2024屆四川省宜賓市敘州一中高二上數學期末預測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，在平行六面體中，底面是邊長為的正方形，若，且，則的長為（）A. B.C. D.2．入冬以來，梁老師準備了4個不同的烤火爐，全部分發給樓的三個辦公室（每層樓各有一個辦公室）.1，2樓的老師反映辦公室有點冷，所以1，2樓的每個辦公室至少需要1個烤火隊，3樓老師表示不要也可以.則梁老師共有多少種分發烤火爐的方法（）A.108 B.36C.50 D.863．雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.4．已知拋物線：，焦點為，若過的直線交拋物線于、兩點，、到拋物線準線的距離分別為3、7，則長為A.3 B.4C.7 D.105．已知拋物線C：，則過拋物線C的焦點，弦長為整數且不超過2022的直線的條數是（）A.4037 B.4044C.2019 D.20226．已知，，，則點C到直線AB的距離為（）A.3 B.C. D.7．在等比數列中，，公比，則（）A. B.6C. D.28．命題“，”的否定是A.， B.，C.， D.，9．已知橢圓的左頂點為，上頂點為，右焦點為，若，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.10．如圖所示，用3種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C中，要求相鄰的矩形不能使用同一種顏色，則不同的涂法有（）ABCA.3種 B.6種C.12種 D.27種11．已知直線，橢圓．若直線l與橢圓C交于A，B兩點，則線段AB的中點的坐標為（）A. B.C. D.12．空間直角坐標系中，已知則點關于平面的對稱點的坐標為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．由曲線圍成的圖形的面積為________14．如圖，已知，分別是橢圓的左、右焦點，現以為圓心作一個圓恰好經過橢圓的中心并且交橢圓于點，．若過點的直線是圓的切線，則橢圓的離心率為_________15．已知函數，若存在唯一零點，則的取值范圍是__________.16．若p：存在，使是真命題，則實數a的取值范圍是______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在等差數列中，，前10項和（1）求列的通項公式；（2）若數列是首項為1，公比為2的等比數列，求的前8項和18．（12分）如圖，在正四棱柱中，，，點在棱上，且平面（1）求的值；（2）若，求二面角的余弦值19．（12分）p：函數在區間是遞增的；q：方程有實數解.（1）若p為真命題，求m的取值范圍；（2）若“”為真，“”為假，求m的取值范圍.20．（12分）如圖，已知圓C與y軸相切于點，且被x軸正半軸分成的兩段圓弧長之比為1∶2（1）求圓C的方程；（2）已知點，是否存在弦被點P平分？若存在，求直線的方程；若不存在，請說明理由21．（12分）已知函數（1）討論函數的單調性;（2）若，證明:22．（10分）已知直線過點，且被兩條平行直線，截得的線段長為.（1）求的最小值；（2）當直線與軸平行時，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由向量線性運算得，利用數量積的定義和運算律可求得，由此可求得.【詳解】由題意得：，，且，又，，，，.故選：D.2、C【解析】運用分類計數原理，結合組合數定義進行求解即可.【詳解】當3樓不要烤火爐時，不同的分發烤火爐的方法為：；當3樓需要1個烤火爐時，不同的分發烤火爐的方法為：；當3樓需要2個烤火爐時，不同的分發烤火爐的方法為：，所以分發烤火爐的方法總數為：，故選：C【點睛】關鍵點睛：運用分類計數原理是解題的關鍵.3、A【解析】直接求出，，進而求出漸近線方程.【詳解】中，，，所以漸近線方程為，故.故選：A4、D【解析】利用拋物線的定義，把的長轉化為點到準線的距離的和得解【詳解】解：拋物線：，焦點為，過的直線交拋物線于、兩點，、到拋物線準線的距離分別為3、7，則故選D【點睛】本題考查拋物線定義的應用，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.5、A【解析】根據已知條件，結合拋物線的性質，先求出過焦點的最短弦長，再結合拋物線的對稱性，即可求解【詳解】∵拋物線C：，即，由拋物線的性質可得，過拋物線焦點中，長度最短的為垂直于y軸的那條弦，則過拋物線C的焦點，長度最短的弦的長為，由拋物線的對稱性可得，弦長在5到2022之間的有共有條，故弦長為整數且不超過2022的直線的條數是故選：A6、D【解析】應用空間向量的坐標運算求在上投影長及的模長，再應用勾股定理求點C到直線AB的距離.【詳解】因為，，所以設點C到直線AB的距離為d，則故選：D7、D【解析】利用等比數列的通項公式求解【詳解】由等比數列的通項公式得：.故選：D8、C【解析】特稱命題的否定是全稱命題，改量詞，且否定結論，故命題的否定是“”.本題選擇C選項.9、B【解析】根據題意得到，根據，化簡得到，進而得到離心率的不等式，即可求解.【詳解】由題意，橢圓的左頂點為，上頂點為，所以，，因為，可得，即，又由，可得，可得，解得，又因為橢圓的離心率，所以，即橢圓的離心率為.故選：B.【點睛】求解橢圓或雙曲線離心率的三種方法：1、定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據離心率的定義求解離心率；2、齊次式法：由已知條件得出關于的二元齊次方程，然后轉化為關于的一元二次方程求解；3、特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.10、C【解析】根據給定信息，按用色多少分成兩類，再分類計算作答.