單中心城市空間結構的外生變量影響因素分析

1城市經濟理論如何有效組織空間活動一直是地理、區域科學、城市和城市規劃等學科科學家的研究主題之一。1960年代以來,城市經濟理論取得了巨大的突破。這些理論不僅使城市經濟學日趨成熟,奠定了其在宏大的經濟學體系中占有一席之地,被主流經濟學家承認。更為重要的是,城市經濟理論成功地解釋了城市空間結構及空間形態,解釋了城市區位對城市土地利用強度的影響,為城市規劃提供了理論依據。1960年代以來的城市經濟理論突破主要以Alonso,Mills,Muth為代表,后來經Bruckner,Fujita,Wheaton等人的發展而變得更加完善。經過這些人的不懈努力,城市經濟學理論體系已經形成,其理論框架,分析方法,邏輯思維方式等外延到城市政策領域的研究(Ding,Knaap,andHopkins1999;Ding1996;Knaap,Ding,andHopkins2001)。2土地調整價值的城市經濟理論模型杜能的農業區位理論很好地解釋了農業活動的空間分布規律。根據杜能的農業區位理論,土地地租不僅取決于區位,同時也受土地可獲益能力(Profitability)的影響。對農業活動而言,土地可獲益能力取決于土地的自然屬性。土地級差地租的存在是由于不同區位的市場可達性不同。根據杜能的農業區位理論所依托的假設,市場可達性取決于區位的交通成本。然而,杜能的的農業區位理論及農業地租理論不能引用到城市中來。這是因為:(1)杜能的農業區位理論是建立在生產者生產理論(微觀經濟學中的ProductionTheory)上。也就是說,生產者通過對生產的最優組織來達到追求利潤最大化這一目標。在西方,居民用地占總城市土地的70%或更高。居民用地是城市土地最主要的成份。顯然,居民用地不能用生產理論來解釋。同時,任何不能解釋居民用地的空間分布規律的理論對城市規劃,城市政策的制定沒有任何實際意義;(2)根據杜能理論,土地可獲益能力對土地級差地租的形成起很大作用。在土地獲益能力高的區位上,農業活動的產量高,進而地租也高(Richard的殘差地租理論)。然而,在城市里,土地的自然屬性對城市活動的影響幾乎可以忽略不記。土地的自然屬性能夠對城市發展起作用也許會體現在它是影響城市土地發展成本(UrbanLandDevelopmentCosts)中的一個因子。除非極個別的情況下,現有的技術條件下城市土地發展成本大體上空間不變。對城市居民而言,土地可獲益能力意義不大。為了更好地規劃城市發展,提高土地利用效率,我們需要理論來解釋城市空間分布規律,了解城市土地地租(土地價格)與城市發展,土地利用等的關系。Brueckner(1987)的城市經濟理論模型及應用。在模型中,假定城市的商業中心(CBD)座落于一個均質平原的幾何中心。所有就業機會都集中在它的CBD,而城市居民住在CBD的外圍,他們通勤到CBD。假定交通是均質分布,城市居民從居住地到CBD的總交通費用就只決定于距離(x)。進一步假定所有城市居民具有相同的收入、消費傾向和效用函數。為簡化分析,城市居民的效用函數(Utility)有兩個要素:即住房消費(q)和其它所有消費(c)。將其它所有消費組合成一個要素使下面的分析簡化而不影響我們要分析的現象。這是因為住房消費是研究城市居住用地的關鍵。效用函數用v(c,q)來表示。城市居民通過選擇最優的消費組合(q,c)來使他們的滿意度(UtilityLevel)達到最大值(效用函數最優化)。城市居民的滿意度隨著住房消費和其它消費的增加而提高。一定的可支配收入限制了城市居民的住房和其它消費的無限提高。為保證最優解的存在,效用函數可二次求導且是凹函數(見微觀經濟學的消費者理論,城市經濟學能被主流經濟學家承認的原因之一是城市經濟理論是從微觀經濟學理論發展和演變而來)。maxv(c,q)=u(u是城市居民滿意水平,是外生變量)(1)這個優化問題有一個限制條件——預算約束(BudgetConstraint):城市居民總的住房消費和其它所有消費等于居民總的收入。定量上,設城市居民居住地離CBD的距離為x,居民的可支配收入為y,t為單位距離的交通通勤成本(CommutingCosts),tx代表總的交通費用,p代表單位住房價格,pq是總的住房消費。假定其它消費品的價格為1,預算約束表示為:y=c+tx+pq(2)從(2)中解出c然后將其代入(1),得:maxv(y-tx-pq,q)=u(3)空間均衡條件要求u是空間不變的。也就是說,城市居民無論住在哪里,他們有同樣的滿意度。如果不是這樣的話,城市居民將可以通過移民到其它區位來提高滿意度,進而影響該區位住房的供需平衡,降低住房價格,最終達到滿意度空間無差異這一狀態。(3)式的優化問題簡化成對q的求極值。