專題06三角函數與解三角形（選填題9種考法）考法一三角函數的定義【例1-1】（2023·廣東梅州·統考一模）在平面直角坐標系中，點繞著原點順時針旋轉得到點，點的橫坐標為___________.【答案】【解析】由題意得,設與x軸正半軸的夾角為，則，則與x軸正半軸的夾角為，故點的橫坐標為，故答案為：【例1-2】（2023·四川攀枝花·攀枝花七中校考模擬預測）已知角的頂點為坐標原點，始邊為x軸正半軸，終邊經過點，則______．【答案】【解析】由三角函數的定義可得，故答案為：.【例1-3】（2023·上海黃浦·統考一模）在平面直角坐標系中，若角的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊與以點O為圓心的單位圓交于點，則的值為______.【答案】【解析】由題意知，，所以.故答案為：.【例1-4】（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學校考模擬預測）已知為角終邊上一點，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意知為角終邊上一點，則，故，故，故選：A【例1-5】（2023·黑龍江·黑龍江實驗中學校考一模）在平面直角坐標系中，已知點為角終邊上一點，若，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意得：，，，因為，所以，因為，所以，故，所以.故選：B考法二同角三角函數【例2-1】（2022·浙江·統考高考真題）設，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因為可得：當時，，充分性成立；當時，，必要性不成立；所以當，是的充分不必要條件.故選：A.【例2-2】（2021·全國·統考高考真題）若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】將式子進行齊次化處理得：．故選：C．【例2-3】（2023·四川資陽·統考模擬預測）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由①得，即，因為，所以，，則，即②，聯立①②可得：，則.故選：C【例2-4】（2023·湖南·模擬預測）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，得，得，可得，，，，又，得，解得.故選：A考法三誘導公式及恒等變化【例3-1】（2021·全國·統考高考真題）（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，.故選：D.【例3-2】（2023·甘肅蘭州·校考一模）等于（

）A． B． C． D．1【答案】C【解析】因為，所以.故選：C.【例3-3】（2023·遼寧·遼寧實驗中學校考模擬預測）（多選）設為第一象限角,,則（

）A．B．C．D．【答案】BD【解析】由題意得,則,若在第四象限,則,所以也是第一象限角,即,,A項錯誤;,B項正確;,C項錯誤;,D項正確.故選:BD.【例3-4】（2023·福建南平）若是第二象限角，，則___________.【答案】【解析】因為是第二象限角，且，所以為第三象限角，所以，所以.故答案為：【例3-5】（2023春·湖南·高三校聯考階段練習）若銳角、滿足，，則_________．【答案】【解析】因為，，則，，由、，則，，所以，，，所以.故答案為：.【例3-6】（2023·廣東梅州·統考一模）已知，則【答案】【解析】由可得，，由二倍角公式可得；即故選：A考法四三角函數的性質【例4-1】（2022·天津·統考高考真題）已知，關于該函數有下列四個說法：①的最小正周期為；②在上單調遞增；③當時，的取值范圍為；④的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到．以上四個說法中，正確的個數為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以的最小正周期為，①不正確；令，而在上遞增，所以在上單調遞增，②正確；因為，，所以，③不正確；由于，所以的圖象可由的圖象向右平移個單位長度得到，④不正確．故選：A．【例4-2】（2023·吉林通化·梅河口市第五中學校考一模）函數（，）的部分圖象如圖所示，為了得到的圖象，只需將的圖象（

）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度【答案】D【解析】根據函數（其中，的圖象，可得，，再根據五點法作圖，可得，，．故把圖象向右平移個單位長度，可得到的圖象，故選：D．【例4-3】（2023·貴州貴陽·統考一模）函數的部分圖象如圖所示，則下列關于函數的說法正確的是（

