2024屆陽泉市重點中學數學高二上期末學業質量監測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在正方體的12條棱中任選3條，其中任意2條所在的直線都是異面直線的概率為（）A. B.C. D.2．設某大學的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關關系，根據一組樣本數據（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71，則下列結論中不正確的是A.y與x具有正的線性相關關系B.回歸直線過樣本點中心（，）C.若該大學某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD.若該大學某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg3．已知中，內角所對的邊分別，若，，，則（）A. B.C. D.4．已知空間三點，，在一條直線上，則實數的值是（）A.2 B.4C.-4 D.-25．德國數學家米勒曾提出最大視角問題，這一問題一般的描述是：已知點A、B是的ON邊上的兩個定點，C是OM邊上的一個動點，當C在何處時，最大？問題的答案是：當且僅當的外接圓與邊OM相切于點C時，最大．人們稱這一命題為米勒定理．已知點P、Q的坐標分別是（2，0），（4，0），R是y軸正半軸上的一動點，當最大時，點R的縱坐標為（）A.1 B.C. D.26．某軟件研發公司對某軟件進行升級，主要是對軟件程序中的某序列重新編輯，編輯新序列為，它的第項為，若序列的所有項都是1，且，.記數列的前項和、前項積分別為，，若，則的最小值為（）A.2 B.3C.4 D.57．知點分別為圓上的動.點，為軸上一點，則的最小值（）A. B.C. D.8．已知為等差數列，為公差，若成等比數列，且，則數列的前項和為（）A. B.C. D.9．【山東省濰坊市二模】已知雙曲線的離心率為，其左焦點為，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.10．若展開式的二項式系數之和為，則展開式的常數項為（）A. B.C. D.11．若正整數N除以正整數m后的余數為n，則記為，如.如圖所示的程序框圖的算法源于我國古代聞名中外的“中國剩余定理”.執行該程序框圖，則輸出的i等于（）A.7 B.10C.13 D.1612．已知數列滿足，若.則的值是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．隨機變量X的取值為0，1，2，若，，則_________14．記為等差數列的前n項和.若，則_________.15．已知點，點是直線上的動點，則的最小值是_____________16．設為三角形的一個內角，已知曲線：，則可能是___________.（寫出不同曲線的名稱，盡可能多.注：在一些問題情景中，直線可以理解成是特殊的曲線）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，橢圓的離心率為，且點在橢圓C上（1）求橢圓C的標準方程；（2）過點的直線與橢圓C交于A，B兩點，試探究直線上是否存在定點Q，使得為定值．若存在，求出定點Q的坐標及實數的值；若不存在，請說明理由18．（12分）已知數列滿足.（1）求數列的通項公式；（2）設，數列的前項和為，證明：當時，.19．（12分）如圖，AC是圓O的直徑，B是圓O上異于A，C的一點，平面ABC，點E在棱PB上，且，，.（1）求證：；（2）當三棱錐的體積最大時，求二面角的余弦值.20．（12分）已知橢圓過點，且離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過作斜率分別為的兩條直線，分別交橢圓于點，且，證明：直線過定點.21．（12分）已知銳角的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求A；（2）若，求外接圓面積的最小值.22．（10分）在中，a，b，c分別是內角A，B，C的對邊，滿足.（1）求A；（2）若，求面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據正方體的性質確定3條棱兩兩互為異面直線的情況數，結合組合數及古典概率的求法，求任選3條其中任意2條所在的直線是異面直線的概率.