2024屆上海市晉元中學高二數學第一學期期末教學質量檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，在棱長為2的正方體中，點P在截面上（含邊界），則線段的最小值等于（）A. B.C. D.2．已知點，是橢圓：的左、右焦點，是的左頂點，點在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，且，則的離心率為（）A. B.C. D.3．已知直線l的方向向量，平面α的一個法向量為，則直線l與平面α的位置關系是（）A.平行 B.垂直C.在平面內 D.平行或在平面內4．已知橢圓方程為，點在橢圓上，右焦點為F，過原點的直線與橢圓交于A，B兩點，若，則橢圓的方程為（）A. B.C. D.5．將正整數1，2，3，4，…按如圖所示的方式排成三角形數組，則第19行從左往右數第5個數是（）A.381 B.361C.329 D.4006．已知點F為拋物線C：的焦點，點，若點Р為拋物線C上的動點，當取得最大值時，點P恰好在以F，為焦點的橢圓上，則該橢圓的離心率為（）A. B.C. D.7．從橢圓的一個焦點發出的光線，經過橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點；從雙曲線的一個焦點發出的光線，經過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點.如圖①，一個光學裝置由有公共焦點的橢圓與雙曲線構成，現一光線從左焦點發出，依次經與反射，又回到了點，歷時秒；若將裝置中的去掉，如圖②，此光線從點發出，經兩次反射后又回到了點，歷時秒；若，則的長軸長與的實軸長之比為（）A. B.C. D.8．設，若，則（）A. B.C. D.9．《周髀算經》中有這樣一個問題，從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節氣日影長依次成等差數列，若冬至、大寒、雨水的日影長的和為36.3尺，小寒、驚蟄、立夏的日影長的和為18.3尺，則冬至的日影長為（）A4尺 B.8.5尺C.16.1尺 D.18.1尺10．南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法》中有如下俯視圖所示的幾何體，后人稱之為“三角垛”.其最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，…，則第十層球的個數為（）A.45 B.55C.90 D.11011．若實數，滿足約束條件，則的最小值為（）A.-3 B.-2C. D.112．設.若，則＝（）A. B.C. D.e二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線的焦點，過F且斜率為1的直線與雙曲線有且只有一個交點，則雙曲線的方程為_________14．已知雙曲線的左、右焦點分別為，雙曲線左支上點滿足，則的面積為_________15．已知正方形的邊長為2，對部分以為軸進行翻折，翻折到，使二面角的平面角為直二面角，則___________.16．若函數解析式，則使得成立的的取值范圍是___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，拋物線的頂點在原點，圓的圓心恰是拋物線的焦點.（1）求拋物線的方程；（2）一條直線的斜率等于2，且過拋物線焦點，它依次截拋物線和圓于、、、四點，求的值.18．（12分）已知在數列中，，且.（1）求，，并證明數列是等比數列；（2）求的通項公式及前n項和.19．（12分）已知點，（1）若過點P作的切線只有一條，求實數的值及切線方程；（2）過點P作斜率為1的直線l與相交于M，N兩點，當面積最大時，求實數的值20．（12分）如圖，在四棱柱中，平面，底面ABCD滿足∥BC，且(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值.21．（12分）如圖1是，，，，分別是邊，上兩點，且，將沿折起使得，如圖2.（1）證明：圖2中，平面；（2）圖2中，求二面角的正切值.22．（10分）已知圓：，，為圓上的動點，若線段的垂直平分線交于點.（1）求動點的軌跡的方程；（2）已知為上一點，過作斜率互為相反數且不為0的兩條直線，分別交曲線于，，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據體積法求得到平面的距離即可得【詳解】由題意的最小值就是到平面的距離正方體棱長為2，則，，設到平面的距離為，由得，解得故選：B2、D【解析】設，先求出點，得，化簡即得解【詳解】由題意可知橢圓的焦點在軸上，如圖所示，設，則，∵為等腰三角形，且，∴.過作垂直軸于點，則，∴，，即點.∵點在過點且斜率為的直線上，∴，解得，∴.故選：D【點睛】方法點睛：求橢圓的離心率常用的方法有：（1）公式法（求出橢圓的代入離心率的公式即得解）；（2）方程法（通過已知找到關于離心率的方程解方程即得解）.3、D【解析】根據題意，結合線面位置關系的向量判斷方法，即可求解.【詳解】根據題意，因為，所以，所以直線l與平面α的位置關系是平行或在平面內故選：D4、A【解析】根據橢圓的性質可得，則橢圓方程可求.【詳解】由點在橢圓上得，由橢圓的對稱性可得，則，故橢圓方程為.故選：A.5、C【解析】觀察規律可知，從第一行起，每一行最后一個數是連續的完全平方數，據此容易得出答案.【詳解】由圖中數字排列規律可知：第1行從左往右最后1個數是，第2行從左往右最后1個數是，第3行從左往右最后1個數是，……第18行從左往右最后1個數為，第19行從左往右第5個數是故選：C.6、D【解析】過點P引拋物線準線的垂線，交準線于D，根據拋物線的定義可知，記，根據題意，當最小，即直線與拋物線相切時滿足題意，進而解出此時P的坐標，解得答案即可.