）①的圖象關于直線對稱②的圖象關于點對稱③將函數的圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象④若方程在上有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是A．①④ B．②④ C．③④ D．②③【答案】B【解析】由函數的圖象可得，由，解得，又函數過點，所以，，又，得，所以函數，當時，，即的圖象關于點對稱，故②正確；當時，，故①錯誤；將函數的圖象向左平移個單位長度得到，故③錯誤；當，則，令，解得，此時，即，令，解得，此時，即，所以在上單調遞減，在上單調遞增，因為方程在上有兩個不相等的實數根，即與在上有兩個交點，所以，故④正確；故選：B【例4-4】（2023·河南·校聯考模擬預測）已知函數.若，且在區間上單調，則（

）A． B．或4 C．4 D．或【答案】B【解析】由，得函數的圖象關于點中心對稱；由，得函數的圖象關于直線對稱，所以，解得，即，得.因為在區間上單調，所以，即，所以，解得.又，所以或.當時，，則，得.由，得，此時，當時，，符合題意；當時，，則，得.由，得，此時，當時，，符合題意.綜上，或.故選：B.【例4-5】（2023·遼寧·校聯考模擬預測）（多選）已知函數，則（

）A．是奇函數 B．當時，C．的最大值是1 D．的圖象關于直線對稱【答案】BCD【解析】對于A,不恒成立，所以不是奇函數，故A錯誤；對于B，，當時，所以，所以，故B正確；對于C，令，則，所以，所以原函數可換元為，令解得，令解得或，所以在單調遞減，單調遞增，單調遞減，，所以函數的最大值為，故C正確；對于D，，，因為所以，所以的圖象關于直線對稱，故D正確，故選：BCD.【例4-6】（2023·河北衡水·河北衡水中學校考模擬預測）（多選）已知函數，其中、.則下列說法中正確的有（

）.A．的最小值為B．的最大值為C．方程在上有三個解D．在上單調遞減【答案】BC【解析】，即，其中，，.由，即，，所以當時，，即，，所以當，即時，，當，即時，；當時，，即，，所以當，即時，，由于，所以無最小值.綜上所述，的最小值為，最大值為，故A錯誤，B正確；由，所以當時，，即，即或，，所以或，.當時，，即，即或，，所以，，綜上所述，方程在上有三個解，故C正確；取時，，令，即；令，即；由于，所以當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減，即函數在上有增有減，則在上有增有減，故D錯誤.故選：BC.考法五正余弦定理【例5-1】（2021·全國·高考真題）在中，已知，，，則（

