北京市第四中學2023-2024學年數學高二上期末質量跟蹤監視模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．展開式的第項為（）A. B.C. D.2．若直線的一個方向向量為，直線的一個方向向量為，則直線與所成的角為（）A30° B.45°C.60° D.90°3．已知點，在雙曲線上，線段的中點，則（）A. B.C. D.4．等差數列的前項和，若，則A.8 B.10C.12 D.145．在四棱錐中，底面為平行四邊形，為邊的中點，為邊上的一列點，連接，交于，且，其中數列的首項，則（）A. B.為等比數列C. D.6．已知實數a，b滿足，則下列不等式中恒成立的是（）A. B.C. D.7．如圖所示，在三棱錐中，E，F分別是AB，BC的中點，則等于（）A. B.C. D.8．若雙曲線（，）的一條漸近線經過點，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.29．已知函數，，若對任意的，，都有成立，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.10．下列推理中屬于歸納推理且結論正確的是（）A.由，求出，，，…，推斷：數列的前項和B.由滿足對都成立，推斷：為奇函數C.由半徑為的圓的面積，推斷單位圓的面積D.由，，，…，推斷：對一切，11．過原點O作兩條相互垂直的直線分別與橢圓交于A、C與B、D，則四邊形ABCD面積最小值為（）A. B.C. D.12．已知雙曲線左右焦點為，，過的直線與雙曲線的右支交于P，Q兩點，且，若為以Q為頂角的等腰三角形，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若“”是“”必要不充分條件，則實數的最大值為_______14．已知等比數列的各項均為實數，其前項和為，若，，則__________.15．橢圓方程為橢圓內有一點，以這一點為中點的弦所在的直線方程為，則橢圓的離心率為______16．已知過點作拋物線的兩條切線，切點分別為A，B，直線AB經過拋物線C的焦點F，則___________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓與（1）過點作直線與圓相切，求的方程；（2）若圓與圓相交于、兩點，求的長18．（12分）如圖，在四棱柱中，，，，四邊形為菱形，在平面ABCD內的射影O恰好為AD的中點，M為AB的中點.（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.19．（12分）已知在公差不為0的等差數列中，，且構成等比數列的前三項（1）求數列，的通項公式；（2）設數列___________，求數列的前項和請在①；②；③這三個條件中選擇一個，補充在上面的橫線上，并完成解答20．（12分）已知直線l過定點（1）若直線l與直線垂直，求直線l的方程；（2）若直線l在兩坐標軸上的截距相等，求直線l的方程21．（12分）某廠接受了一項加工業務，加工出來的產品(單位：件)按標準分為A，B，C，D四個等級.加工業務約定：對于A級品、B級品、C級品，廠家每件分別收取加工費90元，50元，20元；對于D級品，廠家每件要賠償原料損失費50元.該廠有甲、乙兩個分廠可承接加工業務.甲分廠加工成本費為25元/件，乙分廠加工成本費為20元/件.廠家為決定由哪個分廠承接加工業務，在兩個分廠各試加工了100件這種產品，并統計了這些產品的等級，整理如下：甲分廠產品等級的頻數分布表等級ABCD頻數40202020乙分廠產品等級的頻數分布表等級ABCD頻數28173421（1）分別估計甲、乙兩分廠加工出來的一件產品為A級品的概率；（2）分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產品的平均利潤，以平均利潤為依據，廠家應選哪個分廠承接加工業務?22．（10分）如圖，AC是圓O的直徑，B是圓O上異于A，C的一點，平面ABC，點E在棱PB上，且，，.