25.7

相似多邊形和圖形的位似第1課時

學(xué)習(xí)目標(biāo)從生活中形狀相同的圖形的實例中認(rèn)識相似圖形.理解相似多邊形及相似多邊形的性質(zhì)，并會應(yīng)用性質(zhì)解決問題.

（重點）12我們把這些形狀相同的圖形稱為相似圖形.

知識講解1相似圖形定義：知識講解兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到的.兩兩相似的幾何圖形2兩個相似圖形之間的關(guān)系【思考】全等圖形一定是相似圖形嗎?相似圖形一定全等嗎?它們之間有什么關(guān)系?結(jié)論:全等圖形是相似圖形的一種特殊情況.全等圖形一定相似,相似圖形不一定全等.

如圖所示,將四邊形ABCD用2倍放大鏡觀察得到四邊形A1B1C1D1,這兩個四邊形相似嗎?這兩個四邊形中的對應(yīng)角、對應(yīng)邊之間有什么關(guān)系?1.在四邊形ABCD及用2倍放大鏡觀察得到的四邊形A1B1C1D1中,對應(yīng)角之間的數(shù)量關(guān)系為:∠A

∠A1,∠B

∠B1,∠C

∠C1,∠D

∠D1;

3相似多邊形對應(yīng)邊之間的數(shù)量關(guān)系為

=

,

=

,=

,=

,即

=

=

=

.

2.放大鏡下的圖形與原圖形是否相似？兩個圖形的對應(yīng)角、對應(yīng)邊之間有什么關(guān)系？(相似,對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例)3.你能嘗試給出相似多邊形的定義嗎？并嘗試用幾何語言表示出來.4.相似比的值與兩個相似多邊形的順序有關(guān)嗎？5.相似多邊形的對應(yīng)角、對應(yīng)邊有什么特點？用幾何語言怎樣表示？1.一般地,如果兩個多邊形的對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例,那么這兩個多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做它們的相似比.幾何語言:如圖所示的兩個大小不同的四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1中,∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1,∠D=∠D1,===，因此四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1相似.2.相似多邊形的性質(zhì):相似多邊形的對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊成比例.觀察與思考:分別觀察(1)和(2)中的兩個多邊形,先直觀判斷它們是不是相似多邊形,再經(jīng)過測量與計算,驗證你的結(jié)論.例如圖所示,五邊形ABCDE∽五邊形A1B1C1D1E1,求C1D1的長和∠A的度數(shù).思考:(1)相似多邊形的性質(zhì)是什么?(2)相似五邊形中,對應(yīng)邊AB與A1B1,CD與C1D1之間有什么關(guān)系?(3)在比例式中,已知三條線段的長能否求出第四條線段的長?嘗試求出C1D1的長.(6)由五邊形內(nèi)角和定理,能否求出∠A的值?(4)根據(jù)相似多邊形的性質(zhì),你能求出∠E的大小嗎?(5)五邊形的內(nèi)角和是多少度?解:∵五邊形ABCDE∽五邊形A1B1C1D1E1,∴，∠E=∠E1=145°.∵AB=15,A1B1=10,CD=21,∴.解得C1D1=14.又∵∠B=130°,∠C=∠D=90°,∴∠A=(5-2)×180°-130°-145°-2×90°=85°.∴C1D1=14,∠A=85°.[知識拓展]

1.所謂“形狀相同”,就是與圖形的大小、位置無關(guān),與擺放角度、擺放方向也無關(guān).有些圖形之間雖然只有很小的形狀差異,但也不能認(rèn)為是“形狀相同”.2.在相似多邊形中,“對應(yīng)邊成比例”“對應(yīng)角相等”這兩個條件必須同時成立時,才能說明這兩個多邊形是相似多邊形.3.相似多邊形的性質(zhì)可以用來確定兩個多邊形中未知的邊的長度或未知的角的度數(shù).5.相似比為1∶1的兩個相似多邊形是全等多邊形.4.相似比的值與兩個多邊形的前后順序有關(guān).隨堂訓(xùn)練解析：1.下列選項中與圖1中的圖形狀相同的是(

)

圖1

A

B

C

D細(xì)心觀察“空心圓圈”所在的“小葉片”，只有D選項中的圖與原圖形狀相同.D

知識講解2.下列圖形中，能確定相似的有（）A.兩個半徑不相等的圓；B.所有的等邊三角形；C.所有的等腰三角形；D.所有的正方形；F.所有的等腰梯形；E.所有的正六邊形.ABDE

解析:根據(jù)相似多邊形對應(yīng)邊成比例得相似比為,所以長為1,2,3,4的各邊對應(yīng)的邊長分別為,則周長為

+7=21.故選C.3.一個五邊形的各邊長分別為1,2,3,4,5,另一個和它相似的五邊形的最大邊的長為7,則后一個五邊形的周長為 (

)A.27 B.25

C.21 D.18C4.如圖所示,六邊形ABCDEF與六邊形A'B'C'D'E'F'相似,已知AB=5cm,EF=6cm,CD與C'D'的比為1∶3,∠E=125°,求A'B',E'F'的長及∠E'的度數(shù).解:∵六邊形ABCDEF與六邊形A'B'C'D'E'F'相似,∴

，∠E'=∠E=125°.∴A'B'=3AB=15cm,E'F'=3EF=18cm.5.如圖所示的兩個矩形相似嗎？為什么？ADCB32GFEH1.51解：矩形ABCD∽矩形EFGH，因為它們的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比也相等。課堂小結(jié)我們把形狀相同的圖形叫做相似圖形.兩個圖形相似，其中一下圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到的.1.相似圖形：2.相似多邊形的性質(zhì)：(1)對應(yīng)角相等；對應(yīng)邊的比、對應(yīng)對角線的比、周長的比都等于相似比.(2)面積的比等于相似比的平方.25.7