）A．1 B． C． D．3【答案】D【解析】設，結合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故選：D.【例5-2】（2023·江蘇南京·南京市秦淮中學校考模擬預測）（多選）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則B的值為（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】根據余弦定理可知，代入，可得，即，因為，所以或，故選：BD.【例5-3】（2023·河南·校聯考模擬預測）克羅狄斯·托勒密是古希臘著名數學家、天文學家和地理學家，他在所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對角線的乘積小于或等于兩組對邊乘積之和，當且僅當凸四邊形的對角互補時取等號，后人稱之為托勒密定理的推論．如圖，四邊形ABCD內接于半徑為的圓，，，，則四邊形ABCD的周長為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】連接AC，BD．由，及正弦定理，得，解得，．在中，，，，所以．因為四邊形ABCD內接于半徑為的圓，它的對角互補，所以，所以,所以，所以四邊形ABCD的周長為．故選：A．【例5-4】（2022·全國·統考高考真題）已知中，點D在邊BC上，．當取得最小值時，________．【答案】【解析】[方法一]：余弦定理設，則在中，，在中，，所以，當且僅當即時，等號成立，所以當取最小值時，.故答案為：.[方法二]：建系法令BD=t，以D為原點，OC為x軸，建立平面直角坐標系.則C（2t,0），A（1，），B（-t,0）[方法三]：余弦定理設BD=x,CD=2x.由余弦定理得，，，，令，則，，，當且僅當，即時等號成立.[方法四]：判別式法設，則在中，，在中，，所以，記，則由方程有解得：即，解得：所以，此時所以當取最小值時，，即.【例5-5】（2023·河南·校聯考模擬預測）已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，，則的面積等于______．【答案】【解析】由，①知，，由余弦定理，得．又，所以．由及正弦定理，得②．聯立①②，得，所以的面積為．故答案為：．【例5-6】（2023·陜西西安·統考一模）已知在中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，滿足，且，則周長的取值范圍為______________．【答案】【解析】在中，由及正弦定理得：，而，于是，有，而，，因此，由余弦定理得，即有，當且僅當時取等號，從而，而，則，所以周長的取值范圍為.故答案為：【例5-7】（2023·陜西西安·統考一模）已知在中，角所對邊分別為，滿足，且，則的取值范圍為______.【答案】【解析】由題意在中，滿足，即,即，而，故，又,則，同理，故，又,故，則，故答案為：考法六實際應用題【例6-1】（2023·陜西寶雞·校聯考模擬預測）中國最早的天文觀測儀器叫“圭表”，最早裝置圭表的觀測臺是西周初年在陽城建立的周公測景（影）臺．“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的桿子，太陽光照射在“表”上，便在“圭”上成影．到了周代，使用圭表有了規范，桿子（表）規定為八尺長．用圭表測量太陽照射在竹竿上的影長，可以判斷季節的變化，也能用于丈量土地．同一日子內，南北兩地的日影長短倘使差一寸，它們的距離就相差一千里，所謂“影差一寸，地差一尺”（1尺＝10寸）．記“表”的頂部為A，太陽光線通過頂部A投影到“圭”上的點為B．同一日子內，甲地日影長是乙地日影子長的兩倍，記甲地中直線AB與地面所成的角為，且．則甲、乙兩地之間的距離約為（

）A．15千里 B．14千里 C．13千里 D．12千里【答案】A【解析】由題意可知甲地的日影子長為尺，從而得到乙地的日影子長為1.5尺，則甲、乙兩地之間的距離約為千里．故選：A【例6-2】（2023·四川綿陽·綿陽中學校考模擬預測）月牙泉，古稱沙井，俗名藥泉，自漢朝起即為“敦煌八景”之一，得名“月泉曉澈”，因其形酷似一彎新月而得名．如圖所示，某月牙泉模型的邊緣都可以看作是圓弧，兩段圓弧可以看成是的外接圓和以AB為直徑的圓的一部分，若，AB的長約為，則該月牙泉模型的面積約為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設外接圓圓心為，如圖，半徑為，則，，因此，中弓形面積為，從而陰影部分面積為．故選：A．【例6-3】（2023·四川南充·四川省南部中學校考模擬預測）一艘海輪從處出發，以每小時40海里的速度沿東偏南方向直線航行，30分鐘后到達B處．在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是東偏南，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東，那么B、C兩點間的距離是（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】A【解析】依題意，如圖，在中，，則，由正弦定理得，即，因此（海里），所以兩點間的距離是海里．故選：A【例6-4】（2023·河南·校聯考模擬預測）“不以規矩，不能成方圓”出自《孟子·離婁章句上》.“規”指圓規，“矩”指由相互垂直的長短兩條直尺構成的方尺，是古人用來測量?畫圓和方形圖案的工具.敦煌壁畫就有伏羲女媧手執規矩的記載（如圖（1））.今有一塊圓形木板，以“矩”量之，如圖（2）.若將這塊圓形木板截成一塊四邊形形狀的木板，且這塊四邊形木板的一個內角滿足，則這塊四邊形木板周長的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題圖（2）得，圓形木板的直徑為.設截得的四邊形木板為，設，，，，，，如下圖所示.由且可得，在中，由正弦定理得，解得.在中，由余弦定理，得，所以，，即，可得，當且僅當時等號成立.在中，，由余弦定理可得，即，即，當且僅當時等號成立，因此，這塊四邊形木板周長的最大值為.故選：D.考法七三角函數與導數的綜合【例7-1】（2023·河南·校聯考模擬預測）將函數的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象．若是函數的一個極值點，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，化簡得，所以．又是函數的一個極值點，所以當時，函數取得最值，所以，解得．因為，所以．故選：A．【例7-2】（2023·陜西榆林·統考一模）已知，函數在上恰有3個極大值點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，因為在上恰有3個極大值點，由，得，又函數的極大值點滿足，所以，解得.故選：C.【例7-3】（2022·全國·統考高考真題）設函數在區間恰有三個極值點、兩個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意可得，因為，所以，要使函數在區間恰有三個極值點、兩個零點，又，的圖象如下所示：則，解得，即．故選：C．【例7-4】（2023·全國·模擬預測）（多選）已知函數在上恰有三個零點，則（

