安徽省合肥市廬陽區第一中學2023-2024學年數學高二上期末學業水平測試模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若圓上恰有2個點到直線的距離為1，則實數的取值范圍為（）A B.C. D.2．設，則“”是“直線與直線”平行的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.即不充分也不必要條件3．已知四棱錐，底面為平行四邊形，分別為，上的點，，設，則向量用為基底表示為（）A. B.C. D.4．橢圓：與雙曲線：的離心率之積為2，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.5．某市物價部門對5家商場的某商品一天的銷售量及其售價進行調查，5家商場的售價（元）和銷售量（件）之間的一組數據如表所示.按公式計算，與的回歸直線方程是，則下列說法錯誤的是（）售價99.51010.511銷售量1110865A.B.售價變量每增加1個單位時，銷售變量大約減少3.2個單位C.當時，的估計值為12.8D.銷售量與售價成正相關6．已知定義在R上的函數滿足，且有，則的解集為（）A B.C. D.7．過拋物線C：y2=4x的焦點F分別作斜率為k1、k2的直線l1、l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D、E兩點，若|k1·k2|=2，則|AB|+|DE|的最小值為（）A.10 B.12C.14 D.168．為了了解某地區的名學生的數學成績，打算從中抽取一個容量為的樣本，現用系統抽樣的方法，需從總體中剔除個個體，在整個過程中，每個個體被剔除的概率和每個個體被抽取的概率分別為（）A. B.C. D.9．變量與的數據如表所示，其中缺少了一個數值，已知關于的線性回歸方程為，則缺少的數值為（）22232425262324▲2628A.24 B.25C.25.5 D.2610．如圖，在正方體中，（）A. B.C. D.11．古希臘數學家阿波羅尼奧斯(約公元前262~公元前190年)的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，著作中有這樣一個命題：平面內與兩定點距離的比為常數k(k>0且k≠1)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.已知O(0，0)，A(3，0)，動點P(x，y)滿，則動點P軌跡與圓的位置關系是（）A.相交 B.相離C.內切 D.外切12．已知公比不為1的等比數列，其前n項和為，，則（）A.2 B.4C.5 D.25二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．給出下列命題：①若兩條不同的直線同時垂直于第三條直線，則這兩條直線互相平行；②若兩個不同的平面同時垂直于同一條直線，則這兩個平面互相平行；③若兩條不同的直線同時垂直于同一個平面，則這兩條直線互相平行；④若兩個不同的平面同時垂直于第三個平面，則這兩個平面互相垂直.其中所有正確命題的序號為________.14．萬眾矚目的北京冬奧會將于2022年2月4日正式開幕，繼2008年北京奧運會之后，國家體育場（又名鳥巢）將再次承辦奧運會開幕式.在手工課上，王老師帶領同學們一起制作了一個近似鳥巢的金屬模型，其俯視圖可近似看成是兩個大小不同、扁平程度相同的橢圓.已知大橢圓的長軸長為40cm，短軸長為20cm，小橢圓的短軸長為10cm，則小橢圓的長軸長為________cm.15．已知數列的前項和為，，則___________，___________.16．已知雙曲線：，斜率為的直線與E的左右兩支分別交于A，B兩點，點P的坐標為，直線AP交E于另一點C，直線BP交E于另一點D．若直線CD的斜率為，則E的離心率為___________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線l經過直線，的交點M（1）若直線l與直線平行，求直線l的方程；（2）若直線l與x軸，y軸分別交于A，兩點，且M為線段AB的中點，求的面積（其中O為坐標原點）18．（12分）已知正項等差數列滿足：，且，，成等比數列（1）求的通項公式；（2）設的前n項和為，且，求的前n項和19．