（1）求證：；（2）當三棱錐的體積最大時，求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由展開式的通項公式求解即可【詳解】因為，所以展開式的第項為，故選：B2、C【解析】直接由公式，計算兩直線的方向向量的夾角，進而得出直線與所成角的大小【詳解】因為，，所以，所以，所以直線與所成角的大小為故選：C3、D【解析】先根據中點弦定理求出直線的斜率，然后求出直線的方程，聯立后利用弦長公式求解的長.【詳解】設，，則可得方程組：，兩式相減得：，即，其中因為的中點為，故，故，即直線的斜率為，故直線的方程為：，聯立，解得：，由韋達定理得：，，則故選：D4、C【解析】假設公差為,依題意可得.所以.故選C.考點：等差數列的性質.5、A【解析】由得，為邊的中點得，設，所以，根據向量相等可判斷A選項；由得是公比為的等比數列，可判斷B選項；代入可判斷C選項；當時可判斷D選項.【詳解】由得，因為為邊的中點，所以，所以設，所以，所以，當時，A選項正確；，由得，是公比為的等比數列，所以，所以，所以，不是常數，故B選項錯誤；所以，由得，故C選項錯誤；當時，，所以，此時為的中點，與重合，即，，故D錯誤.故選：A.6、D【解析】利用特殊值排除錯誤選項，利用函數單調性證明正確選項.【詳解】時，，但，所以A選項錯誤.時，，但，所以B選項錯誤.時，，但，所以C選項錯誤.在上遞增，所以，即D選項正確.故選：D7、D【解析】根據向量的線性運算公式化簡可得結果.【詳解】因為E，F分別是AB，AC的中點，所以，，所以，故選：D8、A【解析】先求出漸近線方程，進而將點代入直線方程得到a,b關系，進而求出離心率.【詳解】由題意，雙曲線的漸近線方程為：，而一條漸近線過點，則，.故選：A.9、B【解析】根據題意，將問題轉化為對任意的，，利用導數求得的最大值，再分離參數，構造函數，利用導數求其最大值，即可求得參數的取值范圍.【詳解】由題可知：對任意的，，都有恒成立，故可得對任意的，；又，則，故在單調遞減，在單調遞增，又，，則當時，,.對任意的，，即，恒成立.也即，不妨令，則，故在單調遞增，在單調遞減.故，則只需.故選：B.10、A【解析】根據歸納推理是由特殊到一般，推導結論可得結果.【詳解】對于A，由，求出，，，…，推斷：數列的前項和，是由特殊推導出一般性的結論，且，故A正確；B和C屬于演繹推理，故不正確；對于D，屬于歸納推理，但時，結論不正確，故D不正確.故選：A.11、A【解析】直線AC、BD與坐標軸重合時求出四邊形面積，與坐標軸不重合求出四邊形ABCD面積最小值，再比較大小即可作答.【詳解】因四邊形ABCD的兩條對角線互相垂直，由橢圓性質知，四邊形ABCD的四個頂點為橢圓頂點時，而，四邊形ABCD的面積，當直線AC斜率存在且不0時，設其方程為，由消去y得：，設，則，，直線BD方程為，同理得：，則有，當且僅當，即或時取“=”，而，所以四邊形ABCD面積最小值為.故選：A12、C【解析】由雙曲線的定義得出中各線段長（用表示），然后通過余弦定理得出的關系式，變形后可得離心率【詳解】由題意，又，所以，從而，，，中，，中．，所以，，所以，故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設的解集為集合，由題意可得是的真子集，即可求解.【詳解】由得或，因為“”是“”的必要不充分條件，設或，，因為“”是“”的必要不充分條件，所以是的真子集，所以故答案為：【點睛】結論點睛：本題考查充分不必要條件的判斷，一般可根據如下規則判斷：（1）若是的必要不充分條件，則對應集合是對應集合的真子集；（2）是的充分不必要條件，則對應集合是對應集合的真子集；（3）是的充分必要條件，則對應集合與對應集合相等；（4）是的既不充分又不必要條件，對的集合與對應集合互不包含14、1【解析】分公比和兩種情況討論，結合，，即可得出答案.【詳解】解：設等比數列的公比為，當，由，，不合題意，當，由，得，綜上所述.故答案為：1.15、【解析】設，利用“點差法”得到，即可求出離心率.【詳解】設直線與橢圓交于，則.因為AB中點,則.又，相減得：.所以所以所以，所以，即離心率.故答案為：.16、【解析】設出點的坐標，與拋物線方程聯立，結合題意和韋達定理，求得拋物線的方程為，直線AB的方程為，進而求得的值.