一元二次方程專題復習【本章概述】一元二次方程是初中數學的重要內容，在初中數學中占有重要的地位，它和二次函數的聯系非常密切.這部分內容是各地考試熱點和同學們容易出錯的地方，是歷年各地中考的必考內容之一，在試卷中占有較大的分值比例.考試中不僅基礎題會考查，更重要的是后面的綜合題也會重點考查，一般以函數等知識為背景進行綜合考查，因此同學們應對這部分內容予以高度重視.【課標要求】1.了解一元二次方程的概念，對本章所學的解一元二次方程的配方法、公式法、分解因式法有個全面的了解，會合理選擇方法解具體的一元二次方程，并在解方程的過程中體會轉化等數學思想.2.能夠利用一元二次方程的有關知識解決實際問題，并能根據具體問題的實際意義檢驗結果的合理性.3.能夠結合具體情境，估計一元二次方程的解，發展估算意識和能力.4.理解一元二次方程的根的判別式，會根據判別式判別一元二次方程的根的情況（注：本部分內容雖然不作為考試重點，但對同學們今后的學習非常重要，一定要認真復習）.實際問題實際問題的答案實際問題實際問題的答案數學問題（）數學問題的解配方法公式法分解因式法降次解方程設未知數，列方程檢驗【知識要點解讀】1.一元二次方程的定義只含有一個未知數，并且未知數的次數是二次的整式方程，叫做一元二次方程.它的一般形式：（）.（1）判斷一個方程是不是一元二次方程時應抓住三點：①只含有一個未知數；②未知數的最高次數是2；③方程是整式方程（即含有未知數的式子是整式）.三者必須同時滿足，否則就不是一元二次方程.（2）（，，為常數，）稱為一元二次方程的一般形式，其中是定義中的一部分，不可缺少，否則就不是一元二次方程.叫做二次項，叫做二次項系數，二者是不同的概念，不可混淆.2.一元二次方程的解法解一元二次方程的基本思想是降次，一般可采用下面幾種方法：（1）配方法①基本思路先將方程轉化為的形式（它的一邊是一個關于的完全平方式，另一邊是一個常數），再利用平方根的定義求解.當時，兩邊開平方便可求得方程的根；當時，方程在實數范圍內無解，因為負數沒有平方根.②配方步驟：化：.方程兩邊同除以二次項系數，化二次項系數為1；移：移項，使方程左邊為二次項和一次項，右邊為常數項；配：配方，方程兩邊都加上一次項系數一半的平方，把原方程化為的形式；求：若，兩邊同時開平方，求得方程的解；若，則原方程無實數根即原方程無解.注意：“在方程的兩邊都加上一次項系數一半的平方”的前提是二次項系數為1.（2）公式法①求根公式：一般地，對于一個一元二次方程（），當時，它的根是.②基本步驟：化：將方程化為一般形式：；定：正確確定的值；求：代入公式求解，若則方程有實數根，若則方程無實數解即無解.（3）因式分解法①基本思想：利用“若，則或”的性質求方程的根.②基本步驟：化：將方程的右邊化為零；分：將方程的左邊分解為兩個一次因式的積；轉：令每個因式分別為零，轉化為兩個一元一次方程；解：解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解.③注意事項：當一元二次方程的一邊為零，而另一邊易分解成兩個一次因式的積的形式時，可用分解因式法.用此法解方程時，要深入觀察方程的特點，并且要對分解因式的方法非常熟練.解具體的一元二次方程時，要分析方程的特征，靈活選擇方法.公式法是解一元二次方程的通法，而配方法又是公式法的基礎（公式法是直接利用了配方法的結論）.分解因式法可解某些特殊形式的一元二次方程.掌握各種方法的基本思想是正確解方程的根本.一般說來，先特殊后一般，即先考慮分解因式法，后考慮公式法.沒有特別說明，一般不用配方法.3.一元二次方程的近似解估計一元二次方程的精確解或近似解，通常采用列表的方式.首先根據具體的實際問題確定出解的具體范圍，然后通過具體計算從兩邊“夾逼”，逐步獲得方程的精確解或近似解.這種“夾逼”的思想是近似計算的重要思想.一般地，一個一元二次方程如果有解，那么它有兩個解，這兩個解可能相等，也可能不相等.4.