（12分）在四棱錐中，平面，，，，，分別是的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求直線與平面所成角的正弦值.20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，平面，，，分別為，的中點（1）證明：平面；（2）證明：平面21．（12分）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的存在，求實數的取值范圍；若問題中的不存在，請說明理由設等差數列的前n項和為，數列的前n項和為，___________，，，是否存在實數，對任意都有？22．（10分）已知直線l：，圓C：.（1）當時，試判斷直線l與圓C的位置關系，并說明理由；（2）若直線l被圓C截得的弦長恰好為，求k的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】求得圓心到直線的距離，根據題意列出的不等關系式，即可求得的范圍.【詳解】因為圓心到直線的距離，故要滿足題意，只需，解得.故選：A.2、D【解析】由兩直線平行確定參數值，根據充分必要條件的定義判斷【詳解】時，兩直線方程分別為，，它們重合，不平行，因此不是充分條件；反之，兩直線平行時，，解得或，由上知時，兩直線不平行，時，兩直線方程分別為，，平行，因此，本題中也不是必要條件故選：D3、D【解析】通過尋找封閉的三角形，將相關向量一步步用基底表示即可.【詳解】.故選：D4、C【解析】先求出橢圓的離心率，再由題意得出雙曲線的離心率，根據離心率即可求出漸近線斜率得解.【詳解】橢圓：的離心率為，則，依題意，雙曲線；的離心率為，而，于是得，解得：，所以雙曲線的漸近線方程為故選：C5、D【解析】首先求出、，再根據回歸直線方程必過樣本中心點，即可求出，再根據回歸直線方程的性質一一判斷即可；【詳解】解：因為，，與回歸直線方程，恒過定點，，解得，故A正確，所以回歸直線方程為，即售價變量每增加1個單位時，銷售變量大約減少3.2個單位，故B正確；當時，即當時，的估計值為12.8，故C正確；因為回歸直線方程為，所以銷售量與售價成負相關，故D錯誤；故選：D6、A【解析】構造，應用導數及已知條件判斷的單調性，而題設不等式等價于即可得解.【詳解】設，則，∴在R上單調遞增.又，則.∵等價于，即，∴，即所求不等式的解集為.故選：A7、B【解析】設出l1的方程為，與拋物線聯立后得到兩根之和，兩根之積，用弦長公式表達出，同理表達出，利用基本不等式求出的最小值.【詳解】拋物線C：y2=4x的焦點F為，直線l1的方程為，則聯立后得到，設，，，則，同理設可得：，因為|k1·k2|=2，所以，當且僅當，即或時，等號成立，故選：B8、D【解析】根據每個個體被抽取的概率都是相等的、被剔除的概率也都是相等的，分別由剔除的個數和抽取的樣本容量除以總體個數即可求解.【詳解】根據系統抽樣的定義和方法可知：每個個體被抽取的概率都是相等的，每個個體被剔除的概率也都是相等的，所以每個個體被剔除的概率為，每個個體被抽取的概率為，故選：D.9、A【解析】可設出缺少的數值，利用表中的數據，分別表示出、，將樣本中心點帶入回歸方程，即可求得參數.【詳解】設缺少的數值為，則，，因為回歸直線方程經過樣本點的中心，所以，解得.故選：A10、B【解析】根據正方體的性質，結合向量加減法的幾何意義有，即可知所表示的向量.【詳解】∵，而，∴，故選：B11、A【解析】首先求得點的軌跡，再利用圓心距與半徑的關系，即可判斷兩圓的位置關系.【詳解】由條件可知，，化簡為：，動點的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，圓是以為圓心，為半徑的圓，兩圓圓心間的距離，所以兩圓相交.故選：A12、B【解析】設等比數列的公比為，根據求得，從而可得出答案.【詳解】解：設等比數列的公比為，則，所以，則.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、②③【解析】由垂直于同一直線的兩直線的位置關系判斷①；由直線與平面垂直的性質判斷②③；由空間中平面與平面的位置關系判斷④【詳解】①若兩條不同的直線垂直于第三條直線，則這兩條直線有三種位置關系：平行、相交或異面，故錯誤；②根據線面垂直的性質知，若兩個不同的平面垂直于一條直線，則這兩個平面互相平行，故正確；③由線面垂直的性質知：若兩條不同的直線同時垂直于同一個平面，則這兩條直線互相平行，故正確④若兩個不同的平面同時垂直于第三個平面，這兩個平面相交或平行，故錯誤.