2023-2024學年安徽省六安市第二中學河西校區數學高二上期末聯考模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若直線與平行，則實數m等于（）A.0 B.1C.4 D.0或42．已知二次函數交軸于，兩點，交軸于點.若圓過，，三點，則圓的方程是（）A. B.C. D.3．直線的傾斜角的大小為（）A. B.C. D.4．在棱長為1的正方體中，為的中點，則點到直線的距離為（）A. B.1C. D.5．若函數有兩個零點，則實數a的取值范圍是（）A. B.C. D.6．設雙曲線的左、右頂點分別為、，點在雙曲線上第一象限內的點，若的三個內角分別為、、且，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.7．傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數學家用沙粒和小石子研究數，他們根據沙粒和石子所排列的形狀把數分成許多類，若：三角形數、、、、，正方形數、、、、等等.如圖所示為正五邊形數，將五邊形數按從小到大的順序排列成數列，則此數列的第4項為（）A. B.C. D.8．在的展開式中，的系數為（）A. B.5C. D.109．將一張坐標紙折疊一次，使點與重合，求折痕所在直線是（）A. B.C. D.10．雙曲線的左、右焦點分別為、，過點且斜率為的直線與雙曲線的左右兩支分別交于P、Q兩點，若，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C. D.11．已知點是橢圓上的任意一點，過點作圓：的切線，設其中一個切點為，則的取值范圍為（）A. B.C. D.12．若，則（）A.22 B.19C.－20 D.－19二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．我國古代，9是數字之極，代表尊貴之意，所以中國古代皇家建筑中包含許多與9相關的設計．例如，北京天壇圓丘的底面由扇環形的石板鋪成（如圖），最高一層是一塊天心石，圍繞它的第一圈有9塊石板，從第二圈開始，每一圈比前一圈多9塊，共有9圈，則前9圈的石板總數是__________14．命題“矩形的對角線相等”的否命題是________.15．已知長方體中，，，則點到平面的距離為______16．在平面直角坐標系中，已知雙曲線的左，右焦點分別為，，過且與圓相切的直線與雙曲線的一條漸近線相交于點（點在第一象限），若，則雙曲線的離心率___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為慶祝中國共產黨成立100周年，某校舉行了黨史知識競賽，在必答題環節，甲、乙兩位選手分別從3道選擇題（1）甲至少抽到1道填空題（2）甲答對的題數比乙多的概率.18．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，底面為矩形，，，為的中點，.請用空間向量知識解答下列問題：（1）求線段的長；（2）若為線段上一點，且，求平面與平面夾角的余弦值.19．（12分）在中，角、、所對的邊分別為、、，且（1）求證；、、成等差數列；（2）若，的面積為，求的周長20．（12分）已知拋物線：的焦點是圓與軸的一個交點.（1）求拋物線的方程;（2）若過點的直線與拋物線交于不同的兩點A、B，О為坐標原點，證明：.21．（12分）已知拋物線上一點到其焦點F的距離為2.（1）求拋物線方程；（2）直線與拋物線相交于兩點，求的長.22．（10分）已知函數（1）當時，求函數的極值；（2）當時，若恒成立，求實數a的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由兩條直線平行的充要條件即可求解.【詳解】解：因為直線與平行，所以，解得，故選：A.2、C【解析】由已知求得點A、B、C的坐標，則有AB的垂直平分線必過圓心，所以設圓的圓心為，由，可求得圓M的半徑和圓心，由此求得圓的方程.【詳解】解：由解得或，所以，又令，得，所以，因為圓過，，三點，所以AB的垂直平分線必過圓心，所以設圓的圓心為，所以，即，解得，所以圓心，半徑，所以圓的方程是，即，故選：C3、B【解析】由直線方程,可知直線的斜率，設直線的傾斜角為，則，又，所以，故選4、B【解析】建立空間直角坐標系，利用空間向量點到直線的距離公式進行求解即可【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，由已知，得，，，，，所以在上的投影為，所以點到直線的距離為故選：B5、C【解析】函數有兩個零點等價于方程有兩個根，等價于與圖象有兩個交點，通過導數分析的單調性，根據圖象即可求出求出的范圍.【詳解】函數有兩個零點，方程有兩個根，，分離參數得，與圖象有兩個交點，令，，令，解得當時，，在單調遞增，當時，，在單調遞減，且在處取得極大值及最大值，可以畫出函數的大致圖象如下：觀察圖象可以得出.故選：C.【點睛】本題主要考查函數零點的應用，構造函數求函數的導數，利用函數極值和導數之間的關系是解決本題的關鍵.6、B【解析】設點，其中，，求得，且有，，利用兩角和的正切公式可求得的值，進而可求得的值，即可得出該雙曲線的漸近線的方程.