2024屆上海市長寧區(qū)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在中，內(nèi)角的對邊分別為，若，則角為A. B.C. D.2．下列函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算正確的個(gè)數(shù)為（）①；②；③；④.A.1 B.2C.3 D.43．在等比數(shù)列中，，公比，則（）A. B.6C. D.24．直線的傾斜角為（）A. B.C. D.5．設(shè)集合，集合，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6．據(jù)有關(guān)文獻(xiàn)記載：我國古代一座層塔共掛了盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)比上一層燈數(shù)都多為常數(shù)盞，底層的燈數(shù)是頂層的倍，則塔的底層共有燈（）A.盞 B.盞C.盞 D.盞7．在四面體OABC中，點(diǎn)M在線段OA上，且，N為BC中點(diǎn)，已知，，，則等于（）A. B.C. D.8．直線恒過定點(diǎn)（）A. B.C. D.9．已知兩個(gè)向量，，且，則的值為（）A.-2 B.2C.10 D.-1010．函數(shù)在上的最大值是A. B.C. D.11．函數(shù)y＝ln（1﹣x）的圖象大致為（）A. B.C D.12．已知點(diǎn)，，直線：與線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.或 B.或C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知圓柱軸截面是邊長為4的正方形，則圓柱的側(cè)面積為______________

.14．若，是雙曲線與橢圓的共同焦點(diǎn)，點(diǎn)P是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且為等腰三角形，則該雙曲線的漸近線為______15．設(shè)雙曲線(0<a<b)的半焦距為c，直線l過(a,0)，(0，b)兩點(diǎn)，且原點(diǎn)到直線l的距離為c，求雙曲線的離心率16．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若點(diǎn)在直線上，則______；______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知點(diǎn)，圓C：，l：.（1）若直線過點(diǎn)M，且被圓C截得的弦長為，求該直線的方程；（2）設(shè)P為已知直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P向圓C作一條切線，切點(diǎn)為Q，求的最小值.18．（12分）已知圓C：x2+y2+2ax﹣3＝0，且圓C上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線3x﹣2y﹣3＝0對稱.（1）求圓C的半徑r；（2）若直線l過點(diǎn)A（2，），且與圓C交于MN，兩點(diǎn)，|MN|＝2，求直線l的方程.19．（12分）已知數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的最小值及此時(shí)的值.20．（12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：對一切正整數(shù)，有.21．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.22．（10分）已知數(shù)列滿足，（1）設(shè)，求證數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，是否存在正整數(shù)m，使得對任意的都成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，試說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】因?yàn)椋敲唇Y(jié)合，所以cosA==，所以A=，故答案為A考點(diǎn)：正弦定理與余弦定理點(diǎn)評：本題主要考查正弦定理與余弦定理的基本應(yīng)用，屬于中等題.2、A【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和導(dǎo)數(shù)的基本公式計(jì)算后即可判斷【詳解】解：①，故錯(cuò)誤；②，故正確；③，故錯(cuò)誤；④，故錯(cuò)誤.所以求導(dǎo)運(yùn)算正確的個(gè)數(shù)為1.故選：A.3、D【解析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解【詳解】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得：.故選：D4、D【解析】由直線斜率概念可寫出傾斜角的正切值，進(jìn)而可求出傾斜角.【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為，所以傾斜角.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的傾斜角，由斜率的概念，即可求出結(jié)果.5、A【解析】解不等式求集合，然后判斷兩個(gè)集合的關(guān)系【詳解】，解得，故，可化為或，解得或，故，故“”是“”的充分不必要條件故選：A6、C【解析】根據(jù)給定條件利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式列式計(jì)算即可作答.【詳解】依題意，層塔從上層到下層掛燈盞數(shù)依次排成一列可得等差數(shù)列，，于是得，解得，，所以塔的底層共有燈盞.故選：C7、B【解析】根據(jù)空間向量基本定理結(jié)合已知條件求解【詳解】因?yàn)镹為BC中點(diǎn)，所以,因?yàn)镸在線段OA上，且，所以，所以，故選：B8、A【解析】將直線方程變形得，再根據(jù)方程即可得答案.【詳解】解：由得到：，∴直線恒過定點(diǎn)故選：A9、C【解析】根據(jù)向量共線可得滿足的關(guān)系，從而可求它們的值，據(jù)此可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋蚀嬖诔?shù)，使得，所以，故，所以，故選：C.10、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出的最大值即可【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)令可得，可得上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，函數(shù)在上的最大值是故選D【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，是一道中檔題11、C【解析】根據(jù)函數(shù)的定義域和特殊點(diǎn)，判斷出正確選項(xiàng).