一元二次方程的是實際應用方程是解決實際問題的有效模型和工具，解方程的技能訓練要與實際問題相聯系，在解決問題的過程中體會解方程的技巧，理解方程的解的含義.利用方程解決實際問題的關鍵是找出問題中的等量關系，找出題目中的已知量與未知量，分析已知量與未知量的關系，再通過等量關系，列出方程，求解方程，并能根據方程的解和具體問題的實際意義，檢驗解的合理性.列一元二次方程解應用題的一般步驟可歸納為審、設、列、解、驗、答.審：讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量，以及它們之間的等量關系；設：設元，也就是設未知數；列：列方程，這是非常重要的關鍵步驟，一般先找出能夠表達應用題全部含義的一個相等關系，然后列代數式表示相等關系中的各個量，就得到含有未知數的等式，即方程；解：解方程，求出未知數的值；驗：檢驗方程的解能否保證實際問題有意義；答：寫出答語.相等關系的尋找應從以下幾方面入手：①分清本題屬于哪一類型的應用題，如行程問題，則其基本數量關系應明確（）.②注意總結各類應用題中常用的等量關系.如工作量（工程）問題.常常是以工作量為基礎得到相等關系（如各部分工作量之和等于整體1等）.③注意語言與代數式之間的轉化.題目中多數條件是通過語言給出的，我們要善于將這些語言轉化為我們列方程所需要的代數式.④從語言敘述中尋找相等關系.如甲比乙大5應理解為“甲=乙＋5”⑤在尋找相等關系時，還應從基本的生活常識中得出相等關系.總之，找出相等關系的關鍵是審題，審題是列方程的基礎，找相等關系是列方程解應用題的關鍵.【復習指引】1.配方法、公式法、分解因式法分別適用于解不同特點的方程，具體求解時，應在觀察方程特點和綜合考慮各種方法適用范圍的基礎上合理選擇解方程的方法.2.在用一元二次方程解決實際問題的過程中，要抓住問題的數學本質，盡量避免實際情境的干擾；同時要明確：數學問題與實際問題的區別.在用方程知識解決完實際問題后，一定要檢驗所求結果是否符合實際情況，對不適合實際情況的解一定要舍去；同時對適合實際情況的解絕對不能丟掉.【考點例析】考點一：一元二次方程的定義構成一元二次方程的條件：①必須是整式方程；②二次項系數不能為0；③只含有一個未知數；④未知數的最高次數是2.只有同時具備這三個條件的方程才是一元二次方程.例1.（甘肅）下列方程中，關于的一元二次方程是（）.（A）（B）（C）（D）析解：由一元二次方程的判定條件可知：（B）不滿足條件①，（C）不滿足條件②，（D）不滿足條件②，只有（A）同時滿足這幾個條件.故選（A）.考點二：一元二次方程的相關概念基本形式：（）；其中分別叫做二次項、一次項、常數項，分別稱為二次項系數和一次項系數.例2.①（吉林）將方程化為一元二次方程的一般形式為___________.②（吉林）一元二次方程的二次項系數、一次項系數及常數項之和為___________.析解：①為（莫忘移項要變號）；②為5，要特別注意項和系數的符號.考點三：方程根的定義及其應用若是一元二次方程（）的根，則必有，反之，若，則是一元二次方程的根，這就是一元二次方程根的定義.利用這個根的定義解題時，要特別注意二次項系數不為0的條件.例3.①（蘭州）已知ｍ是方程ｘ２－ｘ－１＝０的一個根，則代數ｍ２－ｍ的值等于（）

（Ａ）－１（Ｂ）０（Ｃ）１（Ｄ）２②（北京海淀）關于的一元二次方程的一個根是0，則的值為（）.（A）1（B）－1（C）1或－1（D）析解：①選（C）；②根據方程根的定義，將代入原方程中，則原方程變形為關于的一元二次方程：，，又由于，，所以，應選（B）.本題極易忽視二次項系數這一內含條件，容易錯選為（C）.因此解這類題目時，若二次項系數中含有字母已知數，一定要使其不為0.考點四：一元二次方程的解法直接開平方法：課本上雖然沒有介紹，但這是解一元二次方程的一種方法，它建立在數的開方的基礎上，當把方程整理成的形式時，就可以用此法求解.