【詳解】如下圖，正方體中如：中任意2條所在的直線都是異面直線，∴這樣的3條直線共有8種情況，∴任選3條，其中任意2條所在的直線都是異面直線的概率為.故選：B.2、D【解析】根據y與x的線性回歸方程為y=0.85x﹣85.71，則=0.85＞0，y與x具有正的線性相關關系，A正確；回歸直線過樣本點的中心（），B正確；該大學某女生身高增加1cm，預測其體重約增加0.85kg，C正確；該大學某女生身高為170cm，預測其體重約為0.85×170﹣85.71=58.79kg，D錯誤故選D3、B【解析】利用正弦定理可直接求得結果.【詳解】在中，由正弦定理得：.故選：B.4、C【解析】根據三點在一條直線上，利用向量共線原理，解出實數的值.【詳解】解：因為空間三點，，在一條直線上，所以,故.所以.故選：C.【點睛】本題主要考查向量共線原理，屬于基礎題.5、C【解析】由題意，借助米勒定理，可設出坐標，表示出的外接圓方程，然后在求解點R的縱坐標.【詳解】因為點P、Q的坐標分別是（2，0），（4，0）是x軸正半軸上的兩個定點，點R是y軸正半軸上的一動點，根據米勒定理，當的外接圓與y軸相切時，最大，由垂徑定理可知，弦的垂直平分線必經過的外接圓圓心，所以弦的中點為（3，0），故弦中點的橫坐標即為的外接圓半徑，即，由垂徑定理可得，圓心坐標為，故的外接圓的方程為，所以點R的縱坐標為.故選：C.6、C【解析】先利用序列的所有項都是1，得到，整理后得到是等比數列，進而求出公比和首項，從而求出和，利用，列出不等式，求出，從而得到的最小值【詳解】因為，，所以，又序列的所有項都是1，所以它的第項，所以，所以數列是等比數列，又，，所以公比，.所以，，，要，即，即，所以，所以，，所以最小值為4.故選：C.7、B【解析】求出圓關于軸的對稱圓的圓心坐標，以及半徑，然后求解圓與圓的圓心距減去兩個圓的半徑和，即可求出的最小值.【詳解】圓關于軸的對稱圓的圓心坐標，半徑為1，圓的圓心坐標為，半徑為1，∴若與關于x軸對稱，則，即，當三點不共線時，當三點共線時，所以同理(當且僅當時取得等號)所以當三點共線時，當三點不共線時，所以∴的最小值為圓與圓的圓心距減去兩個圓的半徑和，∴.故選：B.8、C【解析】先利用已知條件得到，解出公差，得到通項公式，再代入數列，利用裂項相消法求和即可.【詳解】因為成等比數列，，故，即，故，解得或（舍去），故，即，故的前項和為：.故選：C.【點睛】方法點睛：數列求和的方法：（1）倒序相加法：如果一個數列的前項中首末兩端等距離的兩項的和相等或等于同一個常數，那么求這個數列的前項和即可以用倒序相加法（2）錯位相減法：如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，那么這個數列的前項和即可以用錯位相減法來求；（3）裂項相消法：把數列的通項拆成兩項之差，在求和時，中間的一些像可相互抵消，從而求得其和；（4）分組轉化法：一個數列的通項公式是由若干個等差數列或等比數列:或可求和的數列組成，則求和時可用分組轉換法分別求和再相加減；（5）并項求和法：一個數列的前項和可以兩兩結合求解，則稱之為并項求和，形如類型，可采用兩項合并求解.9、D【解析】分析：根據題設條件，列出方程，求出，，的值，即可求得雙曲線得標準方程詳解：∵雙曲線的離心率為，其左焦點為∴，∴∵∴∴雙曲線的標準方程為故選D.點睛：本題考查雙曲線的標準方程，雙曲線的簡單性質的應用，根據題設條件求出，，的值是解決本題的關鍵.10、C【解析】利用二項式系數的性質求得的值，再利用二項式展開式的通項公式，求得結果即可.【詳解】解：因為展開式的二項式系數之和為，則，所以，令，求得，所以展開式的常數項為.故選：C.11、C【解析】根據“中國剩余定理”，進而依次執行循環體，最后求得答案.【詳解】由題意，第一步：，余數不為1；第二步：，余數不為1；第三步：，余數為1，執行第二個判斷框，余數不為2；第四步：，執行第一個判斷框，余數為1，執行第二個判斷框，余數為2.輸出的i值為13.故選：C.12、D【解析】由，轉化為，再由求解.【詳解】因為數列滿足，所以，即，因為，所以，所以，故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##0.4【解析】設出概率，利用期望求出相應的概率，進而利用求方差公式進行求解.【詳解】設，則，從而，解得：，所以故答案為：14、5【解析】根據等差數列前項和的公式及等差數列的性質即可得出答案.