【詳解】如圖，易知點在拋物線C的準線上，作PD垂直于準線，且與準線交于點D，記，則.由拋物線定義可知，.由圖可知，當取得最大值時，最小，此時直線與拋物線相切，設切線方程為，代入拋物線方程并化簡得：，，方程化為：，代入拋物線方程解得：，即，則，.于是，橢圓的長軸長，半焦距，所以橢圓的離心率.故選：D.7、D【解析】在圖①和圖②中，利用橢圓和雙曲線的定義，分別求得和的周長，再根據光速相同，且求解.【詳解】在圖①中，由橢圓的定義得：，由雙曲線的定義得，兩式相減得，所以的周長為，在圖②中，的周長為，因為光速相同，且，所以，即，所以，即的長軸長與的實軸長之比為，故選：D8、B【解析】先求出，再利用二倍角公式、和差角公式即可求解.【詳解】因為，且，所以.所以，，所以.故選：B9、C【解析】設等差數列，用基本量代換列方程組，即可求解.【詳解】由題意，從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節氣的日影長依次成等差數列，記為數列，公差為d，則有，即，解得：，即冬至的日影長為16.1尺.故選：C10、B【解析】根據題意，發現規律并將規律表達出來，第層有個球.【詳解】根據規律，可以得知：第一層有個球；第二層有個球；第三層有個球，則根據規律可知：第層有個球設第層的小球個數為，則有：故第十層球的個數為：故選：11、B【解析】先畫出可行域，由，作出直線向下平移過點A時，取得最小值，然后求出點A的坐標，代入目標函數中可求得答案【詳解】由題可得其可行域為如圖，l：，當經過點A時，取到最小值，由，得，即，所以的最小值為故選：B12、D【解析】由題可得，將代入解方程即可.【詳解】∵，∴,∴，解得.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據直線與雙曲線只有一個交點可知直線與雙曲線平行，由漸近線斜率可列出的齊次方程，利用齊次方程求解.【詳解】直線與雙曲線有且只有一個交點，且焦點，直線與雙曲線漸近線平行，，即，，即，.則雙曲線的方程為故答案為：14、3【解析】由雙曲線方程可得，利用雙曲線定義，以及直角三角形的勾股定理可得，由此求得答案.【詳解】由雙曲線的左、右焦點分別為，雙曲線左支上點滿足，可得:，則，且，故，所以，故，故答案為：315、-2【解析】根據，則，根據條件求得向量夾角即可求得結果.【詳解】由題知，，取的中點O，連接，如圖所示，則，又二面角的平面角為直二面角，則，又，則，為等邊三角形，從而，則，故答案為：-216、【解析】由題意先判斷函數為偶函數，再利用的導函數判斷在上單調遞增，根據偶函數的對稱性得上單調遞減.要使成立，即，解不等式即可得到答案.【詳解】，，為偶函數，當時，，故函數在上單調遞增.為偶函數，在上單調遞減.要使成立，即.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）圓的圓心坐標為，即拋物線的焦點為,……3分∴∴拋物線方程為……6分

由題意知直線AD的方程為…7分即代入得=0設，則，……11分∴【解析】（1）設拋物線方程為,由題意求出其焦點坐標，進而可求出結果；（2）先由題意得出直線的方程，聯立直線與拋物線方程，求出，再由為圓的直徑，即可求出結果.【詳解】（1）設拋物線方程為，圓的圓心恰是拋物線的焦點，∴.拋物線方程為：；（2）依題意直線的方程為設，，則，得，，.【點睛】本題主要考查拋物線的方程，以及直線與拋物線的位置關系；由拋物線的焦點坐標可直接求出拋物線的方程；聯立直線與拋物線方程，結合韋達定理和拋物線定義可求出弦長，進而可求出結果，屬于常考題型.18、（1），，證明見解析（2），【解析】（1）根據遞推關系求出，，對遞推公式變形，即可得證；（2）結合（1）求得通項公式，分組求和.【小問1詳解】因為，且所以，，∵，∴，∵，∴，且，∴數列是等比數列.【小問2詳解】由（1）可知是以為首項，以3為公比的等比數列，即，即；.19、（1）；當時，切線方程為；當時，切線方程為；（2）或【解析】(1)根據題意可知P在圓上，據此即可求t和切線方程；(2)的面積，則當面積最大時，．即，據此即可求出圓心O到直線l的距離，即可求出t的數值.【小問1詳解】由題意得點在上，∴，，①當時，切點，直線OP的斜率，切線斜率，切線方程為，即②當時，切點，直線OP的斜率，切線斜率，切線方程，即【小問2詳解】∵的面積，則當面積最大時，．即，則圓心O到直線l距離又直線，即，則，解之得或注：亦可設圓心O到直線l的距離為d，則的面積，當且僅當，即時取等號(下同)20、(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)證明，根據得到，得到證明.(Ⅱ)如圖所示，分別以為軸建立空間直角坐標系，平面的法向量，，計算向量夾角得到答案.【詳解】(Ⅰ)平面，平面，故.，，故，故.，故平面.(Ⅱ)如圖所示：分別以為軸建立空間直角坐標系，則，，，，.設平面的法向量，則，即，取得到，，設直線與平面所成角為故.【點睛】本題考查了線面垂直，線面夾角，意在考查學生的空間想象能力和計算能力.21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）、利用線面垂直的判定，及線面垂直的性質即可證明；（2）、建立空間直角坐標系，分別求出平面、平面的法向量，利用求出兩平面所成角的余弦值，進而求出求二面角的正切值.【小問1詳解】由已知得：,平面，又平面,在中，,由余弦定理得：，，即，平面.【小問2詳解】由（1）知：平面，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，設平面的法向量為，平面的法向量為，則與，即與,..,觀察可知二面角為鈍二面