【詳解】易知點、，設點，其中，，且，，且，，，所以，，，因為，所以，，則，因此，該雙曲線漸近線方程為.故選：B.7、D【解析】根據前三個五邊形數可推斷出第四個五邊形數.【詳解】第一個五邊形數為，第二個五邊形數為，第三個五邊形數為，故第四個五邊形數為.故選：D.8、C【解析】首先寫出展開式的通項公式，然后結合通項公式確定的系數即可.【詳解】展開式的通項公式為：，令可得：，則的系數為：.故選：C.【點睛】二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(求解時要注意二項式系數中n和r的隱含條件，即n，r均為非負整數，且n≥r，如常數項指數為零、有理項指數為整數等)；第二步是根據所求的指數，再求所求解的項9、D【解析】設，，則折痕所在直線是線段AB的垂直平分線，故求出AB中點坐標，折痕與直線AB垂直，進而求出斜率，用點斜式求出折痕所在直線方程.【詳解】，，所以與的中點坐標為，又，所以折痕所在直線的斜率為1，故折痕所在直線是，即.故選：D10、C【解析】由，且，可得，再結合，可得，進而在△中，由余弦定理可得到齊次方程，求出即可.【詳解】由題意，可得，因為，所以，又，所以，在△中，，即，由余弦定理，可得，整理得，則，即，解得，因為，所以.故選：C.【點睛】方法點睛：本題考查求雙曲線的離心率，屬于中檔題.雙曲線離心率的求法：（1）由條件直接求出（或或），或者尋找（或或）所滿足的關系，利用求解；（2）根據條件列出的齊次方程，利用轉化為關于的方程，解方程即可，注意根據對所得解進行取舍.11、B【解析】設，得到，利用橢圓的范圍求解.【詳解】解：設，則，，，因為，所以，即，故選：B12、C【解析】將所求進行變形可得，根據二項式定理展開式，即可求得答案.【詳解】由題意得所以.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、405【解析】前9圈的石板數依次組成一個首項為9，公差為9的等差數列，14、“若一個四邊形不是矩形，則它的對角線不相等”【解析】否命題是條件否定，結論否定，即可得解.【詳解】否命題是條件否定，結論否定，所以命題“矩形的對角線相等”的否命題是“若一個四邊形不是矩形，則它的對角線不相等”故答案為：“若一個四邊形不是矩形，則它的對角線不相等”15、##2.4【解析】過作于，可證即為點到平面的距離.【詳解】過作于，∵是長方體，∴平面平面，又∵平面平面，∴平面，設點到平面的距離為，∵∥平面，∴根據等面積法得，故答案為：.16、2【解析】設切點，根據，可得，在中，利用余弦定理構造齊次式，從而可得出答案.【詳解】解：設切點，由，∴，∵為中點，則為中位線，∴，，中，，，，∴.故答案為：2.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）把3道選擇題（2）設，分別表示甲答對1道題，2道題的事件，，分別表示乙答對0道題，1道題的事件，分別求出它們的概率，甲答對的題數比乙多這個事件是，然后由相互獨立的事件和互斥事件的概率公式計算【詳解】解：（1）記3道選擇題則試驗的樣本空間，.共有10個樣本點，且每個樣本點是等可能發生的，所以這是一個古典概型.記事件A=“甲至少抽到1道填空題，.所以，，.所以，.因此，甲至少抽到1道填空題（2）設，分別表示甲答對1道題，2道題的事件，分別表示乙答對0道題，1道題的事件，根據獨立性假定，得，.，.記事件B=“甲答對的題數比乙多”，則，且，，兩兩互斥，與，與，與分別相互獨立，所以..因此，甲答對的題數比乙多的概率為.18、（1）（2）【解析】（1）以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，設，由已知可得出，求出的值，即可得解；（2）利用空間向量法可求得平面與平面夾角的余弦值.【小問1詳解】解：平面，，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則、、、，則，，，則，解得，故.【小問2詳解】解：，則，又、、，所以，，，設為平面的法向量，則，取，可得，顯然，為平面的一個法向量，，因此，平面與平面夾角的余弦值為.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）利用正弦定理結合兩角和的正弦公式求出的值，結合角的取值范圍可求得角的值，可求得的值，即可證得結論成立；（2）利用三角形的面積公式可求得的值，結合余弦定理可求得的值，進而可求得的周長.【小問1詳解】證明：由正弦定理及，得，所以，，所以，，，則，所以，，又，，，因此，、、成等差數列.【小問2詳解】解：，，又，，故的周長為.20、（1）（2）證明見解析【解析】（1）由圓與軸的交點分別為，可得拋物線的焦點為，從而即可求解；（2）設直線為，聯立拋物線方程，由韋達定理及，求出即可得證.【小問1詳解】解：由題意知，圓與軸的交點分別為，則拋物線的焦點為，所以，所以拋物線方程為；【小問2詳解】證明：設直線為，聯立方程，有，所以，所以，所以.21、（1）（2）【解析】（1）根據拋物線焦半徑公式即可得解；（2）聯立方程組求出交點坐標，即可得到弦長.【小問1詳解】由題：拋物線上一點到其焦點F的距離為2，即，所以拋物線方程：【小問2詳解】聯立直線和得，解得，，22、（1）極大值；極小值（2）【解析】（1）利用導數來求得的極大值和極小值.（2）由不等