鉆井液對鉆柱橫向振動固有頻率的影響

在鉆井過程中，井柱的壓力容量相對復雜，工作環(huán)境異常差別很大。當時，井柱是一個極其復雜的動力學系統(tǒng)。在諸多下部鉆具振動的影響因素中,鉆井液的存在和流動對下部鉆具的橫向振動和穩(wěn)定性起著重要作用。相對于靜力學分析而言,鉆柱的動力學研究更能反映井下鉆柱的實際工作狀況,對解決鉆頭的鉆進方向和鉆柱疲勞破壞等問題更有現(xiàn)實意義。在深井和超深井中,下部鉆柱組合的橫向振動在向井口傳遞的過程中衰減很大,即使下部鉆具有較強烈的橫向振動,而在地面上的反映也不明顯。為了進行有效的最優(yōu)化鉆井設計,有必要從理論上對鉆柱的運動形式進行探討,為最優(yōu)化鉆井中有關參數(shù)的選取提供理論依據(jù)。因此,筆者建立考慮鉆柱內、外鉆井液影響時的下部鉆具橫向振動模型,研究鉆井液對下部鉆具橫向振動的影響規(guī)律。1橫向振動模型為了說明鉆柱橫向振動的特點和鉆柱內、外鉆井液對鉆柱橫向振動的影響,假設鉆柱為一個兩端簡支的均勻等截面彈性圓管,井筒為等截面剛性圓筒,當鉆柱靜止時,井筒的軸線和鉆柱的軸線重合。如圖1所示,z坐標鉛直向下為正,x和y坐標為鉆柱的橫向振動方向。設要研究的鉆柱長度為L,抗彎剛度為EI,作用在鉆柱上的軸向壓力(鉆壓)為p0,不考慮重力對鉆柱橫向振動的影響,鉆柱的內、外直徑分別為D1和D,井筒的直徑為D0,鉆井液為理想流體,其密度為ρ。取較為簡單的鉆柱橫向振動模型,同時不考慮軸向力。鉆柱橫向振動滿足如下的運動方程:EΙ?4y?z4+ρA?2y?t2=0.(1)EI?4y?z4+ρA?2y?t2=0.(1)其中I=(D4-D4141)π/64,A=(D2-D21)π/4.式中,y為鉆柱的橫向撓度,m;z為鉆柱的軸向坐標,m;E為鉆柱材料的楊氏彈性模量,Pa;t為時間,s;I為鉆柱橫截面慣性矩,m4;A為鉆柱的橫截面面積,m2。若發(fā)生振動的橫截面的長度為l,此問題的邊界條件為{y(0,t)=y(l,t)=0,?2y?t2(0,t)=?2y?t2(l,t)=0.(2){y(0,t)=y(l,t)=0,?2y?t2(0,t)=?2y?t2(l,t)=0.(2)由方程(1)及邊界條件可求得鉆柱的一階固有頻率的解為ω1=π2l2√EΙρA.ω1=π2l2EIρA???√.2加速度、轉速和推動溫度we鉆井液絕對加速度的構成如圖2所示。以鉆柱內的一微段鉆井液作為研究對象,設這一微段鉆井液的流動方向和井眼軸線的夾角為θ,鉆井液的流速為一常數(shù)。這一微段鉆井液的絕對加速度aa由相對加速度、牽連加速度和科氏加速度3部分組成,即aa=ae+an+ak=ae+anr+anτ+ak.其中ae=?2y?z2,anr=v2ρ=-v2?2y?z2,ak=2ωevr=2v?2y?z2?t,anτ=0.ae=?2y?z2,anr=v2ρ=?v2?2y?z2,ak=2ωevr=2v?2y?z2?t,anτ=0.式中,ae,anr和anτ分別為鉆井液柱的牽連加速度、法向加速度和切向加速度,m/s2;ak為科氏加速度,m/s2;v為鉆井液柱的流速,m/s;ωe為鉆柱在振動時的轉動速度,rad/s;vr為相對速度。考慮到鉆柱為小變形,θ很小,cosθ≈1,ak,anr在y方向的投影近似為它們的數(shù)值。