北京市第四中學順義分校2023年高二上數學期末學業質量監測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．數列，則是這個數列的第（）A.項 B.項C.項 D.項2．已知等比數列滿足，，則（）A. B.C. D.3．已知向量，，若與共線，則實數值為（）A. B.C.1 D.24．已知空間向量，，若，則實數的值是（）A. B.0C.1 D.25．的展開式中，常數項為（）A. B.C. D.6．在二項式的展開式中，前三項的系數成等差數列，把展開式中所有的項重新排成一列，則有理項互不相鄰的概率（）A. B.C. D.7．曲線與曲線的（）A.實軸長相等 B.虛軸長相等C.焦距相等 D.漸進線相同8．若函數恰好有個不同的零點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.9．已知數列滿足，，記數列的前n項和為，若對于任意，不等式恒成立，則實數k的取值范圍為（）A. B.C. D.10．已知命題“”為真命題，“”為真命題，則（）A.為假命題，為真命題 B.為真命題，為真命題C.為真命題，為假命題 D.為假命題，為假命題11．用斜二測畫法畫出邊長為2的正方形的直觀圖，則直觀圖的面積為（）A. B.C.4 D.12．用3，4，5，6，7，9這6個數組成沒有重復數字的六位數，下列結論正確的有（）A.在這樣的六位數中，奇數共有480個B.在這樣的六位數中，3、5、7、9相鄰的共有120個C.在這樣的六位數中，4，6不相鄰的共有504個D.在這樣六位數中，4個奇數從左到右按照從小到大排序的共有60個二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．無窮數列滿足：只要必有則稱為“和諧遞進數列”.已知為“和諧遞進數列”，且前四項成等比數列，，則=_________.14．不等式的解集是________.15．如圖，橢圓的左、右焦點分別為，過橢圓上的點作軸的垂線，垂足為，若四邊形為菱形，則該橢圓的離心率為_________.16．已知的頂點A(1，5)，邊AB上的中線CM所在的直線方程為，邊AC上的高BH所在直線方程為，求（1）頂點C的坐標；（2）直線BC的方程；三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知平面直角坐標系上一動點滿足：到點的距離是到點的距離的2倍.（1）求點的軌跡方程；（2）若點與點關于直線對稱，求的最大值.18．（12分）已知動直線l：(m＋3)x－(m＋2)y＋m＝0與圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝9(1)求證：無論m為何值，直線l與圓C總相交(2)m為何值時，直線l被圓C所截得的弦長最小？請求出該最小值19．（12分）在等差數列中，，.（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前n項和.20．（12分）已知數列滿足，.（1）求數列的通項公式；（2）記，其中表示不超過最大整數，如，.（i）求、、；（ii）求數列的前項的和.21．（12分）已知圓.（1）求過點M（2，1）的圓的切線方程；（2）直線過點且被圓截得的弦長為2，求直線的方程；（3）已知圓的圓心在直線y=1上，與y軸相切，且與圓相外切，求圓的標準方程.22．（10分）已知的內角的對邊分別為a，，若向量，且（1）求角的值；（2）已知的外接圓半徑為，求周長的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據數列的規律，求出通項公式，進而求出是這個數列的第幾項【詳解】數列為，故通項公式為，是這個數列的第項.故選：A.2、D【解析】由已知條件求出公比的平方，然后利用即可求解.【詳解】解：設等比數列的公比為，因為等比數列滿足，，所以，所以，故選：D.3、D【解析】根據空間向量共線有，，結合向量的坐標即可求的值.【詳解】由題設，有，，則，可得.故選：D4、C【解析】根據空間向量垂直的性質進行求解即可.【詳解】因為，所以，因此有.故選：C5、A【解析】寫出展開式通項，令的指數為零，求出參數的值，代入通項計算即可得解.【詳解】的展開式通項為，令，可得，因此，展開式中常數項為.故選：A.6、A【解析】先根據前三項的系數成等差數列求，再根據古典概型概率公式求結果【詳解】因為前三項的系數為，，，當時，為有理項，從而概率為.故選：A.7、D【解析】將曲線化為標準方程后即可求解.【詳解】化為標準方程為，由于，則兩曲線實軸長、虛軸長、焦距均不相等，而漸近線方程同為.故選：8、D【解析】分析可知，直線與函數的圖象有個交點，利用導數分析函數的單調性與極值，數形結合可求得實數的取值范圍.【詳解】令，可得，構造函數，其中，由題意可知，直線與函數的圖象有個交點，，由，可得或，列表如下：增極大值減極小值增所以，，，作出直線與函數的圖象如下圖所示：由圖可知，當時，即當時，直線與函數的圖象有個交點，即函數有個零點.故選：D.9、C【解析】由已知得，根據等比數列的定義得數列是首項為，公比為的等比數列，由此求得，然后利用裂項求和法求得，進而求得的取值范圍.【詳解】解：依題意，當時，，則，所以數列是首項為，公比為的等比數列，，即，所以，所以，所以的取值范圍是.