其中所有正確命題的序號為②③故答案為：②③14、20【解析】求出大橢圓的離心率等于小橢圓的離心率，然后求解小橢圓的長軸長【詳解】在大橢圓中，，，則，.因為兩橢圓扁平程度相同，所以離心率相等，所以在小橢圓中，，結合，得，所以小橢圓的長軸長為20.故填：20.【點睛】本題考查橢圓的簡單性質的應用，對橢圓相似則離心率相等這一基礎知識的考查15、①.②.【解析】第一空：由，代入已知條件，即可解得結果；第二空：由與關系可推導出之間的關系，再由遞推公式即可求出通項公式.【詳解】，可得由，可知時，故時即可化為又故數列是首項為公比為2的等比數列，故數列的通項公式故答案為：①；②16、【解析】分別設線段的中點，線段的中點，再利用點差法可表示出，由平行關系易知三點共線，從而利用斜率相等的關系構造方程，代入整理可得到關系，利用雙曲線得到關于的齊次方程，進而求得離心率.【詳解】設，，線段的中點，兩式相減得：…①設，，線段的中點同理可得：…②，易知三點共線，將①②代入得：，所以，即，由題意可得，故.∴，即故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）4【解析】（1）求出兩直線的交點M的坐標，設直線l的方程為代入點M的坐標可得答案；（2）設，，因為為線段AB的中點，可得，由的面積為可得答案.【小問1詳解】由，得，所以點M坐標為，因為，則設直線l的方程為，又l過點，代入得，故直線l方程為.【小問2詳解】設，，因為為線段AB的中點，則，所以，故，，則的面積為.18、（1）；（2）.【解析】（1）利用等差數列的通項公式結合條件即求；（2）利用條件可得，然后利用錯位相減法即求.【小問1詳解】設等差數列公差為d，由得，即，化簡得，又，，成等比數列，則，即，將代入上式得，化簡得，解得或－2（舍去），則，所以【小問2詳解】∵，當時，，當時，，符合上式，則，所以，令，則，，∴，化簡得綜上，的前n項和19、（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【解析】(1)根據給定條件證得即可推理作答.(2)由已知條件，以點A作原點建立空間直角坐標系，借助空間位置關系的向量證明即可作答.(3)利用(2)中信息，借助空間向量求直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】在四棱錐中，因分別是的中點，則，因平面，平面，所以平面.【小問2詳解】在四棱錐中，平面，，以點A為原點，射線AB，AD，AP分別為x，y，z軸非負半軸建立空間直角坐標系，如圖，則，而且，則，，設平面的法向量，由，令，得，又，因此有，所以平面.【小問3詳解】由(2)知，，令直線與平面所成角為，則有，所以直線與平面所成角的正弦值.20、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）取中點，結合三角形中位線性質可證得四邊形為平行四邊形，由此得到，由線面平行判定定理可證得結論；（2）利用菱形特點和線面垂直的性質可證得，，由線面垂直的判定定理可證得結論.【詳解】（1）取中點，連接，分別為中點，，四邊形為菱形，為中點，，，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面.（2）連接，四邊形為菱形，，為等邊三角形，又為中點，，平面，平面，，又平面，，平面.21、答案見解析【解析】由已知條件可得，假設時，取最小值，則，若補充條件是①，則可求得，代入化簡可求出的取值范圍，從而可求得答案，若補充條件是②，則可得，該數列是遞減數列，所以不存在k，使得取最小值，若補充條件是③，則可得，代入化簡可求出的取值范圍，從而可求得答案，【詳解】解：等差數列的公差為d，當時，，得，從而，當時，得，所以數列是首項為，公比為的等比數列，所以，由對任意，都有，當等差數列的前n項和存在最小值時，假設時，取最小值，所以；若補充條件是①，因為，，從而，由得，所以，由等差數列的前n項和存在最小值，則，得，又，所以.所以，故實數的取值范圍為若補充條件是②，由，即，又，所以.所以，由于該數列是遞減數列，