因此有aa=(?2y?t2+2v?2y?z?t+v2?2y?z2).(3)aa=(?2y?t2+2v?2y?z?t+v2?2y?z2).(3)設鉆柱內鉆井液柱的橫截面積為A′,則單位長度的鉆井液的質量為ρA′,利用達朗伯原理,單位長度鉆井液的慣性力為G′=ρA′(?2y?t2+2v?2y?z?t+v2?2y?z2).(4)將式(4)代入式(1),經整理得到考慮鉆柱內鉆井液影響下的鉆柱橫向振動的微分方程為EΙ?4y?z4+ρA′v2?2y?z2+(ρA+ρA′)?2y?t2+2ρA′v?2y?y?t=0.(5)邊界條件仍然為式(2)。3單位長度鉆柱橫向振動文獻中也提到了環(huán)空內鉆井液對鉆柱橫向振動的影響。由于環(huán)空中鉆井液的流速相對較低,可不考慮環(huán)空內鉆井液的流速。連續(xù)介質的運動遵循質量守恒和動量守恒定律。小幅振動時環(huán)空內鉆井液的運動方程為Δ4Ψ-1ν??tΔ2Ψ=0.(6)式中,ν為鉆井液的運動粘性系數(shù),m2/s;Δ2為拉普拉斯算子;Ψ為流函數(shù)。環(huán)空內振動的鉆柱如圖3所示。在r和θ方向上鉆井液的速度分量分別為ur=-?Ψr?θ和uθ=?Ψ?r。鉆柱表面上鉆井液的速度必須在鉆柱橫向振動的方向上,所以,鉆柱外表面上的ur和uθ應滿足條件{ur=?u?tcosθexp(iωt),uθ=-?u?tsinθexp(iωt).(7)式中,ω為鉆柱橫向振動的頻率。在r=D0/2處,也就是在井壁上,鉆井液的速度為零,因此,ur=uθ=0.(8)式(6)～(8)就是簡化后的環(huán)空內的鉆井液在鉆柱橫向振動下運動的完整的數(shù)學描述。方程(6)的解為Ψ=α[A1(D2r)+A2r+A3DΙ1(λr)+A4DΚ1(λr)]sinθexp(iωt).(9)其中λ=√iων,α=λD/2.式中,A1,A2,A3,A4為任意常數(shù);K1和I1為貝塞爾函數(shù)。利用式(7)和(8),可以確定A1,A2,A3,A4的值,結果如下:A1={-α2[I0(α)K0(β)-I0(β)K0(α)]+2α[I1(α)K0(β)+I0(β)K1(α)]-2αγ[I0(α)K1(β)+I1(β)K0(α)]+4γ[I1(α)K1(β)-I1(β)K1(α)]}/Δ;A2={2αγ[I1(β)K0(β)+I0(β)K1(β)]+αγ2[I0(α)K0(β)-I0(β)K0(α)]-2αγ2[I1(α)K0(β)+I0(β)K1(α)]}/Δ;A3={-2αK0(β)-4γK1(β)+γ2[2αK0(α)+4K1(α)]}/Δ;A4={-2αI0(β)+4γI1(β)+γ2[2αI0(α)-4I1(α)]}/Δ.其中Δ=α2(1-γ2)[I0(α)K0(β)-I0(β)K0(α)]+2αγ[I0(α)K1(β)-I1(β)K1(β)+I1(β)K1(α)-I0(β)K1(β)]+2αγ2[I0(β)K1(α)-I0(α)K1(α)+I1(α)K0(β)-I1(α)K0(α)],β=λD0/y,γ=D0/D.式中,I和K都是貝塞爾函數(shù)。單位長度鉆柱所受到環(huán)空內鉆井液的作用力可以直接計算為f=Mdαω[ReHsinωt+ImHcosωt].(10)在正常鉆井時,認為鉆柱的橫向振動是一種穩(wěn)態(tài)振動,式(10)可以寫為f=-CmΜdd2ydt2-Cvdydt.