第八節直線與圓錐曲線的位置關系第九章內容索引0102強基礎增分策略增素能精準突破課標解讀衍生考點核心素養1.掌握直線與圓錐曲線位置關系的判斷方法.2.掌握直線被圓錐曲線所截弦長及中點弦問題的求解方法.1.直線和圓錐曲線的位置關系2.弦長問題3.中點弦問題直觀想象邏輯推理數學運算強基礎增分策略知識梳理1.直線與圓錐曲線的位置關系的判定(1)代數法:把圓錐曲線方程C與直線方程l聯立消去y,整理得到關于x的方程ax2+bx+c=0.方程ax2+bx+c=0的解

l與C的交點個數a=0b=0無解

b≠0有一解

a≠0Δ>0兩個不相等的解

Δ=0兩個相等的解

Δ<0無解

曲線C為雙曲線,直線l為其漸近線

對雙曲線來說,直線l可能平行于漸近線;對拋物線來說,直線l可能與拋物線的對稱軸平行或重合

01210(2)幾何法:在同一平面直角坐標系中畫出圓錐曲線和直線,利用圖象和性質可判定直線與圓錐曲線的位置關系.微點撥1.判定直線與圓錐曲線的位置關系,一般用代數法.2.對于過定點的直線,也可以通過定點在橢圓內部或橢圓上判定直線和橢圓有無交點.2.直線與圓錐曲線的相交弦長問題設斜率為k(k≠0)的直線l與圓錐曲線C相交于A,B兩點,A(x1,y1),B(x2,y2),則微點撥1.解決直線與圓錐曲線的位置關系問題的規律:“聯立方程求交點,根與系數的關系求弦長,根的分布找范圍,曲線定義不能忘”.2.當直線過拋物線的焦點時,可利用焦點弦長公式求弦長.提示

因為點A(x1,y1),B(x2,y2)在橢圓上,微思考直線與橢圓

=1(a>b>0)相交,交點為A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB的中點為M(x0,y0),請你推出直線AB的斜率的表達式.常用結論

對點演練1.判斷下列結論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)“直線l與橢圓C相切”的充要條件是“直線l與橢圓C只有一個公共點”.(

)(2)“直線l與雙曲線C相切”的充要條件是“直線l與雙曲線C只有一個公共點”.(

)(3)“直線l與拋物線C相切”的充要條件是“直線l與拋物線C只有一個公共點”.(

)(4)若拋物線C上存在關于直線l對稱的兩點,則需滿足直線l與拋物線C的方程聯立消元后得到的一元二次方程的判別式Δ>0.(

)√×××2.若直線y=x+2與橢圓

=1有兩個交點,則m的取值范圍是(

)A.(1,+∞) B.(1,3)∪(3,+∞)C.(3,+∞) D.(0,3)∪(3,+∞)答案

B

3.直線y=kx-k+1與橢圓

=1的位置關系為

.

答案

相交

增素能精準突破考點一直線和圓錐曲線的位置關系典例突破例1.已知直線l:y=2x+m,橢圓C:

=1.試問當m取何值時,直線l與橢圓C符合下列各條件.(1)有兩個公共點;(2)有且只有一個公共點;(3)沒有公共點.解

將直線l的方程與橢圓C的方程聯立,得方程組

名師點析直線與圓錐曲線的位置關系的判斷方法

對點訓練1(1)若直線y=kx+2與雙曲線x2-y2=6的右支交于不同的兩點,則實數k的取值范圍是(

)(2)過拋物線x2=4y上一點(4,4)的拋物線的切線方程為

.

答案

(1)D

(2)y=2x-4

考點二弦長問題典例突破例2.已知拋物線C:y2=3x的焦點為F,斜率為

的直線l與拋物線C的交點為點A,點B,與x軸的交點為點P.(1)若|AF|+|BF|=4,求直線l的方程;突破技巧求直線與圓錐曲線相交時的弦長問題的三種常用方法

答案

13解析

設橢圓的焦距為2c,F1,F2分別為左、右焦點.∴直線DE為線段AF2的垂直平分線,連接EF2,DF2,則四邊形ADF2E為軸對稱圖形,∴△ADE周長=|DE|+|AE|+|AD|=|DE|+|EF2|+|DF2|=4a=8c=13.考點三中點弦問題(多考向探究)考向1.由中點弦確定直線方程或曲線方程

典例突破

方法總結用“點差法”解決有關中點弦問題的一般步驟

對點訓練3(2022山東勝利一中高三檢測)已知A(-2,0),B(2,0),直線AM,BM相交于點M,且它們的斜率之積是3.(1)求點M的軌跡C的方程;(2)過點N(2,3)能否作一條直線m與軌跡C交于兩點P,Q,且點N是線段PQ的中點?若能,求出直線m的方程;若不能,說明理由.考向2.對稱問題典例突破例4.已知