(3)式極值的必要條件是:-?v(y-tx-pq,q)?pq??pq?q+?v(y-tx-pq,q)?q=0(4)從(4)式得出:v2v1=p(下標表示偏微分)(5)圖1解釋了(2)式和(3)式的解。當滿意水平(u)一定時,先畫無差異曲線(IndifferentCurve)。c軸的截距是y-tx。從c軸的截距劃預算約束方程,使其與無差異曲線正切(tangent)。預算約束方程的斜率為-p。切點代表最優的住房消費量。圖1也說明了不同滿意水平和預算約束條件對最優的住房消費量的影響(更詳細的分析在后面)。下面用比較靜態分析方法(ComparativeStaticAnalysis)對模型進行分析。在這個極值問題上,外生變量為:x,y,t,而內生變量是p,q。比較靜態分析將揭示外生變量如何影響內生變量。或者說,內生變量如何隨外生變量的變化而變化。·城市區位(x):以x為參變量對(3)進行全微分,得:-v1(t+q?p?x+p?q?x)+v2?q?x=0(6)將公式(4)代入公式(6)得:?p?x=-tq<0(7)公式(7)表明隨著距城市中心區(CBD)距離的增加,房屋價格下降(圖2)。這一規律可從圖1得到證實。假設我們從區位x0移至x1(距CBD距離的增加),c軸的截距將下降,使預算約束線順逆時針沿無差異曲線旋轉(保持二線相切),新的相切點表明房屋價格下降(預算約束直線的斜率下降(絕對值)),住房消費量上升(q0至q0′)。這表明隨距離的增加,人均消費量將上升。因為滿意水平是恒定的,住房消費量的上升與價格下降間存在替代效應。理論上,我們有:?q?x=?q?p?p?x=η?p?x>0(8)式(8)中,η<0,表明在滿意水平不變下需求曲線的斜率(或者η=?q?p)。這些結論在感性認識上也成立。住在離城市中心遠的居民要花更多的錢在交通通勤方面。為了保持空間均衡(城市居民不論住在哪里,他們都有同等水平的滿意度),住在離城市中心遠的居民必須有低的房屋價格來補償高的交通通勤費用。·居民收入(y):對(2)求y的全微分得:v1dy-qvdp=0或者?p?y=1q>0(9)從(9)式我們可得到:?q?y=?q?p?p?y=η?p?y<0(10)式(9)和(10)我們得出如下結論:房屋價格下降隨收入的增加而上漲,住房消費量隨收入的增加而下降(圖3)。收入的增加使c軸的截距上移(從y0-tx移至y1-tx,y1>y0)。預算約束直線將順時針方向沿無差異曲線旋轉(保持二線相切),新的相切點表明房屋價格上升(預算約束直線的斜率上升(絕對值)),住房消費量下降(q1至q0)。·城市交通費用(t):同理,對(2)求t的全微分得:-xv1dt-qv1dp=0或者?p?t=-xq<0(11)從(11)式我們可得到:?q?t=?q?p?p?t=η?p?t>0(12)式(11)和(12)我們得出如下結論:房屋價格下降隨交通通勤費用的增加而下降,住房消費量隨收入的增加而上升(圖2)。交通通勤費用的增加使c軸的截距下移(從y-t0x移至y-t1x,t1>t0)。預算約束直線將逆時針方向沿無差異曲線旋轉(保持二線相切),新的相切點表明房屋價格下降(預算約束線的斜率上升(絕對值)),住房消費量上升(q0至q0′)。下面來研究房屋價格空間遞減規律的特性。對(7)求二次偏微分得:?2p?x2=tq2?q?x>0(13)式(13)說明房屋價格空間遞減是一凹函數。圖4說明了這一特性。3城市土地價格和空間變化規律3.1住房生產函數的改進假設房地產商開發土地使非城市用地轉變成城市用地。房地產開發商的目標是獲取最大利潤。利潤決定于收入和成本。收入等于單位住房價格乘上總建筑面積。假設房地產開發商的經濟活動用住房生產函數H(N,L)來度量,其中H為建筑面積[m2](建筑面積衡量房地產開發商的產出(OUTPUT)),N為資本投入,L為土地投入。這樣,房地產開發成本有兩項:土地成本和資本成本(勞動力,建筑材料,管理等等都可打入資本成本)。從投資的角度來看,資本成本等于銀行利息乘以總資金。土地成本等于地租乘以總土地投入。按照Brueckner(1986)的理論模型,該住房生產函數有如下特性:(1)土地與資本間的完全可替代性。因為同樣的住房產出可以通過不同比例的土地投入和資本投入來實現,所以認為土地和資本是可以替代的;(2)規模經濟不變。規模經濟不變的特性說明如果資本投入和土地投入都成倍增長,則住房產出量也會同倍數增長;(3)HN(N,L)>0,HL(N,L)>0說明資本投入和土地投入的邊際產出率均為正;(4)生產函數是凹函數且可二次求導(H″<0),這個條件保證最大利潤的存在。