）A．的最小值為 B．在上只有一個極小值點C．在上恰有兩個極大值點 D．在上單調遞增【答案】BD【解析】對于A選項，因為，當時，，由函數在上恰有三個零點，所以，，解得，所以，的最小值為，A錯；對于B選項，由A選項知，，則當，即時，函數取得極小值，即在上只有一個極小值點，B對；對于C選項，當時，函數在上只有一個極大值點，C錯；對于D選項，當時，，因為，所以，，所以，函數在上單調遞增，D對.故選：BD.考法八扇形的弧長與面積【例8-1】（2022·全國·統考高考真題）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術”，如圖，是以O為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點，D在上，．“會圓術”給出的弧長的近似值s的計算公式：．當時，（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，連接，因為是的中點，所以，又，所以三點共線，即，又，所以，則，故，所以.故選：B.【例8-2】（2023·吉林·統考二模）（多選）如圖，A，B是在單位圓上運動的兩個質點.初始時刻，質點A在（1，0）處，質點B在第一象限，且.質點A以的角速度按順時針方向運動，質點B同時以的角速度按逆時針方向運動，則（

）A．經過1后，扇形AOB的面積為B．經過2后，劣弧的長為C．經過6后，質點B的坐標為D．經過后，質點A，B在單位圓上第一次相即【答案】BD【解析】對于，由題意可知：經過1后，，所以此時扇形AOB的面積為，故選項錯誤；對于，經過2后，，所以此時劣弧的長為，故選項正確；對于，經過6后，質點轉過的角度為，結合題意，此時質點為角的終邊與單位圓的交點，所以質點B的坐標為，故選項錯誤；對于，經過后，質點轉過的角度為，質點轉過的角度為，因為，所以經過后，質點，在單位圓上第一次相遇，故選項正確，故選：.考法九三角函數與其他知識的綜合運用【例9-1】（2023·江蘇蘇州·蘇州中學校考模擬預測）已知，，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，，，所以或，又，所以，所以，所以，故選：B.【例9-2】（2023·四川南充·四川省南部中學校考模擬預測）若分別是與的等差中項和等比中項，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意可得，，且，所以，即，解得又因為，所以，所以故選:A【例9-3】（2022·北京·統考高考真題）在中，．P為所在平面內的動點，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意如圖建立平面直角坐標系，則，，，因為，所以在以為圓心，為半徑的圓上運動，設，，所以，，所以，其中，，因為，所以，即；故選：D1．（2023·安徽宿州·統考一模）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由可得，即充分性成立；當時，可得；所以必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A2．（2023·河南·校聯考模擬預測）已知角，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，又，所以，所以，即，因為，所以.故選：D.3．（2023·內蒙古·校聯考模擬預測）已知函數的圖象關于直線對稱，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】關于直線對稱，，解得：，當時，取得最小值.故選：A.4．（2023·內蒙古·校聯考模擬預測）在中，內角所對應的邊分別是，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由余弦定理得：，即，解得：（舍）或，.故選：D.5．（2023·陜西西安·統考一模）下列是函數圖像的對稱軸的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，顯然，，，，所以函數圖像的對稱軸的是，ABC錯誤，D正確.故選：D6．（2023·全國·模擬預測）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】,故選：A.7．（2022·浙江·統考高考真題）為了得到函數的圖象，只要把函數圖象上所有的點（

