第二章數列§2.2

等差數列(一)1.理解等差數列的定義，掌握等差數列的通項公式.2.會推導等差數列的通項公式，能運用等差數列的通項公式解決一些簡單的問題.3.掌握等差中項的概念，深化認識并能運用.學習目標欄目索引知識梳理自主學習題型探究重點突破當堂檢測自查自糾知識梳理自主學習知識點一等差數列的概念如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數，那么這個數列就叫做

數列，這個常數叫做等差數列的

，公差通常用字母d表示.思考1

等差數列{an}的概念可用符號表示為

.思考2

等差數列{an}的單調性與公差d的符號的關系.等差數列{an}中，若公差d>0，則數列{an}為

數列；若公差d<0，則數列{an}為

數列；若公差d＝0，則數列{an}為常數列.答案等差公差an＋1－an＝d(n∈N*)遞增遞減

答案等差中項a1＋(n－1)d思考教材上推導等差數列的通項公式采用了不完全歸納法，還有其它方法嗎？如何操作？返回答案答案還可以用累加法，過程如下：∵a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，……an－an－1＝d(n≥2)，將上述(n－1)個式子相加得an－a1＝(n－1)d(n≥2)，∴an＝a1＋(n－1)d(n≥2)，當n＝1時，a1＝a1＋(1－1)d，符合上式，∴an＝a1＋(n－1)d(n∈N*).題型探究重點突破題型一等差數列的概念例1

(1)下列數列中，遞增的等差數列有(

)①1,3,5,7,9；②2,0，－2,0，－6,0，…解析答案解析等差數列有①③④⑤，其中遞增的為①③⑤，共3個，④為常數列.C解析答案反思與感悟A(1)判斷一個數列是不是等差數列，只需看an＋1－an(n≥1)是不是一個與n無關的常數.(2)判斷一個等差數列是不是遞增數列，只需看數列{an}的公差d是否大于0.(3)求兩個數的等差中項，只需求這兩個數的和的一半即可.反思與感悟

解析答案B(2)已知m和2n的等差中項是8,2m和n的等差中項是10，則m和n的等差中項是_____.解析答案即m、n的等差中項為6.6題型二等差數列的通項公式及應用例2

(1)若{an}是等差數列，a15＝8，a60＝20，求a75.解析答案解設{an}的公差為d.解析答案(2)已知遞減等差數列{an}的前三項和為18，前三項的乘積為66.求數列的通項公式，并判斷－34是該數列的項嗎？反思與感悟反思與感悟∴d<0.故取a1＝11，d＝－5.∴an＝11＋(n－1)·(－5)＝－5n＋16.即等差數列{an}的通項公式為an＝－5n＋16.令an＝－34，即－5n＋16＝－34，得n＝10.∴－34是數列{an}的第10項.在等差數列{an}中，首項a1與公差d是兩個最基本的元素，有關等差數列的問題，如果條件與結論間的聯系不明顯，則均可化成有關a1，d的關系列方程組求解，但是要注意公式的變形及整體計算，以減少計算量.反思與感悟解析答案跟蹤訓練2

已知{an}為等差數列，分別根據下列條件寫出它的通項公式：(1)a3＝5，a7＝13；解設首項為a1，公差為d，則∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1.解析答案(2)前三項為a,2a－1,3－a.題型三等差數列的判定與證明解析答案(1)求證：數列{bn}為等差數列；解析答案∴an－1(1－2an)＝an(2an－1＋1)，∴數列{bn}是等差數列.∴{bn}是等差數列，且公差為4，首項為5.解析答案反思與感悟(2)試問a1a2是不是數列{an}中的項？如果是，是第幾項；

如果不是，請說明理由.解由(1)知bn＝b1＋(n－1)d＝5＋4(n－1)＝4n＋1.即a1a2＝a11，∴a1a2是數列{an}中的項，且是第11項.1.判定等差數列的方法：(1)定義法：an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)?數列{an}是等差數列.(2)等差中項法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}為等差數列.(3)通項公式法：數列{an}的通項公式an＝pn＋q(p，q為常數)?數列{an}為等差數列.反思與感悟注意：①通項公式法不能作為證明方法.②若an＋1－an為常數，則該常數為等差數列{an}的公差；若an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N*)成立，則無法確定等差數列{an}的公差.③若數列的前有限項成等差數列，則該數列未必是等差數列；而要否定一個數列是等差數列，只要說明其中連續三項不成等差數列即可.2.已知數列的遞推公式求數列的通項時，要對遞推公式進行合理變形，構造出等差數列求通項，需掌握常見的幾種變形形式，考查學生推理能力與分析問題的能力.解析答案跟蹤訓練3