但要注意當時，方程無實根；配方法：它建立在直接開平方的基礎上，將方程（）的左邊恒等變形為的形式，從而整理得，通過開平方法求得方程的根.它適用于任何一個有解的一元二次方程，而且在今后的學習和復習中，它始終是一種很重要的思想方法；公式法：它適用于任何一個有解的一元二次方程.公式法抓住了配方法的結論，使其公式化，變求解問題為已知的值，求代數式的值的問題；因式分解法：對于系數比較特殊的一元二次方程，用因式分解法求解比較快捷，其實質就是降次法.它將一元二次方程化為一元一次方程來求解.這四種方法既有區別，又有聯系.公式法比配方法簡單，但不如直接開平方法和因式分解法快捷，在具體解方程時，要根據題目的特點，選擇適當的方法求解.一般順序為先特殊后一般.即直接開平方法因式分解法公式法，沒有特別說明一般不采用配方法.例4.（福州）解方程：.解析：本題可用公式法或配方法求解，答案：.考點五、一元二次方程在實際中的應用一元二次方程的應用常常以當今社會所關注的熱點問題和焦點問題為素材，這類問題雖然貼近生活，卻不拘一格.因此，平時熱心關注社會、積累生活經驗是學好本部分內容的一個前提，在較復雜的社會背景中，運用方程的思想，尋找等量關系式，列出方程，是解題的一個關鍵.下面就近幾年的中考試題中選取幾道典型的經典考題，加以評析，供參考.例5.（常州）春秋旅行社為吸引市民組團去天水灣風景區旅游，推出了如下收費標準：如果人數不超過25人，人均旅游費用為1000元如果人數超過25人，每增加1人，人均旅游費用降低20元，但人均旅游費用不得低于700元如果人數不超過25人，人均旅游費用為1000元如果人數超過25人，每增加1人，人均旅游費用降低20元，但人均旅游費用不得低于700元某單位組織員工去天水灣風景區旅游，共支付給春秋旅行社旅游費用27000元，請問該單位這次共有多少員工去天水灣風景區旅游？解：設該單位這次共有名員工去天水灣風景取旅游.因為1000×25=25000＜27000，所以員工人數一定超過25人，可得方程.解得，.當時，1000－10（－25）=600＜700，故舍取；當時，1000－10（－25）=900＞700，符合題意；答：該單位這次共有30名員工去天水灣風景區旅游.例6.（黃岡）黃岡百貨商店服裝柜在銷售中發現：“寶樂”牌童裝平均每天售出20件，每件贏利40元，為了迎接“六一”國際兒童節，商場決定采取適當的降價措施，擴大銷售量，增加贏利，減少庫存，經市場調查發現：如果每件童裝每降價4元，那么，平均每天就可多售出8件，要想平均每天在銷售這種童裝上贏利1200元，那么，每件童裝應降價多少元？誤解：設每件童裝應降價元，依題意，得，整理，得.解得.答：每件童狀應降價10元或20元.剖析：從表面上看，本題的解答天衣無縫，但本題要求在贏利相同的情況下，盡快減少庫存，就是使童裝盡快地銷售.因為每件童裝每降價4元，那么平均每天就可多售出8件，則降價20元比降價10元賣的多，可盡快減少庫存，故正確答案應為每件童裝降價20元.說明：隨著市場經濟的發展，經濟決策型應用題逐漸成為各地中考題的新寵，這類應用題與實際生活密切相關，解題時一定要全面考慮題設條件，要對題意進行檢驗，使求解出來的根不僅適合方程，也得符合題意.考點六：創新題展示例7.（茂名）先閱讀，再填空解題：(1)方程：x2-x-2=0的根是：x1=-3,x2=4，則x1+x2=1，x1·x2=12；(2)方程2x2-7x+3=0的根是：x1=,x2=3，則x1+x2=，x1·x2=；(3)方程x2-3x+1=0的根是：x1=,x2=.則x1+x2=，x1·x2=；根據以上（1)(2)(3）你能否猜出：如果關于x的一元二次方程mx2+nx+p=0（m≠0且m、n、p為常數）的兩根為x1、x2，那么x1+x2、x1、x2與系數m、n、p有什么關系？請寫出來你的猜想并說明理由.分析：近幾年來，以一元二次方程為背景的探索創新題不斷涌現，這類問題形式新穎、富有趣味性，極好地考查了同學們的發散思維能力和開拓探究能力.