）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度【答案】D【解析】因為，所以把函數圖象上的所有點向右平移個單位長度即可得到函數的圖象．故選：D.8（2022·北京·統考高考真題）已知函數，則（

）A．在上單調遞減 B．在上單調遞增C．在上單調遞減 D．在上單調遞增【答案】C【解析】因為.對于A選項，當時，，則在上單調遞增，A錯；對于B選項，當時，，則在上不單調，B錯；對于C選項，當時，，則在上單調遞減，C對；對于D選項，當時，，則在上不單調，D錯.故選：C.9．（2022·全國·統考高考真題）將函數的圖像向左平移個單位長度后得到曲線C，若C關于y軸對稱，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知：曲線為，又關于軸對稱，則，解得，又，故當時，的最小值為.故選：C.10．（2021·全國·統考高考真題）函數的最小正周期和最大值分別是（

）A．和 B．和2 C．和 D．和2【答案】C【解析】由題，，所以的最小正周期為，最大值為.故選：C．11．（2021·全國·統考高考真題）下列區間中，函數單調遞增的區間是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為函數的單調遞增區間為，對于函數，由，解得，取，可得函數的一個單調遞增區間為，則，，A選項滿足條件，B不滿足條件；取，可得函數的一個單調遞增區間為，且，，CD選項均不滿足條件.故選：A.12．（2022·全國·統考高考真題）記函數的最小正周期為T．若，且的圖象關于點中心對稱，則（

）A．1 B． C． D．3【答案】A【解析】由函數的最小正周期T滿足，得，解得，又因為函數圖象關于點對稱，所以，且，所以，所以，，所以.故選：A13（2021·北京·統考高考真題）函數是A．奇函數，且最大值為2 B．偶函數，且最大值為2C．奇函數，且最大值為 D．偶函數，且最大值為【答案】D【解析】由題意，，所以該函數為偶函數，又，所以當時，取最大值.故選：D.14．（2021·全國·統考高考真題）把函數圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數的圖像，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】解法一：函數圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，得到的圖象，再把所得曲線向右平移個單位長度，應當得到的圖象，根據已知得到了函數的圖象，所以，令,則,所以,所以；解法二：由已知的函數逆向變換，第一步：向左平移個單位長度，得到的圖象，第二步：圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到的圖象，即為的圖象，所以.故選：B.15．（2022·全國·統考高考真題）若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】[方法一]：直接法由已知得：,即：，即：所以故選：C[方法二]：特殊值排除法解法一:設β=0則sinα+cosα=0，取，排除A,B；再取α=0則sinβ+cosβ=2sinβ，取β，排除D；選C.[方法三]：三角恒等變換所以即故選：C.16．（2021·全國·高考真題）若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，，解得，，.故選：A.17．（2023·江蘇連云港·統考模擬預測）若函數在區間上的最大值為，則常數的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，當時，，則函數的最大值為，解得.故選：C.18．（2023·山東濰坊·統考一模）已知角在第四象限內，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知可得，，所以，所以，.又角在第四象限內，所以.故選：D.19．（2023·上海黃浦·統考一模）已知，且函數恰有兩個極大值點在，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，，∴，又∵在恰有2個極大值點，∴由正弦函數圖象可知，，解得：.故選：B.20．（2023·陜西西安·統考一模）我國古代數學家僧一行應用“九服晷影算法”在《大衍歷》中建立了晷影長1與太陽天頂距的對應數表，這是世界數學史上較早的一張正切函數表，根據三角學知識可知，晷影長度l等于表高h與太陽天頂距正切值的乘積，即．對同一“表高”兩次測量，第一次和第二次太陽天頂距分別為，且，若第二次的“晷影長”與“表高”相等，則第一次的“晷影長”是“表高”的（