在數列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2n＋1.(1)求證：數列{an－2n}為等差數列；(2)設數列{bn}滿足bn＝2log2(an＋1－n)，求{bn}的通項公式.證明(an＋1－2n＋1)－(an－2n)＝an＋1－an－2n＝1(與n無關)，故數列{an－2n}為等差數列，且公差d＝1.解由(1)可知，an－2n＝(a1－2)＋(n－1)d＝n－1，故an＝2n＋n－1，所以bn＝2log2(an＋1－n)＝2n.解析答案返回對等差數列的定義理解不深刻易錯點例4

若數列{an}的通項公式為an＝10＋lg3n，求證：數列{an}為等差數列.誤區警示錯解

因為an＝10＋lg3n＝10＋nlg3，所以a1＝10＋lg3，a2＝10＋2lg3，a3＝10＋3lg3，所以a2－a1＝lg3，a3－a2＝lg3，則a2－a1＝a3－a2，故數列{an}為等差數列.錯因分析由數列的通項公式求出的a2－a1＝a3－a2僅能確保數列的前三項成等差數列，不能保證數列是等差數列.正解因為an＝10＋lg3n＝10＋nlg3，所以an＋1＝10＋(n＋1)lg3.所以an＋1－an＝[10＋(n＋1)lg3]－(10＋nlg3)＝lg3(n∈N*)，所以數列{an}為等差數列.誤區警示誤區警示數列的前幾項成等差數列與數列為等差數列不是等價的.若數列是等差數列，則數列的前三項成等差數列；而若數列的前三項成等差數列，則數列未必是等差數列；但若數列的前三項不是等差數列，則數列一定不是等差數列.因此利用非等價關系求出的結果未必滿足題設條件，必須對求出的結果代入驗證，以確保滿足題設條件.返回當堂檢測123451.等差數列{1－3n}，公差d等于(

)A.1 B.3 C.－3 D.n解析∵an＝1－3n，∴a1＝－2，a2＝－5，∴d＝a2－a1＝－3.C解析答案123452.下列命題：①數列6,4,2,0是公差為2的等差數列；②數列a，a－1，a－2，a－3是公差為－1的等差數列；③等差數列的通項公式一定能寫成an＝kn＋b的形式(k，b為常數)；④數列{2n＋1}是等差數列.其中正確命題的序號是(

)A.①② B.①③C.②③④ D.③④解析②③④正確，①中公差為－2.C解析答案解析公差d＝a2－a1＝－4，∴an＝a1＋(n－1)d＝84＋(n－1)(－4)＝88－4n，123453.在等差數列{an}中，若a1＝84，a2＝80，則使an≥0，且an＋1<0的n為(

)A.21 B.22 C.23 D.24B解析答案又∵n∈N*，∴n＝22.12345解析答案4.若{an}是等差數列，下列數列中仍為等差數列的有(

)①{|an|}；②{an＋1－an}；③{pan＋q}(p，q為常數)；④{2an＋n}.A.1個 B.2個 C.3個 D.4個解析設an＝kn＋b，則an＋1－an＝k，故②為常數列，也是等差數列.pan＋q＝p(kn＋b)＋q＝pkn＋(pb＋q)，故③為等差數列，2an＋n＝2(kn＋b)＋n＝(2k＋1)n＋2b，故④為等差數列.①未必，如an＝2n－4，則{|an|}的前4項為2,0,2,4，顯然{|an|}不是等差數列.C12345解析答案5.下列命題中正確的是(

)A.若a，b，c成等差數列，則a2，b2，c2成等差數列B.若a，b，c成等差數列，則log2a，log2b，log2c成等差數列C.若a，b，c成等差數列，則a＋2，b＋2，c＋2成等差數列D.若a，b，c成等差數列，則2a，2b，2c成等差數列解析∵a，b，c為等差數列，∴2b＝a＋c，∴2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，∴a＋2，b＋2，c＋2成等差數列.C課堂小結1.判斷一個數列是不是等差數列的常用方法有(1)an＋1－an＝d(d為常數，n∈