第七章統(tǒng)計案例§1一元線性回歸1.1直線擬合1.2一元線性回歸方程學(xué)習(xí)目標1.能結(jié)合實例,根據(jù)散點圖直觀研究直線的擬合問題,培養(yǎng)直觀想象和數(shù)學(xué)建模能力.2.了解最小二乘法原理,能利用最小二乘法求一元線性回歸方程,并能根據(jù)線性回歸方程進行預(yù)測.提升數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).知識梳理·自主探究師生互動·合作探究知識梳理·自主探究知識探究問題:在現(xiàn)實生活中,反映量與量之間的函數(shù)關(guān)系非常普遍,但也存在一些量與量之間不滿足函數(shù)關(guān)系,如學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與物理成績.許多同學(xué)常說,數(shù)學(xué)物理不分家,一般說來,一個學(xué)生數(shù)學(xué)成績越高,物理成績就越好,二者確實有關(guān)系.為了了解班里數(shù)學(xué)與物理學(xué)習(xí)情況,某次考試之后,班主任從全班同學(xué)中隨機抽取一個容量為5的樣本,他們的數(shù)學(xué)、物理成績(單位:分)對應(yīng)如表:學(xué)生學(xué)科成績ABCDE數(shù)學(xué)成績8876736663物理成績7865716461把數(shù)學(xué)成績看作橫坐標x,物理成績看作縱坐標y,在平面直角坐標系中畫出對應(yīng)的點,然后描述物理成績隨數(shù)學(xué)成績變化的情況.提示:如圖所示,隨著數(shù)學(xué)成績的增大,物理成績基本上呈現(xiàn)直線增加的趨勢.1.直線擬合(1)上述問題中,每位學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與物理成績構(gòu)成一對數(shù)據(jù)(xi,yi),稱為

.這些點構(gòu)成的圖稱為

.(2)如果變量之間存在著某種關(guān)系,這些點會有一個大致趨勢,這種趨勢通常可以用一條光滑的曲線來近似地描述,這樣近似描述的過程稱為

.(3)若在兩個變量X和Y的散點圖中,所有點看上去都在一條直線附近波動,此時就可以用一條直線來近似地描述這兩個量之間的關(guān)系,稱之為

.思考:在問題中,若是從中選兩個點,使得其余的點在這兩個點所連直線兩側(cè)盡可能一樣多且偏離程度較小,你認為選哪兩個點比較合適?你可以先剔除一些顯然不合適的點,你認為這些點中哪些點不合適?提示:連接(88,78),(63,61).點(76,65),(73,71)不合適,可以剔除.成對數(shù)據(jù)散點圖曲線擬合直線擬合2.一元線性回歸方程最小二乘法師生互動·合作探究探究點一[例1]某種木材體積與樹木的樹齡之間有如表的對應(yīng)關(guān)系:直線擬合樹齡2345678體積30344060556270(1)請作出這些數(shù)據(jù)的散點圖;解:(1)以x軸表示樹木的樹齡,y軸表示樹木的體積,可得相應(yīng)的散點圖如圖所示.[例1]某種木材體積與樹木的樹齡之間有如表的對應(yīng)關(guān)系:樹齡2345678體積30344060556270(2)你能由散點圖發(fā)現(xiàn)木材體積與樹木的樹齡近似成什么關(guān)系嗎?解:(2)由散點圖發(fā)現(xiàn)木材體積隨著樹齡的增加而呈增加的趨勢,且散點落在一條直線附近,所以木材的體積與樹齡成線性關(guān)系.變式探究1:若近似成線性相關(guān)關(guān)系,請畫出一條直線來近似地表示這種線性相關(guān)關(guān)系.解:近似擬合直線如圖所示.變式探究2:若該種木材每單位體積的價值是80元,作出木材的價值與樹齡之間關(guān)系的散點圖.解:木材的價值與樹齡之間的關(guān)系如表所示.樹齡2345678體積30344060556270價值2400272032004800440049605600以x軸表示樹木的樹齡,y軸表示樹木的價值,可得相應(yīng)的散點圖如圖所示.方法總結(jié)用散點圖可以直觀地發(fā)現(xiàn)成對數(shù)據(jù)之間大致滿足的函數(shù)關(guān)系,當(dāng)散點呈帶狀分布時,可以用曲線擬合;當(dāng)散點大致在一條直線附近波動時,可以用直線擬合.[針對訓(xùn)練](多選題)在下列散點圖中,兩個變量可以用直線擬合的是(

)解析:對于A中兩個變量,可以用曲線擬合,不可以用直線擬合;對于B,C中兩個變量,都可以用直線擬合;對于D所示的散點圖中,樣本點不成帶狀分布,不可以用曲線擬合.故選BC.探究點二[例2](2021·四川南充一模)某特色餐館開通了外賣服務(wù),在一周內(nèi)的某特色菜外賣份數(shù)X(份)與收入Y(元)之間有如表的對應(yīng)數(shù)據(jù):一元線性回歸方程外賣份數(shù)X/份24568收入Y/元3040605070(1)畫出散點圖;解:(1)作出散點圖如圖所示.[例2](2021·四川南充一模)某特色餐館開通了外賣服務(wù),在一周內(nèi)的某特色菜外賣份數(shù)X(份)與收入Y(元)之間有如表的對應(yīng)數(shù)據(jù):外賣份數(shù)X/份24568收入Y/元3040605070方法總結(jié)求線性回歸方程的一般步驟①收集成對數(shù)據(jù),設(shè)為(xi,yi)(i=1,2,…,n)(數(shù)據(jù)一般由題目給出);②作出散點圖,確定X,Y具有線性關(guān)系;[針對訓(xùn)練](多選題)某同學(xué)參加社會實踐活動,隨機調(diào)查了某小區(qū)5個家庭的年可支配收入X(單位:萬元)與年家庭消費Y(單位:萬元)的數(shù)據(jù),制作了對照表:X/萬元2.72.83.13.53.9Y/萬元1.41.51.61.82.2由表中數(shù)據(jù)得線性回歸方程為Y=0.62X+∧a,得到下列結(jié)論,其中正確的是(

)A.若某戶年可支配收入為4萬元時,則年家庭消費約為2.3萬元B.若某戶年可支配收入為4萬元時,則年家庭消費約為2.196萬元C.若年可支配收入每增加1萬元,則年家庭消費相應(yīng)平均增加0.62萬元D.若年可支配收入每增加1萬元,則年家庭消費相應(yīng)平均增加0.1萬元探究點三回歸分析在實際問題中的應(yīng)用X12345Y22344(1)女性人數(shù)與組號X(組號變量X依次為1,2,3,4,5,…)具有線性相關(guān)關(guān)系,請預(yù)測從第幾組開始女性人數(shù)不低于男性人數(shù);X12345Y22344(2)在(1)的前提下,從9組中隨機抽取3組,若3組中女性人數(shù)不低于5人的有T組,求T的分布列與期望.方法總結(jié)(1)解決問題時應(yīng)首先對X,Y進行相關(guān)性檢驗,如果兩個變量之間本身不具有相關(guān)關(guān)系或者它們之間的相關(guān)關(guān)系不顯著,即使求出線性回歸方程進行估計和預(yù)測的量也是不可信的.年份2014201520162017201820192020年份代號T1234567人均月支出Y2.93.33