房地產開發商的目標函數表示為:J=pΗ(Ν,L)-rL-iΝ(14)其中,J為利潤;p為單位面積的住房價格;r為單位面積的土地價格;i為利息率(利息率不隨住房位置變化而變化);pH(N,L)為住房生產的總收入;rL為土地成本;iN為資本成本;房地產開發商通過最優的N和L來使J達到最大值。最優的N和L選擇取決于土地和資本的價格。上述模型說明,土地和資本的價格是外生變量(endogenousvariables),而土地和資本的投入是內生變量(exogenousvariables)。內生變量決定于外生變量,而不是外生變量決定于內生變量。既然住房生產函數具有規模經濟不變的特性,式可以轉化為:J=L(pΗ(Ν,L)/L-r-iΝ/L)=L(pΗ(Ν/L,1)-r-iΝ/L)(15)如果用S表示資本密度(N/L)——單位土地面積的資本投入(在本文中,資本密度,容積率,建筑高度這三個概念,在土地投入及技術一定的前提下,可相互替換)。公式(15)可以表示為:J=L(ph(S)-r-iS)(16)其中,h(S)≡H(S,1)表示單位面積土地投入的住房面積產出,函數h滿足:h″(S)≡HSS(S,1)<0.為了達到利潤最大化,式(16)可以轉化為求單位土地投入時的極值問題。這樣,問題就變為求最優的資本密度S,使得利潤(J)最大。求式(16)極值的條件(必要條件)是:ph′(S)=i(17)在完全競爭的市場條件下,利潤為0,這樣式(16)轉化為:ph(S)-iS=r(18)所以,資本密度(S)函數可以表示如下:S=S(p,h,i,r)(19)方程(19)說明資本密度(資本-土地比率,容積率)由住房價格(不同位置價格不同),住房生產函數(不同技術條件,生產函數不同),利息率(與國家宏觀經濟政策相關)以及土地價格等共同決定;以x為參變量對公式(17)和(18)全微分運算,得:h′?p?x+ph″?S?x=0(20)(ph′-i)?S?x+h?p?x=?r?x(21)由以上兩式可以得到:?S?x=-h′ph″?p?x<0(如前所述?p?x<0,h″<0,andh′>0))(22)?r?x=(ph′-i)?S?x+h?p?x=h?p?x<0(如前所述ph′(S)=i)(23)從公式(22)及(23)推導出資本密度及土地價格均隨住房距城市中心距離增加而減小(圖1),資本密度隨距離增加而減小。這一規律表明開發商隨距離增加將增加土地投入,替代資本投入,導致資本密度(住房容積率)下降。圖5顯示了土地與資本間相互投入關系。圖5中,H(N,L)表示的是住房生產函數。B1和B2表示的是土地和資本不同的成本。在B1線上,土地價格為r1,資本價格為i,在B2線上,土地價格為r2,資本價格為i(資本價格在空間上不變),兩線的斜率表示的是土地與資本間相對價格。就是說,B1的斜率是-1/i,而B2的斜率是-2/i。很顯然,r1大于r2。S1點表示的是,如果我們有B1所表示土地與資本間相對價格,模型大最優解是S1點,即最佳的土地和資本投入為N1和L1。同理,S2表示,如果我們有B2表示土地與資本間相對價格,模型大最優解是S2,即最佳的土地和資本投入為N2和L2。顯然,r1大于r2,N1/L1>N2/L2。也就是說,當土地價格上升時,資本替代土地,提高資本密度(容積率)。由于?r?x=h?p?x,我們可以推出:?r/?xr=hr?p?x=phr?p/?xp=pΗrL?p/?xp=iΝ+rLrL?p/?xp(24)從公式(24)推導出?r/?xr?p/?xp=iΝ+rLrl=iΝrl+1>1。上式的右邊是彈性系數。彈性系數大于1,說明住房價格每下降1個百分點,土地價格下降的百分點大于1。就是說,隨著城市中心距離x的增加,土地價格比住房價格下降的更快。由此得出土地價格與住房價格的比例隨著城市中心距離x的增加而下降。同理,因土地價格隨著城市中心距離x的增加而下降。可以說,土地價格與住房價格的比例隨著土地價格的下降而下降,隨土地價格的上升而上升。將式(22)代入方程(23)可得:以S為參變量對式(25)微分得該式表明只有當h′(S)為常數時,r和S之間才是線性關系,但是前面已經假設h′(S)>0和h″(S)<0,所以r和S之間不可能是線性關系。即土地價格和建筑容積率之間存在非線性的關系得到證明。上述分析公式(14)-(26)得出如下結論:(1)土地與資本間的可替代性是達到土地市場效益的前提條件之一;(2)地價影響容積率,而不是容積率決定地價,地價上升將提高容積率。開發商通過選擇土地和資本最佳投入水平來獲取最大利潤。他們的決策變量是土地和資本最佳投入,當他們決定土地和資本投入時,他們也就決定了容積率(容積率是資本投入與土地投入之比,或是資本投入與土地投入之比的函數)。土地和資本投入量取決于它們的相對價格。在其它因子不變的假設下,當地價上升時,資本變得相對便宜,開發商為獲取最大利潤,將增加資本使