(11)其中Cm=ReH,Cv=-MdωImH,Md=ρπR2;H={2α2[I0(α)K0(β)-I0(β)K0(α)]-4α[I1(α)K0(β)+I0(β)K1(α)]+4αγ[I0(α)K1(β)+I1(β)K0(α)]-8γ[I1(α)K1(β)-I1(β)K1(α)]}/{α2(1-γ2)[I0(α)K0(β)-I0(β)K0(α)]+2αγ[I0(α)K1(β)-I1(β)K0(β)+I1(β)K0(α)-I0(β)K1(β)]+2αγ2[I0(β)K1(α)-I0(α)K1(α)+I1(α)K0(β)-I1(β)K0(α)]}-1.與鉆井液運動有關的兩個力是:(1)-CmΜdd2ydt2,與鉆柱的加速度同相,是由于鉆井液必須像鉆柱振動那樣運動而產生的;(2)MdαωImHcosωt,它與鉆柱的運動相反,與阻尼機理有關。由以上的分析可知,H與α,β之間的關系是非常復雜的。但在特殊情況下,可以得到簡化結果。當γ=0時,Η=D20+D2D20-D2.(12)將式(11)和(12)代入式(5),得到同時考慮鉆柱內、外鉆井液對鉆柱橫向振動影響的微分方程,即EΙ?4y?z4+ρA′v2?2y?z2+(ρA+ρA′+CmΜd)?2y?t2+Cv?y?t+2ρA′v?2y?y?t=0.一般情況下,鉆柱內鉆井液柱的法向加速度和科氏加速度都比較小,鉆井液的阻尼也較小,計算時可忽略不計。這樣,鉆柱橫向振動的前兩階的固有頻率可表示為{ω1=π2L2√EΙΜ(1-L2π2EΙρA′),ω2=2π2L2√EΙΜ(4-L2π2EΙρA′).其中M=ρA+ρA′+CmMd.4鉆井液對鉆柱橫向振動的影響鉆柱的橫向振動主要起源于中和點至鉆頭段的鉆柱,中和點以上很少有引起劇烈振動的因素。在振動過程中,存在能量的轉化和損失,從弦振動的角度來看,當軸向拉力變大時,振動頻率增高,振動傳播速度快;當軸向力變?yōu)榱銜r,振動就不能在弦中傳播。取鉆柱的長度為100m,設鉆柱由內徑為5.72cm、外徑為17.78cm的鉆鋌構成。它的截面慣性矩為I=1007cm4,在空氣中的單位長度質量為69.49kg/m,彈性模量E=206GPa,鉆井液的密度ρ=1.2g/cm3,井眼的直徑為21.59cm。鉆井液的排量Q=25020cm3/s。根據(jù)已知條件,若不考慮鉆柱內、外鉆井液影響,鉆柱橫向振動的前兩階自振頻率為ω1=0.235rad/s,ω2=0.965rad/s;若只考慮鉆柱內鉆井液的影響,則鉆柱橫向振動的前兩階自振頻率為ω1=0.234rad/s,ω2=0.949rad/s;若同時考慮鉆柱內、外鉆井液的影響,則鉆柱橫向振動的前兩階自振頻率為ω1=0.170rad/s,ω2=0.696rad/s.計算結果表明,鉆井液對鉆柱固有頻率的影響主要表現(xiàn)為一種附加質量的影響。附加質量系數(shù)Cm和井眼直徑與鉆柱外徑的比值D0/D有關,當D0/D為10.0,8.0,6.0,4.0,2.0,1.8,1.6,1.4,1.2,1.10,1.08,1.06,1.04,1.02時,Cm分別為1.06,1.07,1.09,1.16,1.69,1.92,2.28,3.12,5.54,10.6,13.1,17.4,25.8,51.0。井眼直徑與鉆柱外徑的比值一般在1.2左右,隨著D0/D