第六章定積分6.1定積分的概念和性質一、定積分問題舉例 設在區間上非負、連續，由，，以及曲線所圍成的圖形稱為曲邊梯形，其中曲線弧稱為曲邊。 二、定積分的定義 定義定積分 設函數在區間上有界，在中任意插入若干個分點，把區間分成個小區間：各個小區間的長度依次為，，…，。在每個小區間上任取一點，作函數與小區間長度的乘積（），并作出和。 記，如果不論對怎樣分法，也不論在小區間上點怎樣取法，只要當時，和總趨于確定的極限，這時我們稱這個極限為函數在區間上的定積分（簡稱積分），記作，即==,其中叫做被積函數，叫做被積表達式，叫做積分變量，叫做積分下限，叫做積分上限，叫做積分區間。定理1可積性定理設在區間上連續，則在上可積。定理2可積性定理設在區間上有界，且只有有限個間斷點，則在區間上可積。三．定積分的性質兩個特殊的定積分（1）如果在點有意義，則；（2）如果在上可積，則。.定積分的線性性設函數和在上都可積，是常數，則和+都可積，并且（1）=;(2)=+(3)=-.性質3定積分對于積分區間的可加性設在區間上可積，且，和都是區間內的點，則不論，和的相對位置如何，都有=+。性質4如果在區間上1，則==。性質5如果在區間上,則。推論1。2定積分的可比性如果在區間上，，則，。用通俗明了的話說，就是定積分保持不等號。性質6積分的有界性如果在上連續，且對任意的，都有，則。性質7積分中值定理如果函數在閉區間上連續，則在積分區間上至少存在一點，使下式成立=，且=稱為函數在區間上的平均值。6.2微積分基本定理一．積分上限的函數及其導數定理1微積分基本定理如果函數在區間上連續,則積分上限函數=在上可導,并且它的導數是==.定理2原函數存在定理如果函數在區間上連續,則函數=就是在上的一個原函數.二.牛頓-萊布尼茨公式定理3微積分第一基本定理如果函數是連續函數在區間上的一個原函數,則=稱上面的公式為牛頓-萊布尼茨公式.定積分的換元法和分部積分法一、定積分的換元法假設函數在區間上連續,函數滿足條件(1),;(2)在(或)上具有連續導數,且其值域,則有=,上面的公式叫做定積分的換元公式.二、定積分的分部積分法根據不定積分的分部積分法,有簡寫為=或=.6.4反常積分一.無窮限的反常積分定義1設函數在區間上連續,取,如果極限存在且為有限值,則此極限為函數在無窮區間上的反常積分,記作,即=.這時也稱反常積分收斂;如果上述極限不存在,函數在無窮區間上的反常積分就沒有意義,習慣上稱為反常積分發散.設函數在區間上連續，取，如果極限存在且為有限值，則此極限為函數在無窮區間上的反常積分，記作，即=，這時也稱反常積分收斂；如果上述極限不存在，就稱反常積分發散。定義設函數在區間上連續，如果反常積分和都收斂，則稱上述反常積分之和為函數在無窮區間上的反常積分，記作，即=+=+這時也稱反常積分收斂；否則就稱反常積分發散。二、無界函數的反常積分定義無界函數反常積分設函數在半開閉區間上連續,且,則如果等式右邊的極限存在且為有限值,此時稱反常積分收斂,否則稱反常積分發散.無界函數的反常積分定義設函數在半開半閉區間上連續,且,則,如果等式右邊的極限存在且為有限值,此時稱反常積分收斂,否則稱反常積分發散.積分函數在內點極限為∞的反常積分設函數在在上除點外連續,且,則定義如果等式右邊的兩個反常積分都收斂，否則稱反常積分發散.一類特殊的反常積分6.5定積分的幾何應用一、定積分的元素法面積表示為定積分的步驟如下（1）把區間分割成個長度為的小區間，相應的曲邊梯形被分為個小窄曲邊梯形，第個小窄曲邊梯形的面積為，則.（2）取出的近似值（3）求和，得A的近似值（4）取極限，得A的精確值二、平面圖形的面積(1)由連續曲線y=f(x)(f(x)30),直線x=a,x=b(a<b)及x軸所圍成的平面圖形的面積面積微元:面積(2)由連續曲線y=f(x),y=g(x),直線x=a,x=b(a<b)所圍成的平面圖形的面積:及y軸圍成的平面圖形的面積為及y軸圍成的平面圖形的面積為：二、立體的體積1、旋轉體的體積一般地,如果旋轉體是由連續曲線、直線、及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