【詳解】由，解得，也即函數(shù)的定義域?yàn)椋纱伺懦鼳,B選項(xiàng).當(dāng)時(shí)，，由此排除D選項(xiàng).所以正確的為C選項(xiàng).故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)圖像識(shí)別，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】由可求出直線過定點(diǎn)，作出圖象，求出和，數(shù)形結(jié)合可得或，即可求解.【詳解】由可得：，由可得，所以直線：過定點(diǎn)，由可得，作出圖象如圖所示：，，若直線與線段相交，則或，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是或，故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由圓柱軸截面的性質(zhì)知：圓柱體的高為，底面半徑為，根據(jù)圓柱體的側(cè)面積公式，即可求其側(cè)面積.【詳解】由圓柱的軸截面是邊長為4的正方形，∴圓柱體的高為，底面半徑為，∴圓柱的側(cè)面積為.故答案為：.14、【解析】根據(jù)給定條件求出兩曲線的共同焦點(diǎn)，再由橢圓、雙曲線定義求出a，b即可計(jì)算作答.【詳解】橢圓的焦點(diǎn)，由橢圓、雙曲線的對稱性不妨令點(diǎn)P在第一象限，因?yàn)榈妊切危蓹E圓的定義知：，則，，由雙曲線定義知：，即，，，所以雙曲線的漸近線為：.故答案為：【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：雙曲線(a>0,b>0)漸近線方程為，而雙曲線(a>0,b>0)的漸近線方程為(即)，應(yīng)注意其區(qū)別與聯(lián)系.15、e＝2.【解析】先求出直線的方程，利用原點(diǎn)到直線的距離為，，求出的值，進(jìn)而根據(jù)求出離心率【詳解】由l過兩點(diǎn)(a,0)，(0，b)，得l的方程為bx＋ay－ab＝0.由原點(diǎn)到l的距離為c，得＝c.將b＝代入平方后整理，得162－16·＋3＝0.解關(guān)于的一元二次方程得＝或.∵e＝，∴e＝或e＝2.又0<a<b，故e＝＝＝>.∴應(yīng)舍去e＝.故所求離心率e＝2.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線性質(zhì)，考查求雙曲線的離心率常用的方法即構(gòu)造出關(guān)于的等式，屬于中檔題16、①.；②.【解析】根據(jù)等差數(shù)列的定義，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式、裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，所以數(shù)列是以，公差為的等差數(shù)列，所以；因?yàn)椋裕谑牵蚀鸢笧椋海蝗⒔獯痤}：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或（2）【解析】（1）求出圓的圓心到直線的距離，再利用垂徑定理計(jì)算列方程計(jì)算；（2）由題意可知當(dāng)最小時(shí)，連線與已知直線垂直，求出，再利用計(jì)算即可.【小問1詳解】由題意可知圓的圓心到直線的距離為①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，圓的圓心到直線距離為1，滿足題意；②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)過的直線方程為：，即由點(diǎn)到直線距離公式列方程得：解得綜上，過的直線方程為或.【小問2詳解】由題意可知當(dāng)最小時(shí)，連線與已知直線垂直，由勾股定理知：，所以的最小值為.18、（1）r＝2（2）x﹣2＝0或x+﹣3＝0【解析】（1）由已知根據(jù)對稱性可知直線m過圓心C.代入后可求a，進(jìn)而可求半徑；（2）先求出圓心到直線l的距離，然后結(jié)合直線與圓相交的弦長公式可求.【小問1詳解】解：圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為.因?yàn)閳AC關(guān)于直線m對稱，所以直線m過圓心C.將代入，解得.此時(shí)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，半徑r＝2.【小問2詳解】解：設(shè)圓心到直線距離為d，則d＝＝＝1，①當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線方程l為x＝2，符合條件.②當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l方程為y﹣＝k（x﹣2），即x﹣y﹣2k+＝0，所以圓心C到直線l的距離d＝＝1，解得，k＝﹣，直線l的方程為x+﹣3＝0，綜上所述，直線l的方程為x﹣2＝0或x+﹣3＝0.19、（1）（2）；或【解析】（1）由題意得到數(shù)列為公差為的等差數(shù)列，結(jié)合，，成等比數(shù)列，列出方程求得，即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由，得到時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【小問1詳解】解：由題意，數(shù)列滿足，所以數(shù)列為公差為的等差數(shù)列，又由，，成等比數(shù)列，可得，即，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.【小問2詳解】解：由數(shù)列的通項(xiàng)公式，令，即，解得，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)或時(shí)，取得最小值，最小值為.20、（1），；（2）證明見解析.【解析】（1）利用關(guān)系可得，根據(jù)等比數(shù)列的定義易知為等比數(shù)列，進(jìn)而寫出的通項(xiàng)公式；（2）由，將不等式左側(cè)放縮，即可證結(jié)論.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，，兩式相減得：，整理可得：，而，所以是首項(xiàng)為2，公比為1的等比數(shù)列，故，即，.【小問2詳解】，..21、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)與的關(guān)系，分和兩種情況，求出，再判斷是否合并；（2）利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和.【小問1詳解】，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，也滿足上式，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.【小問2詳解】由（1）可得，①②①②得，22、（1）；（2）存在