2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）

數(shù)學(xué)參考答案

一、選擇題（共10小題,每小題4分，共40分）

(1)B(2)D(3)A(4)A(5)B

(6)C(7)D(8)B(9)C(10)C

二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）

(11)-4(12)54拓

(13)03（14）—（答案不唯一）

12

（15）①②④

三、解答題（共6小題，共85分）

（16）（共13分）

解：（I）由正弦定理—2—=—J及c=?cos8,得C=2sin8cos8.

sinBsinC

因為NC=二,所以sin28=^.

32

又因為0<N8〈工，所以/8=工.

36

（ID選條件②：叢ABC的周長為4+26.

所以△ABC是頂角為二，底角為工的等腰三角形.

36

所以a=b,c=?j3a.

由題設(shè)，（2+G）a=4+2G所以a=2.

設(shè)BC邊上中線的長為4.

由余弦定理得八圖+Y-2x?|"x〃cosC.

所以加=l+4-2xlx2x

故d=不.

選條件③：XABC的面積為之叵

4

所以aABC是頂角為二，底角為生的等腰三角形.

36

所以a=b.

由題設(shè)，工。2$m二=空.所以。=6.

234

設(shè)BC邊上中線的長為”.

由余弦定理得才=圖"-2乂1xacosC

所以/=《+3-2x冬豆x(-￡].

(17)(共14分)

解：(I)在正方體A8C￡)-AgG〃中，

因為CDIIC、D\,且平面A4G0，所以CDH平面.

因為平面CDEn平面AqCQ=EF,所以CD〃EF.

所以C0J/EF.

因為E為AR的中點，所以尸為的中點.

(II)不妨設(shè)正方體的棱長為2.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

則。(0,0,0),C(0,2,0),F(l,2,2).

所以配(0,2,0),CF=(l,0,2).

設(shè)平面CDE的法向量為/n=(xi,yi,zi),則

mDC=0,

mCF=0,

令4=1,則與=-2,y=0.

于是m=(-2,0,1).

由題設(shè)，存在Ae[0,l),使得m=44瓦

所以M(2,24,2).

所以可，=(1,22—2,0).

設(shè)平面MFC的法向量為〃=（工2，%，22），則

nFM=0,x,+(2%—2)%=0,

即

n-CF=O,x2+2Z2=0.

令馬=2,貝IJZ2=_1,%=T^7

1—/t

所以/l=L

2

所以4州=1.

A42

(18)(共13分)

解：（I）（i）依題意，如果感染新冠病毒的2人在同一組，則該組需要檢測11次,

其他9個組都只需要檢測1次，所以檢測總次數(shù)為20.

（ii）由（i）知，當(dāng)感染新冠病毒的2人分在同一組時，檢測的總次數(shù)是20.

當(dāng)感染新冠病毒的2人分在不同組時，可以求得檢測的總次數(shù)是30.

所以隨機變量X的可能取值為20,30.

因為感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為工

11

所以感染新冠病毒的2人分在不同組的概率為1-工=竺.

1111

所以隨機變量X的分布列為:

X2030

P110

11TT

故隨機變量X的數(shù)學(xué)期望EX=20x'+30x”=3”.

1111II

（II）EY>EX.

（19）（共15分）

解：（I）當(dāng)。=0時，/（x）=4--,r（x）=-4+4-

Xx5X

所以〃元）=1,r（x）=4

所以曲線丁=在點（1J（1））處的切線方程為y-1=-4（x-1）,

即y—Tx+5.

2

由3-2%.（,-2，+a）-2x（3-3x）2（x-3x-a）

（II）由〃x）=不得八》）=-（7^—=…）?

由題意知/'（-1）=0,所以（-lf-3x（_l）_a=0.故“=4.

當(dāng)”4時，〃力羔，尸（力^^?

A+4（丁+4）

/(X)與/(X)的情況如下:

X-1（-1,4）4（4,+oo）

“X）+0-0+

/1X/

~4

因此，/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-00,-1)和(4,+8),單調(diào)遞減區(qū)間是(-1,4).

所以/(%)在區(qū)間(-8,4］上的最大值是/(-1)=1.

又因為當(dāng)xw(4,+8)時，/(x)<0,所以/(-1)=1是f(x)的最大值.

同理可知，/(4)=一工是/(X)的最小值.

(20)(共15分)

解：(I)b=2」x2ax抄=4百.所以〃=4百.

2

22

所以橢圓E的方程為工+匕=1.

54

(II)直線的方程為y=H-3.

由卜二,得(5爐+4)幺-30依+25=0.

4/+5)3=20'7

由A=(-30^)2-4x(5k2+4)x25=400(公-1)>0,得網(wǎng)>1.

設(shè)8(x”yJ，C&，x)，則X+M=端§0%=羌7?

直線AB的方程為'=21出》一2.

百

令y=-3,得點M的橫坐標(biāo)為/=上^=一一匚.

y+2kxx-1

同理可得點N的橫坐標(biāo)為與=

由題設(shè)，y+2>0,y,+2>0,王達(dá)>0,所以與/=7-----號----->0.

(y+2)(y+2)

所以山，4同號.

所以儼M|+|PM=%+4

XIW

kx{-1kx2-1

2kxix2一（七+%）

2

kx1x2一攵（蒼+%）+1

2530k

5代+4-5父+4

正二一三+1

5&②+45公+4

=5網(wǎng).

由題設(shè)，5|左H15.

所以1<|火區(qū)3.

所以A的取值范圍是[-3,-1)U。,3].

(21)(本小題15分)

解：(I)數(shù)列｛。"｝不可能為h，數(shù)歹IJ.理由如下:

因為p=2,q=2,%=一2,所以q+%+p=2,at+a2+p+l=3.

因為a,=-2%史｛弓+4+P，4+出+P+1｝.

所以數(shù)列｛〃"｝不滿足性質(zhì)③.

（H）根據(jù)況。數(shù)列的定義，可知｛4｝滿足：

a,20,a2=0；a4n_t<a4?；am+n<am+an或am+n<am+a?+l.

。,用<4,+4或=《,+4+1，以及420,可知

所以q=0.

由4=4+%=0或%=々I+/+1=1；。4=。2+。2=0或4=%+。2+1=1，

以及a3<a4f可知%=0,a4=1.

由%=。2+%=0或%=出+%+1=1，

以及6W。4，可知％=1?

（III）假設(shè)數(shù)列｛〃“｝是滿足"S“2Ho恒成立”的此數(shù)列.

因為a“+i=。“+q+p或an+l=a〃+q+p+l,且q+'NO,所以afl+l>afl.

由一pWqW%=-〃，可知4=一〃.

從而=a?+l+a,+p=a,用或％“=+q+p+1=a,用+1.

又因為*<?4?-所以?4?=j+1?

因為%=%+1，且％之生=一〃，所以。4之一0+1,

又因為%=%+%+P+1=-P+1，所以4=一〃+1，%=-P.

因為。12=46+4+〃+1，且。64%+%+〃+1=一2+1，所以％2〈一〃+3.

因為1，所以414一〃+2.

由SuNRo可知即20,所以〃42.

由4oN&+%+1及％2%=~P+1，可知a［。N-p+2.

由S’NSio可知《。（0，所以〃22.

綜上可知，若數(shù)列｛4｝是滿足“5,2金恒成立”的況,數(shù)列，貝l」p=2.

當(dāng)p=2時，考慮數(shù)列｛七｝;

—2+左,〃w142+1,4%+2,4Z+3｝,/

a\