【詳解】設，在拋物線，過切點A與拋物線相切的直線的斜率為，則以為切點的切線方程為，聯立方程組，整理得，則，整理得，所以，解得，所以以為切點的切線方程為，即，同理，設，在拋物線，過切點B與拋物線相切的直線，又因為在切線和，所以，所以直線AB的方程為，又直線AB過拋物線的焦點，所以令，可得，即，所以拋物線的方程為，直線AB的方程為，聯立方程組，整理得或，所以，所以.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或（2）【解析】（1）根據已知可得圓心與半徑，再利用幾何法可得切線方程；（2）聯立兩圓方程可得公共弦方程，進而可得弦長.【小問1詳解】解：圓的方程可化為：，即：圓的圓心為，半徑為若直線的斜率不存在，方程為：，與圓相切，滿足條件若直線的斜率存在，設斜率為，方程為：，即：由與圓相切可得：，解得：所以的方程為：，即：綜上可得的方程為：或【小問2詳解】聯立兩圓方程得：，消去二次項得所在直線的方程：，圓的圓心到的距離，所以.18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）先證明，，即可證明平面；（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】因為O為在平面ABCD內的射影，所以平面ABCD，因為平面ABCD，所以.如圖，連接BD，在中，.設CD的中點為P，連接BP，因為，，，所以，且，則.因為，所以，易知，所以.因為平面，平面，，所以平面.【小問2詳解】由（1）知平面ABCD，所以可以點O為坐標原點，以OA，，所在直線分別為x，z，以平面ABCD內過點O且垂直于OA的直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，所以,,，，設平面的法向量為，，，則可取平面的一個法向量為.設平面的法向量為，，，則令，得平面的一個法向量為.設平面與平面的平面角為，由法向量的方向可知與法向量的夾角大小相等，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.19、（1），（2）答案見解析【解析】（1）設的公差為，根據等比中項的性質得到，即可求，從而求出的通項公式，所以，即可求出等比數列的公比，從而求出的通項公式；（2）若選①：則，利用裂項相消法求和即可；若選②：則，根據等比數列求和公式計算可得；若選③：則利用分組求和法求和即可；【小問1詳解】解：設的公差為，成等比數列，，，解得或，，，即，，的公比，，【小問2詳解】解：若選①：則，；若選②：則，；若選③：則，.20、（1）（2）或【解析】(1)求出直線的斜率可得l的斜率，再借助直線點斜式方程即可得解.(2)按直線l是否過原點分類討論計算作答.【小問1詳解】直線的斜率為，于是得直線l的斜率，則，即，所以直線l的方程是：.【小問2詳解】因直線l在兩坐標軸上的截距相等，則當直線l過原點時，直線l的方程為：，即，當直線l不過原點時，設其方程為：，則有，解得，此時，直線l的方程為：，所以直線l的方程為：或.21、（1）甲分廠加工出來的級品的概率為，乙分廠加工出來的級品的概率為；（2）選甲分廠，理由見解析.【解析】（1）根據兩個頻數分布表即可求出；（2）根據題意分別求出甲乙兩廠加工件產品的總利潤，即可求出平均利潤，由此作出選擇【詳解】（1）由表可知，甲廠加工出來的一件產品為級品的概率為，乙廠加工出來的一件產品為級品的概率為；（2）甲分廠加工件產品的總利潤為元，所以甲分廠加工件產品的平均利潤為元每件；乙分廠加工件產品的總利潤為元，所以乙分廠加工件產品的平均利潤為元每件故廠家選擇甲分廠承接加工任務【點睛】本題主要考查古典概型的概率公式的應用，以及平均數的求法，并根據平均值作出決策，屬于基礎題22、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由圓的性質可得，再由線面垂直的性質可得，從而由線面垂直的判定定理可得平面PAB，所以得，再結合已知條件可得平面PBC，由線面垂直的性質可得結論；（2）由已知條件結合基本不等式可得當三棱錐的體積最大時，是等腰直角三角形，，從而以OB，OC所在直線分別為x軸，y軸，以過點O且垂直于圓O平面的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，利用空間向量求解.【小問1詳解】證明：因為AC是圓O的直徑，點B是圓O上不與A，C重合的一個動