本題難度不大，屬中等題.解：（3），，，.猜想：，.∵一元二次方程mx2+nx+p=0（m≠0且m、n、p為常數）的兩實數根為：∴，，∴..★★★(I)考點突破★★★考點1：一元二次方程的解法一、考點講解：1．一元二次方程：只含有一個未知數，未知數的最高次數是2，且系數不為0，這樣的方程叫一元二次方程．一般形式：ax2＋bx+c=0(a≠0）2．一元二次方程的解法：⑴配方法：配方法是一種以配方為手段，以開平方為基礎的一種解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步驟是：①化二次項系數為1，即方程兩邊同除以二次項系數；②移項，即使方程的左邊為二次項和一次項，右邊為常數項；③配方，即方程兩邊都加上一次項系數的絕對值一半的平方；④化原方程為(x+m）2=n的形式；⑤如果n≥0就可以用兩邊開平方來求出方程的解；如果n=＜0，則原方程無解．⑵公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通過配方推導出來的．一元二次方程的求根公式是(b2－4ac≥0)⑶因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．它的理論根據是兩個因式中至少要有一個等于0，因式分解法的步驟是：①將方程右邊化為0；②將方程左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式等于0，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程，它們的解就是原一元二次方程的解．3．一元二次方程的注意事項：⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，強調a≠0．因當a=0時，不含有二次項，即不是一元二次方程．如關于x的方程（k2－1）x2+2kx+1=0中，當k=±1時就是一元一次方程了．⑵應用求根公式解一元二次方程時應注意：①化方程為一元二次方程的一般形式；②確定a、b、c的值；③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，則代人求根公式，求出x1,x2．若b2－4a＜0，則方程無解．⑶方程兩邊絕不能隨便約去含有未知數的代數式．如－2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能隨便約去（x＋4⑷注意解一元二次方程時一般不使用配方法（除特別要求外）但又必須熟練掌握，解一元二次方程的一般順序是：開平方法→因式分解法→公式法．二、經典考題剖析：【考題1－1】（2004、青島，3分）用換元法解方程時，若設，則原方程可化為（）A．y2+y＋2＝0B．y2－y—2＝＝0C．y2－y+2＝0D、y2+y－2=0解：D。點撥：此題是考查的是“整體”思想。【考題1－2】（2004、開福）解方程：x2＋2x－3=0

解：x2＋2x－3=0，x2＋2x=3，即x+l=2或x+1=2．所以x1=1，x2=3．點撥：考查解方程的知識，還可用公式法或因式分解法解．【考題1－3】（2004、青島，6分）已知方程5x2+kx－10=0一個根是－5，求它的另一個根及k的值．解：設方程的另一根是x，那么，+(－5)=－EQ\F(k,5)，所以k=－5×［EQ\F(2,5)+(-5)］=23.答：方程的另一根是EQ\F(2,5)，k的值是23．點撥：利用根與系數的關系來解．考點2：一元二次方程的應用一、考點講解：1．構建一元二次方程數學模型：一元二次方程也是刻畫現實問題的有效數學模型，通過審題弄清具體問題中的數量關系，是構建數學模型，解決實際問題的關鍵．2．注重．解法的選擇與驗根：在具體問題中要注意恰當的選擇解法，以保證解題過程簡潔流暢，特別要對方程的解注意檢驗，根據實際做出正確取舍，以保證結論的準確性．