設某射擊手在同樣的條件下,瞄準靶子相繼射擊90次,(命中的環數是一個隨機變量).射中次數記錄如下引例射擊問題試問:該射手每次射擊平均命中靶多少環?命中環數k命中次數頻率一、數學期望的概念解平均射中環數平均射中環數頻率隨機波動隨機波動隨機波動穩定值“平均射中環數”的穩定值“平均射中環數”等于射中環數的可能值與其概率之積的累加1.離散型隨機變量的數學期望關于定義的幾點說明(1)E(X)是一個實數,而非變量,它是一種加權平均,與一般的平均值不同,它從本質上體現了隨機變量X取可能值的真正的平均值,也稱均值.(2)級數的絕對收斂性保證了級數的和不隨級數各項次序的改變而改變,之所以這樣要求是因為數學期望是反映隨機變量X取可能值的平均值,它不應隨可能值的排列次序而改變.例1（常見離散型隨機變量的數學期望）若X~b(1,p)：X~π(λ),2.連續型隨機變量數學期望的定義解因此,顧客平均等待5分鐘就可得到服務.例2

顧客平均等待多長時間?

設顧客在某銀行的窗口等待服務的時間X(以分計)服從指數分布,其概率密度為試求顧客等待服務的平均時間?例3（均勻分布的數學期望）設X~exp(λ)，則EX=1/λ例41.離散型隨機變量函數的數學期望二、隨機變量函數的數學期望若Y=g(X),且則有例5，P94，62.連續型隨機變量函數的數學期望若X是連續型的,它的分布密度為f(x),則例6：P94，10例7

解例10：P94,123.二維隨機變量函數的數學期望例9，P94，111.設C是常數,則有證明2.設X是一個隨機變量,C是常數,則有證明例如三、數學期望的性質4.設X,Y是相互獨立的隨機變量,則有3.設X,Y是兩個隨機變量,則有證明說明連續型隨機變量X的數學期望與離散型隨機變量數學期望的性質類似.解例5四、小結數學期望是一個實數,而非變量,它是一種加權平均,與一般的平均值不同,它從本質上體現了隨機變量X取可能值的真正的平均值.2.數學期望的性質一、隨機變量方差的概念及性質三、例題講解二、重要概率分布的方差四、小結第二節方差1.概念的引入方差是一個常用來體現隨機變量取值分散程度的量.實例有兩批燈泡,其平均壽命都是E(X)=1000小時.

一、隨機變量方差的概念及性質2.方差的定義方差是一個常用來體現隨機變量X取值分散程度的量.如果D(X)值大,表示X取值分散程度大,E(X)的代表性差;而如果D(X)值小,則表示X的取值比較集中,以E(X)作為隨機變量的代表性好.3.方差的意義離散型隨機變量的方差連續型隨機變量的方差4.隨機變量方差的計算

(1)利用定義計算

證明(2)利用公式計算證明5.方差的性質(1)設C是常數,則有(2)設X是一個隨機變量,C是常數,則有證明(3)設X,Y相互獨立,D(X),D(Y)存在,則證明推廣1.

兩點分布已知隨機變量X的分布律為則有二、重要概率分布的方差2.二項分布則有設隨機變量X服從參數為n,p二項分布,其分布律為3.泊松分布

則有所以4.

均勻分布則有結論

均勻分布的數學期望位于區間的中點.5.指數分布

則有6.正態分布則有分布參數數學期望方差兩點分布二項分布泊松分布均勻分布指數分布正態分布契比雪夫不等式證明取連續型隨機變量的情況來證明.

切比雪夫不等式契比雪夫得四、小結1.方差是一個常用來體現隨機變量X取值分散程度的量.如果D(X)值大,表示X取值分散程度大,E(X)的代表性差;而如果D(X)值小,則表示X的取值比較集中,以E(X)作為隨機變量的代表性好.2.方差的計算公式3.方差的性質4.契比雪夫不等式一、協方差與相關系數的概念及性質二、相關系數的意義三、小結第三節協方差及相關系數1.問題的提出一、協方差與相關系數的概念及性質協方差2.定義3.說明(2)相關系數描述的是隨機變量X和Y之間的線性相關關系，相關系數的絕對值越大，說明兩者之間線性相關程度越大，否則若相關系數等于0，說明兩者之間不存在線性相關關系，稱之為不相關。即X，Y不相關。不相關獨立但在二維正態中獨立和不相關是等價的證明：利用柯西-施瓦茲不等式該不等式的證明可通過定義t的函數g(t)作為t的二次函數應有即由此得而相關系數令X1=X-EX，Y1=Y-EY有4.協方差的計算公式證明5.性質

解例2一、協方差與相關系數的概念及性質二、相關系數的意義三、小結第三節協方差及相關系數1.問題的提出一、協方差與相關系數的概念及性質協方差2.定義3.說明(2)相關系數描述的是隨機變量X和Y之間的線性相關關系，相關系數的絕對值越大，說明兩者之間線性相關程度越大，否則若相關系數等于0，說明兩者之間不存在線性相關關系，稱之為不相關。即X，Y不相關。不相關獨立但在二維正態中獨立和不相關是等價的證明：利用柯西-施瓦茲不等式該不等式的證明可通過定義t的函數g(t)作為t的二次函數應有即由此得而相關系數令X1=X-EX，Y1=Y-EY有4.協方差的計算公式證明5.性質

解例2一、基本概念二、n維正態變量的性質三、小結第四節矩、協方差矩陣一、基本概念1.定義2.說明3.協方差矩陣協方差矩陣的應用協方差矩陣可用來表示多維隨機變量的概率密度，從而可通過協方差矩陣達到對多維隨機變量的研究由于引入矩陣由此可得由于推廣二、n維正態變量的性質線性變換不變性三、小結2.正態變量是最重要的隨機變量，其性質一定要熟練掌握.一、重點與難點二、主要內容三、典型例題第四章隨機變量的數字特征

習題課一、重點與難點1.重點數學期望的性質和計算2.難點數字特征的計算方差的性質和計算相關系數的性質和計算二、主要內容數學期望方差離散型連續型性質協方差與相關系數二維隨機變量的數學期望定義計算性質隨機變量函數的數學期望定義協方差的性質相關系數定理離散型隨機變量的數學期望連續型隨機變量的數學期望隨機變量函數的數學期望離散型隨機變量函數的數學期望為則有則有數學期望的性質1.設C是常數,則有2.設X是一個隨機變量,C是常數,則有3.設X,Y是兩個隨機變量,則有4.設X,Y是相互獨立的隨機變量,則有二維隨機變量的數學期望同理可得則則方差的定義方差的計算離散型隨機變量的方差連續型隨機變量的方差方差的性質1.設C是常數,則有2.設X是一個隨機變量,C是常數,則有協方差與相關系數的定義協方差的性質相關系數定理三、典型例題解例1解從數字0,1,2,…,n中任取兩個不同的數字,求這兩個數字之差的絕對值的數學期望.一般的例2解例3某銀行開展定期定