故選：C.10、A【解析】根據復合命題的真假表即可得出結果.【詳解】若“”為真命題，則為假命題，又“”為真命題，則至少有一個真命題，所以為真命題，即為假命題，為真命題.故選：A11、A【解析】畫出直觀圖，求出底和高，進而求出面積.【詳解】如圖，，，，過點C作CD⊥x軸于點D，則,所以直觀圖是底為2、高為的平行四邊形，所以面積為.故選：A.12、A【解析】A選項，特殊位置優先考慮求出這樣的六位數中，奇數個數；B選項，相鄰問題捆綁法求解；C選項，不相鄰問題插空法求解；D選項，定序問題使用倍縮法求解.【詳解】用3，4，5，6，7，9這6個數組成沒有重復數字的六位數，個位為3,5,7,9中的一位，有種，其余五個數位上的數字進行全排列，有種，綜上：在這樣的六位數中，奇數共有個，A正確；在這樣的六位數中，3、5、7、9相鄰，將3、5、7、9捆綁，有種排法，再與4,6進行全排列，故共有個，B錯誤；在這樣的六位數中，4，6不相鄰，先將3、5、7、9進行全排列，再從五個位置中任選兩個將4,6排列，綜上共有個，C錯誤；在這樣的六位數中，4個奇數從左到右按照從小到大排序的共有個，D錯誤.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、7578【解析】根據新定義得數列是周期數列，從而易求得【詳解】∵成等比數列，，∴，又，為“和諧遞進數列”，∴，，，，…，∴數列是周期數列，周期為4∴故答案為：757814、【解析】把原不等式的右邊移項到左邊，通分計算后，根據分式不等式解法，然后轉化為兩個一元一次不等式組，注意分母不為0的要求，求出不等式組的解集即為原不等式的解集【詳解】不等式得，故，故答案為：.15、【解析】根據題意可得，利用推出，進而得出結果.【詳解】由題意知，，將代入方程中，得，因為，所以，整理，得，又，所以，由，解得.故答案為：16、（1）；（2）.【解析】（1）設出點C的坐標，進而根據點C在中線上及求得答案；（2）設出點B的坐標，進而求出點M的坐標，然后根據中線的方程及求出點B的坐標，進而求出直線BC的方程.【小問1詳解】設C點的坐標為，則由題知，即.【小問2詳解】設B點的坐標為，則中點M坐標代入中線CM方程則由題知，即，又，則，所以直線BC方程為.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）直接法求動點的軌跡方程，設點，列方程即可.（2）點關于直線對稱的對稱點問題，可以先求出點到直線的距離最值的兩倍就是的距離，也可以求出點的軌跡方程直接求解的距離.【小問1詳解】設，由題意，得：，化簡得，所以點軌跡方程為【小問2詳解】方法一：設，因為點與點關于點對稱，則點坐標為，因為點在圓，即上運動，所以，所以點的軌跡方程為，所以兩圓的圓心分別為，半徑均為2，則.方法二：由可得：所以點的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓軌跡的圓心到直線的距離為：18、(1)詳見解析(2)m為－時，截得的弦長最小，最小值為2【解析】（1）將直線l變形，可知直線l過定點，證明定點在圓內部；（2）利用垂徑定理和弦長公式可得.【詳解】(1)證明：直線l變形為m(x－y＋1)＋(3x－2y)＝0令解得,如圖所示，故動直線l恒過定點A(2,3)而|AC|＝＝<3(半徑)∴點A在圓內，故無論m取何值，直線l與圓C總相交(2)解:由平面幾何知識知，弦心距越大，弦長越小，即當AC垂直直線l時，弦長最小，此時kl·kAC＝－1，即,∴m＝－最小值為故m為－時，直線l被圓C所截得的弦長最小，最小值為2【點睛】考查直線過定點、點與圓的位置關系以及弦長問題，解題的關鍵是直線系形式的轉化.19、（1）（2）【解析】（1）根據已知條件求得，由此求得數列的通項公式.（2）令，分和去掉絕對值，根據等差數列的求和公式求得.【小問1詳解】設等差數列的公差為，∵，，所以，所以，則.【小問2詳解】令，解得，當時，，，當時，.20、（1）；（2）（i），，；（ii）.【解析】（1）推導出數列為等差數列，確定該數列的首項和公差，即可求得數列的通項公式；（2）（i）利用對數函數的單調性結合題中定義可求得、、的值；（ii）分別解不等式、、，結合題中定義可求得數列的前項的和.【小問1詳解】解：因為，，則，可得，，可得，以此類推可知，對任意的，.由，變形為，是一個以為公差的等差數列，且首項為，所以，，因此，.【小問2詳解】解：（i），則，，則，故，，則，故；（ii），當時，即當時，，當時，即當時，，當時，即當時，，因此，數列的前項的和為.21、（1）y=1；（2）x+y-2=0；（3）.【解析】(1)將圓的一般方程化為圓的標準方程，結合圖形即可求出結果；(2)根據題意可知直線過圓心，利用直線的兩點式方程計算即可得出結果；(3)設圓E的圓心E（a，1），根據題意可得圓E的半徑為，結合圓與圓的位置關系和兩點距離公式計算求出，進而得出圓的標準方程.【小問1詳解】圓，即，其圓心為，半徑為1.因為點（2，1）在圓上，如圖，所以切線方程為y=1；【小問2詳解】由題意得，圓的直徑為2，所以直線過圓心，由直線的兩點式方程，得，即直線的方程為x+y-2=0；【小問3詳解】因為圓E的圓心在直線y=1上，設圓E的圓心E（a，1），由圓E與y軸相切，得