二、經典考題剖析：【考題2－1】（2004、海口，8分）某水果批發商場經銷一種高檔水果如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，經市場調查發現，在進貨價不變的情況下，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克，現該商場要保證每天盈利6000元，同時又要使顧客得到實惠，那么每千克應漲價多少元？解：設每千克水果應漲價x元，依題意，得(500－20x)（10+x）=6000．整理，得x2－15x＋50=0．解這個方程，x1=5，x2=10．要使顧客得到實惠，應取x=5．答：每千克應漲價5元．．點撥：應抓住“要使顧客得到實惠”這句話來取舍根的情況．【考題2－2】（2004、深圳南山區副卷）課外植物小組準備利用學校倉庫旁的一塊空地，開辟一個面積為130平方米的花圃（如圖1－2－1），打算一面利用長為15米的倉庫墻面，三面利用長為33米的舊圍欄，求花圃的長和寬．解：設與墻相接的兩邊長都為米，則另一邊長為米，依題意得∴又∵當時，當時，＞15∴不合題意，舍去．∴答：花圃的長為13米，寬為10米．中考題預測★★★一、基礎經典題(44分)(一)選擇題(每題4分，共28分)【備考1】如果在－1是方程x2+mx－1=0的一個根，那么m的值為（）A．－2B．－3C．1D．2【備考2】方程的解是（）A．【備考3】若n是方程的根，n≠0，則m+n等于（）A．－7B．6C．1D．－1【備考4】關于x的方程的兩根中只有一個等于0，則下列條件中正確的是（）A．m＝0，n＝0B．m＝0，n≠0C．m≠0，n=0D．m≠0，n≠0【備考5】以5－2EQ\r(,6)和5+2EQ\r(,6)為根的一元二次方程是（）A．B．C．D．【備考6】已知x1，x2是方程x2－x－3=0的兩根，那么x12+x22的值是（）A．1B．5C．7D、EQ\F(49,4)【備考7】已知關于x的方程有兩個不相等的實根，那么m的最大整數是（）A．2B．－1C．0D．l“（二）填空題（每題4分，共16分）【備考8】已知一元二次方程x2＋3x+1=0的兩個根為x1，x2，那么（1+x1）（1+x2）的值等于_______.【備考9】已知一個一元二次方程x2+px+l=0的一個實數根的倒數恰是它本身，則P的值是_______.【備考10】關于x的方程的一次項系數是－3，則k=_______【備考11】關于x的方程是一元二次方程，則a=__________.【備考12】飛機起飛時，要先在跑道上滑行一段路程，這種運動在物理中叫做勻加速直線運動，其公式為S=EQ\F(1,2)at2，若某飛機在起飛前滑過了4000米的距離，其中a=20米／秒，求所用的時間t．中考一輪復習之一元二次方程根的判別式知識考點：理解一元二次方程根的判別式，并能根據方程的判別式判斷一元二次方程根的情況。精典例題：【例1】當取什么值時，關于的方程。（1）有兩個相等實根；（2）有兩個不相等的實根；（3）沒有實根。分析：用判別式△列出方程或不等式解題。答案：（1）；（2）；（3）【例2】求證：無論取何值，方程都有兩個不相等的實根。分析：列出△的代數式，證其恒大于零。【例3】當為什么值時，關于的方程有實根。分析：題設中的方程未指明是一元二次方程，還是一元一次方程，所以應分＝0和≠0兩種情形討論。略解：當＝0即時，≠0，方程為一元一次方程，總有實根；當≠0即時，方程有根的條件是：△＝≥0，解得≥∴當≥且時，方程有實根。綜上所述：當≥時，方程有實根。探索與創新：【問題一】已知關于的方程有兩個不相等的實數根、，問是否存在實數，使方程的兩實數根互為相反數？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由。略解：化簡得∴不存在。【問題一】如圖，某校廣場有一段25米長的舊圍欄，現打算利