）A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍【答案】B【解析】依題意，，則，所以第一次的“晷影長”是“表高”的2倍.故選：B21．（2023·全國·模擬預測）若且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，得，則，因為，因為，所以，故，當且僅當，即時，等號成立，故，所以，所以的最小值是，故選：B22．（2023·四川南充·校考模擬預測）若銳角滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為，所以，又因為，所以，，所以.故選：A23．（2023·陜西榆林·統考一模）已知，則（

）A． B．3 C． D．【答案】C【解析】由，解得，則.故選：C．24．（2023·陜西渭南·統考一模）若，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】變形為，即，因為，所以，，所以，因為，所以，解得：，因為，，解得：.故選：B25．（2023·全國·校聯考模擬預測）已知函數，則下列結論正確的是（

）A．在區間上單調遞減B．在區間上有極小值C．設在區間上的最大值為M，最小值為m，則D．在區間內有且只有一個零點【答案】D【解析】因為，所以．當時，令，解得，則當x變化時，，的變化情況如下表所示．x－0＋0－單調遞減單調遞增單調遞減所以在區間上的圖象如圖所示．對A，在區間上單調遞增，A錯；對B，在區間上有極大值，無極小值，B錯；對C，在區間上的最大值為，最小值為，，C錯；對D，在區間內有且只有一個零點，D對.故選：D.26．（2023·湖北武漢·統考模擬預測）已知函數的部分圖象如圖所示，其中.在已知的條件下，則下列選項中可以確定其值的量為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據圖象可知，函數的圖象是由向右平移個單位得到的；由圖可知，利用整體代換可得，所以，若為已知，則可求得.故選：B27．（2023·新疆烏魯木齊·統考一模）已知函數（，）的圖象過點，且在區間內不存在最值，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】函數的圖象過點，,，即，又，，令，即，當時，函數取最值，在區間內不存在最值，，解得，當時，不存在；當時，，又，，當時，，當時，不存在；綜合得的取值范圍是.故選：D.28．（2023·浙江·校聯考模擬預測）已知函數在上單調遞增，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當時，，∵在上單調遞增，∴，∴，即，∴，，，則由得：，解得：.當時，滿足題要求.故選：D29．（2023·湖南·模擬預測）將函數圖像上各點的橫坐標變為原來的倍，縱坐標不變，得到函數的圖像，若對于滿足的，，都有，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題可得，若滿足，則和必然一個為極大值點，一個為極小值點，又，則，即，所以，所以．故選：A．30．（2023·陜西·西安市西光中學校聯考一模）函數在上有唯一的極大值，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】方法一：當時，，因為函數在上有唯一的極大值，所以函數在上有唯一極大值，所以，，解得.故選：C方法二：令，，則，，所以，函數在軸右側的第一個極大值點為，第二個極大值點為，因為函數在上有唯一的極大值，所以，解得.故選：C31（2023·陜西榆林·校考模擬預測）將函數的圖像分別向左?向右各平移個單位長度后，所得的兩個圖像的對稱軸重合，則的最小值為（

）A．3 B． C．6 D．【答案】D【解析】∵將函數的圖像分別向左、向右各平移個單位長度后，所得的兩個函數圖像的對稱軸重合，故當最小時，有

，解得：，故選：D．32．（2023·吉林·統考二模）近日，吉林市豐滿區東山頂上新建了一處打卡地朱雀云頂觀景塔，引來廣大市民參觀,某同學在與塔底水平的A處利用無人機在距離地面21的C處觀測塔頂的俯角為，在無人機正下方距離地面1的B處觀測塔頂仰角為，則該塔的高度為（

）A．15 B．16 C． D．【答案】B【解析】根據題意可得，m，m，所以m；設塔頂為點，作于，如下圖所示：易知，所以，所以m，同理m，即塔高m；所以該塔的高度為16.故選：B33．（2022·全國·統考高考真題）（多選）已知函數的圖像關于點中心對稱，則（

