因，，，則，不成立，則，不成立，則，所以應輸出的x值為.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】構造法可得，由等比數列的定義寫出的通項公式，進而可得.【詳解】令，則，又，∴，故，而，∴是公比為，首項為，則，∴.故答案為：.14、（1）（2）（4）.【解析】利用基本不等式求的最大值可判斷（1）；利用“”的妙用以及基本不等式可判斷（2）；將所求代數式轉化為關于的二次函數結合由二次函數的性質可得最值判斷C、D，進而可得正確答案.【詳解】對于（1）：因為，均為正數，且，則有，當且僅當時等號成立，即的最大值為，故（1）正確；對于（2）：因為，當且僅當時等號成立，即的最小值為，故（2）正確；對于（3）：因為，所以，在上單調遞減，無最小值，故（3）不正確；對于（4）：，當且僅當時等號成立，即的最小值為，故（4）正確.故答案為：（1）（2）（4）.15、36【解析】利用等差數列前n項和的性質進行求解即可.【詳解】因為為等差數列的前n項和，所以也成等差數列，即成等差數列，所以，故答案為：16、25【解析】將原問題轉化為三進制計算，即可求解【詳解】解：由題意可得，從左到右的數字依次為221，即古人一年的收入的錢數為故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）在上單調遞減，在上單調遞增，函數有極小值，無極大值（2）【解析】（1）利用導數的正負判斷函數的單調性，然后由極值的定義求解即可；（2）分和兩種情況分析求解，當時，不等式變形為在，上有解，構造函數，利用導數研究函數的單調性，求解的最小值，即可得到答案【小問1詳解】當時，，所以當時；當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以當時函數有極小值，無極大值.【小問2詳解】因為在上有解，所以在上有解，當時，不等式成立，此時，當時在上有解，令，則由（1）知時，即，當時；當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以當時，，所以，綜上可知，實數a的取值范圍是.點睛】利用導數研究不等式恒成立問題或有解問題的策略為：通常構造新函數或參變量分離，利用導數研究函數的單調性，求出最值從而求得參數的取值范圍18、（1）（2）極大值為12，極小值-15【解析】（1）利用導數的幾何意義求解即可.（2）利用導數求解極值即可.【小問1詳解】，，切點為，故切線方程為，即；【小問2詳解】令，得或列表：-12+0-0+單調遞增12單調遞減-15單調遞增函數的極大值為，函數的極小值為.19、（1）平面AEC，理由見解析（2）證明見解析【解析】（1）以線面平行的判定定理去證明直線與平面平行即可；（2）以線面垂直的判定定理去證明直線面即可.【小問1詳解】連接BD，設，連接OE.在中，O、E分別是BD、的中點，則.因為直線OE在平面AEC上，而直線不在平面AEC上，根據直線與平面平行的判定定理，得到直線平面AEC.【小問2詳解】正方體中，故，又，故同理故，又，故又根據直線與平面垂直的判定定理，得直線平面.20、（1）證明見解析，（）（2）存在，【解析】(1)根據題意和橢圓的定義可知點的軌跡是以A，為焦點的橢圓，且，，進而得出橢圓標準方程；(2)設，聯立動直線方程和橢圓方程并消元得出關于的一元二次方程，根據根的判別式可得點P和Q的坐標，結合，利用平面向量的坐標表示列出方程組，即可解出點M的坐標.【小問1詳解】圓A：，∵，∴，又，∴∴，∴，故∴點的軌跡是以A，為焦點的橢圓，且，∴，故：（）；【小問2詳解】由，得∴，故，設，則，，故，，由可得：由對，恒成立∴故存在使得以為直徑的圓恒過定點21、（1）（2）【解析】（1）根據導數的運算法則，結合復合函數的求導法則，可得答案;（2）求出函數的導數，結合基本不等式求得導數的取值范圍，根據導數的幾何意義結合正切函數的單調性，求得答案.【小問1詳解】由題意得：；【小問2詳解】,由于，故，當且僅當時取等號，故，則P處的切線的斜率，由為曲線在點P處的切線的傾斜角可得，由于，故的取值范圍為：.22、（1）；（2）.【解析】（1）設的公比為，利用基本量運算求出公比，可得數列的通項公式；（2）利