【詳解】計算不同的涂色方法數有兩類辦法：用3種顏色，每個矩形涂一種顏色，有種方法，用2色，矩形A，C涂同色，有種方法，由分類加法計數原理得(種)，所以不同的涂法有12種.故選：C11、B【解析】聯立直線方程與橢圓方程，消y得到關于x的一元二次方程，根據韋達定理可得，進而得出中點的橫坐標，代入直線方程求出中點的縱坐標即可.【詳解】由題意知，，消去y，得，則，，所以A、B兩點中點的橫坐標為：，所以中點的縱坐標為：，即線段AB的中點的坐標為.故選：B12、D【解析】根據空間直角坐標系的對稱性可得答案.【詳解】根據空間直角坐標系的對稱性可得關于平面的對稱點的坐標為，故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】曲線圍成的圖形關于軸，軸對稱，故只需要求出第一象限的面積即可.【詳解】將或代入方程，方程不發生改變，故曲線關于關于軸，軸對稱，因此只需求出第一象限的面積即可.當，時，曲線可化為：，在第一象限為弓形，其面積為，故.故答案為：.14、##【解析】根據給定條件探求出橢圓長軸長與其焦距的關系即可計算作答.【詳解】設橢圓長軸長為，焦距為，即，依題意，，而直線是圓的切線，即，則有，又點在橢圓上，即，因此，，從而有，所以橢圓的離心率為.故答案為：15、【解析】求得函數的導數，得到是的唯一零點，轉化為方程無實數根或只存在實數根，進而轉化為和的圖象至多有一個交點（且如果有交點，交點必須在處），利用導數求得函數的單調性和最小值，即可求解.【詳解】由題意，函數，可得，因為存在唯一零點，所以是的唯一零點，則關于的方程無實數根或只存在實數根，所以函數和的圖象至多有一個交點（且如果有交點，交點必須在處），又由，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以，所以，即即的取值范圍是.故答案為：.16、【解析】將問題分離參數得到存在，使成立，可得結論.【詳解】存在，使，即存在，使，所以故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）347.【解析】（1）設等差數列的公差為，解方程組即得解；（2）先求出，再分組求和得解.【詳解】解：（1）設等差數列的公差為，則解得所以（2）由題意，，所以所以的前8項和為18、（1）答案見解析；（2）.【解析】如圖，以點為原點，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立空間直角坐標系，（1）設，由平面，可得，從而數量積為零，可求出的值，進而可求得的值；（2）利用空間向量求二面角的余弦值【詳解】解：（1）如圖，以點為原點，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立空間直角坐標系，設，則點，，，則，因為平面，所以，所以，解得或當時，，，；當時，，，（2）因為，由（1）知，平面的一個法向量為設平面的法向量為，因為，，所以令，則所以，由圖知，二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為19、（1）（2）或【解析】（1）依題意在區間上恒成立，參變分離可得在區間上恒成立，再利用基本不等式計算可得；（2）首先求出命題為真時參數的取值范圍，再根據“”為真，“”為假，即可得到真假，或假真，從而得到不等式組，解得即可；【小問1詳解】解：為真命題，即函數在區間上是遞增的∴在區間上恒成立，∴在區間上恒成立，∵，當且僅當時等號成立，∴的取值范圍為.【小問2詳解】解：為真命題，即方程有實數解∴即∴或∵“”為真，“”為假∴真假，或假真∴或，解得或，∴的取值范圍為或；20、（1）.（2）.【解析】（1）由已知得圓心C在直線上，設圓C與x軸的交點分別為E、F，則有，，圓心C的坐標為(2,1)，由此求得圓C的標準方程；（2）假設存在弦被點P平分，有，由此求得直線AB的斜率可得其方程再檢驗，直線AB與圓C是否相交即可.小問1詳解】解：因為圓C與y軸相切于點，所以圓心C在直線上，設圓C與x軸的交點分別為E、F，由圓C被x軸分成的兩段弧長之比為2∶1，得，所以，圓心C的坐標為(2,1)，所以圓C的方程為；【小問2詳解】解：因為點，有，所以點P在圓C的內部，假設存在弦被點P平分，則，又，所以，所以直線AB的方程為，即，檢驗，圓心C到直線AB的距離為，所以直線AB與圓C相交，所以存在弦被點P平分，此時直線的方程為.21、（1）當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增；（2）見詳解【解析】（1）對函數進行求導，然后根據參數進行分類討論；（2）構造函數，求函數的最小值即可證出.【詳解】（1）的定義域為，.當時，在上恒成立，所以在上單調遞增；當時，時，；時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增.綜上所述，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.（2）當時，.令，，則.，令，.恒成立，所以在上單調遞增.因為，，所以存在唯一的，使得，即.①當時，，即，所以在上單調遞減；當時，，即，所以在上單調遞增.所以，，②方法一：把①代入②得，.設，.則恒成立，所以在上單調遞減，所以.因為，所以，即，所以，所以時，.方法二：設，.則，所以在上單調遞增，所以，所以.因為，所以，所以，所以時，.【點睛】不等式證明問題是近年高考命題的熱點，利用導數證明不等式的方法主要有兩個：（1）