）A．在區間單調遞減B．在區間有兩個極值點C．直線是曲線的對稱軸D．直線是曲線的切線【答案】AD【解析】由題意得：，所以，，即，又，所以時，，故．對A，當時，，由正弦函數圖象知在上是單調遞減；對B，當時，，由正弦函數圖象知只有1個極值點，由，解得，即為函數的唯一極值點；對C，當時，，，直線不是對稱軸；對D，由得：，解得或,從而得：或,所以函數在點處的切線斜率為，切線方程為：即．故選：AD．34．（2021·全國·統考高考真題）（多選）已知為坐標原點，點，，，，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】A：，，所以，，故，正確；B：，，所以，同理，故不一定相等，錯誤；C：由題意得：，，正確；D：由題意得：，，故一般來說故錯誤；故選：AC35．（2023·廣東梅州·統考一模）（多選）函數（，）的部分圖像如圖所示，則下列結論正確的是（

）A．B．函數的圖像關于直線對稱C．函數在單調遞減D．函數是偶函數【答案】AB【解析】根據函數圖象可得，即函數的最小正周期為，可得，即A正確；又因為函數圖象過，所以，可得，又可得，所以；將代入可得，所以為函數的一條對稱軸，即B正確；當時，，根據正弦函數單調性可得函數在上先減后增，所以C錯誤；易得是奇函數，即D錯誤.故選：AB36．（2023·山東菏澤·統考一模）（多選）已知函數，下列命題正確的有（

）A．在區間上有3個零點B．要得到的圖象，可將函數圖象上的所有點向右平移個單位長度C．的周期為，最大值為1D．的值域為【答案】BC【解析】對于A項，由已知可得，.因為，所以，當或時，即或時，有，所以在區間上有2個零點，故A項錯誤；對于B項，將函數圖象上的所有點向右平移個單位長度得到函數，故B項正確；對于C項，由已知可得，，所以，的周期，最大值為，故C項正確；對于D項，.令，，，則.解，可得.解，可得，所以在上單調遞增；解，可得或，所以在上單調遞減，在上單調遞減.且，，，.所以，當時，有最小值；當時，有最大值.所以，的值域為，故D項錯誤.故選：BC.37．（2023·山東威海·統考一模）（多選）已知函數的部分圖像如圖所示，則（

）A． B．C．在上單調遞增 D．若為偶函數，則【答案】AC【解析】由圖像可知A=1,,則，則，故，且過點，則，，因為，所以，故，故A正確，B錯誤；，令，在時單調遞增，則在上單調遞增，故C正確；為偶函數，則，即，故D錯誤；故選：AC.38．（2023·安徽宿州·統考一模）（多選）已知函數，其圖象相鄰對稱軸間的距離為，點是其中一個對稱中心，則下列結論正確的是（

）A．函數的最小正周期為B．函數圖象的一條對稱軸方程是C．函數在區間上單調遞增D．將函數圖象上所有點橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標縮短為原來的一半，再把得到的圖象向左平移個單位長度，可得到正弦函數的圖象【答案】AB【解析】已知函數（，），其圖像相鄰對稱中軸間的距離為，故最小正周期,，點是其中一個對稱中心，有，,，由，∴，可以求得.最小正周期，故選項正確；由于，所以是函數圖象的一條對稱軸方程，故選項正確；時，正弦曲線的先增后減，故選項錯誤；將函數圖像上所有點橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標縮短為原來的一半，再把得到的圖像向左平移個單位長度，可得到，選項D錯誤.故選：.39．（2023·全國·模擬預測）（多選）下列是函數圖象的對稱軸方程的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】，因為函數的圖象的對稱軸方程為，即，所以的圖象的對稱軸方程為，易知BC正確．故答案為：BC40．（2023·全國·模擬預測）（多選）已知函數，則下列說法正確的有（