【詳解】解：，所以.故答案為：5.15、【解析】直接根據點到直線的距離公式即可求出【詳解】線段最短時，與直線垂直，所以，的最小值即為點到直線的距離，則.故答案為：.16、焦點在軸上的橢圓，焦點在軸上的雙曲線，兩條直線.【解析】討論，和三種情況，進而根據曲線方程的特征得到答案.【詳解】若，則曲線：，而，曲線表示焦點在y軸上的橢圓；若，則曲線：或，曲線表示兩條直線；若，則曲線：，而，曲線表示焦點在x軸上的雙曲線.故答案為：焦點在y軸上橢圓，焦點在x軸上的雙曲線，兩條直線.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）存在，定點的坐標為，實數的值為【解析】（1）由題意可得，再結合，可求出，從而可求得橢圓方程，（2）設在直線上存在定點，當直線斜率存在時，設過點P的動直線l為，設，，將直線方程代入橢圓方程消去，利用根與系數，再計算為常數可求出，從而可求得，當直線斜率不存在時，可求出兩點的坐標，從而可求得的值【小問1詳解】由題意知結合，可得，所以橢圓C的標準方程為，【小問2詳解】設在直線上存在定點，使為定值，①當直線斜率存在時，設過點P的動直線l為，設，·由得，則，，所以為常數則，解之得，即定點為，則②當直線斜率不存在時，即動直線方程為，不妨設，，此時也成立所以，存在定點使為定值，即18、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）利用前n項和與的關系即求；（2）由題知，然后利用裂項相消法即證.【小問1詳解】由，可得，兩式相減可得，當時，，滿足，所以.【小問2詳解】∵，因為，所以當時，.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由圓的性質可得，再由線面垂直的性質可得，從而由線面垂直的判定定理可得平面PAB，所以得，再結合已知條件可得平面PBC，由線面垂直的性質可得結論；（2）由已知條件結合基本不等式可得當三棱錐的體積最大時，是等腰直角三角形，，從而以OB，OC所在直線分別為x軸，y軸，以過點O且垂直于圓O平面的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，利用空間向量求解.【小問1詳解】證明：因為AC是圓O的直徑，點B是圓O上不與A，C重合的一個動點，所以.因為平面ABC，平面ABC，所以.因為，且AB，平面PAB，所以平面PAB.因為平面PAB，所以.因為，，且BC，平面PBC，所以平面PBC.因為平面PBC，所以.【小問2詳解】解：因為，，所以，所以三棱錐的體積，（當且僅當“”時等號成立）.所以當三棱錐的體積最大時，是等腰直角三角形，.所以以OB，OC所在直線分別為x軸，y軸，以過點O且垂直于圓O平面的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，.因為∽，所以，因為，，所以，所以，.設向量為平面的一個法向量，則即令得，.向量為平面ABC的一個法向量，.因為二面角是銳角，所以二面角的余弦值為.20、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由離心率、過點和橢圓關系可構造方程求得，由此可得橢圓方程；（2）當直線斜率不存在時，表示出兩點坐標，由兩點連線斜率公式表示出，整理可得直線為；當直線斜率存在時，設，與橢圓方程聯立可得韋達定理的形式，代入中整理可得，由此可得直線所過定點；綜合兩種情況可得直線過定點.【詳解】（1）橢圓過點，即，；，又，，橢圓的方程為：.（2）當直線斜率不存在時，設直線方程為，則，則，，解得：，直線方程為；當直線斜率存在時，設直線方程為，聯立方程組得：，設，則，（*），則，將*式代入化簡可得：，即，整理得：，代入直線方程得：，即，聯立方程組，解得：，，直線恒過定點；綜上所述：直線恒過定點.【點睛】思路點睛：本題考查直線與橢圓綜合應用中的直線過定點問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：①假設直線方程，與橢圓方程聯立，整理為關于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達定理的形式；③利用韋達定理表示出已知中的等量關系，代入韋達定理可整理得到變量間的關系，從而化簡直線方程；④根據直線過定點的求解方法可求得結果.21、（