相似多邊形和圖形的位似第2課時

會畫位似圖形，能夠根據(jù)位似比的大小把一個圖形放大或縮小.(難點)學(xué)習(xí)目標(biāo)12理解位似圖形的概念，理解位似變化是特殊的相似變化.(重點)新課導(dǎo)入在日常生活中，經(jīng)常遇到一些把圖形放大或縮小，但是圖形的形狀不改變的情形.觀察下面的圖形，它們有哪些相似點？如圖所示,已知△ABC及△ABC外的一點O.請按如下步驟畫出△A'B'C'.(1)畫射線OA,OB,OC.(2)分別在OA,OB,OC上截取點A',B',C',使OA'=2OA,OB'=2OB,OC'=2OC.(3)連接A'B',A'C',B'C',得△A'B'C'.A'c'B'知識講解★位似圖形的概念【思考】1.請你判斷AB與A'B',AC與A'C',BC與B'C'的位置關(guān)系,并說明理由.2.△ABC與△A'B'C'相似嗎?為什么?解:AB∥A'B',AC∥A'C',BC∥B'C'.理由:∵OA=AA',OB=BB',∴AB∥A'B',同理可得AC∥A'C',BC∥B'C'.如圖所示,點O在四邊形ABCD的內(nèi)部,請按“一起探究”中的步驟畫一個四邊形A'B'C'D',使得四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'相似,=2,對應(yīng)邊互相平行,且經(jīng)過每對對應(yīng)點的直線相交于點O.1.“一起探究”中，的值是多少？它與點O到點A與點A′的距離的比有什么關(guān)系？

（1:2，相等.)2.“一起探究”中的畫圖步驟有哪些?（畫射線；確定點的位置；畫出圖形)

3.若使四邊形的對應(yīng)邊=2，那么四邊形內(nèi)部點O到各頂點的距離比是多少？

（2:1）4.你能在四邊形內(nèi)部畫出符合條件的四邊形嗎？作法:(1)連接OA,OB,OC,OD;(2)分別在OA,OB,OC,OD上取點A',B',C',D';使得(3)順次連接A',B',C',D',得四邊形A'B'C'D'.A'B'C'D'兩個相似多邊形的每對對應(yīng)頂點的直線相交于一點,對應(yīng)邊互相平行(或在同一條直線上).我們把這樣的兩個圖形稱為位似圖形,對應(yīng)頂點所在直線的交點稱為位似中心,這時的相似比又稱位似比.歸納：（位似圖形一定是相似圖形,相似圖形不一定是位似圖形,位似圖形是特殊的相似圖形)例1請指出下列圖形那些是位似圖形？并指出位似圖形圖的位似中心?oP方法技巧：判斷兩個圖形是不是位似圖形，需要從兩方面去考察：一是這兩個圖形是相似的，二是要有特殊的位置關(guān)系，即每組對應(yīng)點所在的直線都經(jīng)過同一點．★位似圖形的性質(zhì)從左圖中我們可以看到，△OAB∽△OA′B′，則，AB∥A′B′.右圖呢？你得到了什么？ABECDOA′B′C′D′E′ABCOA′B′C′

歸納：4.位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于相似比.1.位似圖形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方；

2.位似圖形的對應(yīng)點的連線相交于一點，即經(jīng)過位似中心；3.位似圖形的對應(yīng)邊互相平行或在同一條直線上；

★位似圖形的畫法

例3

如圖，已知△ABC，以點O為位似中心畫△DEF，使其與△ABC位似，且位似比為2.解：畫射線OA、OB、OC；在射線OA、OB、OC上分別取點D、E、F，使OD=2OA，OE=2OB，OF=2OC；順次連結(jié)D、E、F,使△DEF與△ABC位似，相似比為2.想一想：你還有其他的畫法嗎？ABCFEDO思考：上面點O取在兩個三角形的同側(cè)，如果點O在兩個三角形之間呢？能不能畫出這時的圖形?解：畫射線OA、OB、OC;沿著射線OA、OB、OC反方向上分別取點D、E、F,OD=2OA,OE=2OB,OF=2OC;順次連結(jié)D、E、F,使△DEF與△ABC位似,相似比為2.ABCOEFD畫位似圖形的一般步驟：歸納：（1）確定位似中心；（2）分別連接位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點并延長；（3）根據(jù)相似比，確定能代表所畫的位似圖形的關(guān)鍵點；（4）按照原圖的形狀，順次連接上述各點，得到放大或縮小后的圖形.隨堂訓(xùn)練2.位似圖形上某一對對應(yīng)點到位似中心的距離分別為5和10，則它們的位似比為___.1:21.△ABC和△A‘B’C‘是位似圖形,且位似之比為1∶3,則△ABC和△A'B'C'的對應(yīng)邊AB和A'B'的比為 (

)A.3∶1 B.1:3C.1:9 D.1:27B3.已知邊長為1的正方形ABCD，以它的兩條對角線的交點為位似中心，畫一個邊長為2且與它位似的正方形.ABCDEHGFO解：畫射線OA、OB、OC、OD;在射線OA、OB、OC、OD上分別取點D、E、F,使OE=2OA,OF=2OB,OG=2OC,OH=2OD;順次連結(jié)E、F、G、H,使正方形ABCD與正方形EFGH位似,位似比為1：24.如圖所示，四邊形ABCD的一個位似圖形是四邊形A′B′C′D′，且A,B,C,D的對應(yīng)點分別是A′,B′,C′,D′.圖中給出了AB的對應(yīng)邊A′B′所在的位置，請把四邊形A′B′C′D′其余部分