）A．函數的最小正周期為B．函數的單調遞增區間為C．函數在區間上取得最大值時D．函數的圖象關于點對稱【答案】CD【解析】由題意得，，A選項：函數的最小正周期，所以A錯誤；B選項：令，得，故函數的單調遞增區間為，所以B錯誤；C選項：當時，，則當，即時，函數取得最大值，所以C正確；D選項：由，得，取，得，故函數的圖象關于點對稱，所以D正確.故選：CD41．（2023·安徽蚌埠·統考二模）（多選）已知函數，將的圖像上所有點向右平移個單位長度，然后橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到函數的圖像．若為奇函數，且最小正周期為，則下列說法正確的是（

）A．函數的圖像關于點中心對稱B．函數在區間上單調遞減C．不等式的解集為D．方程在上有2個解【答案】ACD【解析】根據題意可得，，又因為最小正周期為，則，且，則，即，又因為為奇函數，則解得，且，所以當時，，所以，則，對于A，當時，，所以點是的對稱中心，故正確；對于B，令，解得，所以不是的子集，故錯誤；對于C，因為，即，所以，解得，故正確；對于D，分別畫出與在的圖像，通過圖像即可得到共有兩個交點，故正確.故選:ACD42（2023·全國·模擬預測）（多選）密位制是度量角的一種方法，把一周角等分為6000份，每一份叫做1密位的角.在角的密位制中，單位可省去不寫，采用四個數碼表示角的大小，在百位數與十位數之間畫一條短線，如7密位寫成“0—07”，478密位寫成“4—78”.若，則角可取的值用密位制表示可能是（

）A．10—50 B．2—50 C．13—50 D．42—50【答案】BD【解析】，，，，即，或，對于選項A：密位制10—50對應的角的弧度制為，不符合題意，故選項A錯誤；對于選項B：密位制2—50對應的角的弧度制為，符合題意，故選項B正確；對于選項C：密位制13—50對應的角的弧度制為，不符合題意，故選項C錯誤；對于選項D：密位制42—50對應的角的弧度制為，符合題意，故選項D正確；綜上所述，選項BD正確，故選：BD.43．（2023·吉林·長春十一高校聯考模擬預測）（多選）已知函數（）的最小正周期滿足，且是的一個對稱中心，則（

）A． B．的值域是C．是的一條對稱軸 D．是的一個零點【答案】BC【解析】因為函數的最小正周期滿足，且，則，解得：，令，，解得：，，則函數（）的對稱中心為（），又有是的一個對稱中心，所以，，即，，所以，所以A選項錯誤；則函數，當時，，則，所以B選項正確；當時，，則是函數的一條對稱軸，所以C選項正確；當時，，則不是函數的零點，所以D選項錯誤；故選：BC.44．（2023·海南省直轄縣級單位·統考模擬預測）（多選）已知函數，則下列說法中正確的有（

）A．函數的圖象關于點對稱B．函數圖象的一條對稱軸是C．若，則函數的最小值為D．若，，則的最小值為【答案】BCD【解析】在的圖象上取一點，其關于點對稱的點不在的圖象上，所以函數的圖象不關于點對稱，故A不正確；因為，所以函數圖象的一條對稱軸是，故B正確；若，則，所以，故C正確；因為，所以，所以，故D正確.故選：BCD45．（2022·浙江·統考高考真題）我國南宋著名數學家秦九韶，發現了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補了我國傳統數學的一個空白．如果把這個方法寫成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積．設某三角形的三邊，則該三角形的面積___________．【答案】.【解析】因為，所以．故答案為：.46．（2022·全國·統考高考真題）記函數的最小正周期為T，若，為的零點，則的最小值為____________．【答案】【解析】因為，（，）所以最小正周期，因為，又，所以，即，又為的零點，所以，解得，因為，所以當時；故答案為：47．（2022·浙江·統考高考真題）若，則__________，_________．【答案】

【解析】[方法一]：利用輔助角公式處理∵，∴，即，即，令，，則，∴，即，∴，則.故答案為：；.[方