第1頁（共1頁）2021-2022學年河南省鄭州市高新區八年級（下）期末數學試卷一、選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）習近平主席在2022年新年賀詞中提到“人不負青山，青山定不負人”，一語道出“人與自然和諧共生”的至簡大道．下列有關環保的四個圖形中，是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）若a＜b，則下列不等式不一定成立的是（）A．ac2＜bc2 B．﹣c+a＜﹣c+b C．a（﹣c2﹣1）＞b（﹣c2﹣1） D．a+c＜b+c3．（3分）下列命題的逆命題是真命題的是（）A．如果＞1，則a＞b B．對頂角相等 C．平行四邊形的一組對邊相等 D．等邊三角形的三個內角都相等4．（3分）閱讀理解：我們把稱作二階行列式，規定它的運算法則為＝ad﹣bc，例如＝1×4﹣2×3＝﹣2，如果＞1，則x的取值范圍是（）A．x＞﹣3 B．x＞﹣12 C．x＜﹣12 D．x＜﹣35．（3分）如圖，AI、BI、CI分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB，ID⊥BC，△ABC的周長為18，ID＝3，則△ABC的面積為（）A．18 B．30 C．24 D．276．（3分）若一個多邊形的外角和是它內角和的，那么這個多邊形從一個頂點可以作（）條對角線．A．2 B．3 C．4 D．57．（3分）如圖，小明準備設計一個長方形的手工作品，已知長方形的邊長為a、b（a＞b），周長為20，面積為16，請計算a2b﹣ab2的值為（）A．96 B．480 C．320 D．1608．（3分）一副三角板如圖放置，等腰直角三角板的斜邊與含30°角的直角三角板長直角邊重合于AC，∠B＝∠CAD＝90°，∠ACD＝30°，AB＝BC，點N在邊CD上運動，點M在邊BC上運動，連接MN，AN，分別作出MN和AN邊的中點E和F，測得EF的最小值是2cm，則最長的斜邊CD的長為（）cmA． B． C． D．9．（3分）如圖所示，一次函數y＝ax+b與y＝cx+d的圖象如圖所示，下列說法：①對于函數y＝﹣ax，y隨x的增大而減小；②函數y＝ax﹣d不經過第四象限；③不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是x≥4．其中正確的是（）A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②10．（3分）如圖1，點P從菱形ABCD的頂點A出發，沿A→D→B以1cm/s的速度勻速運動到點B，圖2是點P運動時，△PBC的面積y（cm2）隨時間x（s）變化的關系圖象，則a的值為（）A．5 B． C． D．二、填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）11．（3分）請寫出一個符合條件的含有字母x的分式：．（條件：不論x取何值時，該分式都有意義）12．（3分）請寫出一個多項式，并把它進行因式分解．（要求第一步先提公因式，第二步能運用公式分解因式）請寫出該多項式及分解的結果：．13．（3分）已知△ABC中，AB＝AC，求證：∠B＜90°．下面寫出運用反證法證明這個命題的四個步驟：①所以∠A+∠B+∠C＞180°，這與三角形內角和為180°矛盾；②因此假設不成立，所以∠B＜90°；③假設在△ABC中，∠B≥90°；④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．這四個步驟正確的順序應是．（填序號）14．（3分）如圖是y關于x的完整函數圖象，請你根據所學函數知識，觀察函數圖象，直接寫出當y＜0時，自變量x的取值范圍是．15．（3分）如圖，∠AOB＝60°，點C，D在射線OA上，且OC＝6，CD＝2，P是射線OB上的動點，Q是線段DP的中點，則線段CQ長的最小值為．三、解答題（共7小題，滿分75分）16．（8分）（1）請用簡便方法計算：20222﹣4044×2021+20212．（2）先化簡，再求值：（1+）÷，其中x＝+1．17．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為A（﹣1，0），B（﹣4，1），C（﹣2，2）．（1）直接寫出點B關于原點對稱的點B′的坐標：；（2）平移△ABC，使平移后點A的對應點A1的坐標為（2，1），請畫出平移后的△A1B1C1；（3）畫出△ABC繞原點O逆時針旋轉90°后得到的△A2B2C2．18．（9分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝54°，請根據要求完成以下任務：（1）利用直尺與圓規，作線段BC的垂直平分線DE交AB、BC于點D、E，連接CD；（2）利用直尺與圓規，作∠ABC的角平分線BF交CD于點F；（3）若BD＝AC，求∠DFB的度數．19．（12分）如圖，將平行四邊形紙片ABCD按如圖方式折疊，使點C與點A重合，點D的落點記為點D′，折痕為EF，連接CF．（1）求證：四邊形AFCE是菱形；（2）若∠B＝45°，∠FCE＝60°，AB＝6，求線段D′F的長．20．（12分）為做好新冠肺炎的防控工作，某中學決定購買A，B兩種防疫物資．已知防疫物資A比防疫物資B每件多25元，預算資金為1700元，其中800元購買物資A，其余資金全部用于購買物資B，且購買物資B的數量是物資A數量的3倍．（1）求A，B兩種防疫物資的單價是多少元；（2）學校去購買防疫物資時，為協助學校更好地做好防疫工作，防疫部門決定對A，B兩種防疫物資均按原價八折銷售給學校，若學校決定購買A，B兩種防疫物資共100件，在不超過預算資金的情況下，求最多可以購買A種防疫物資的數量是多少．21．（12分）已知m＞n＞0．如果將分式的分子、分母都加上同一個不為0的數后，所得分式的值比是增大了還是減小了？請按照以下要求嘗試做探究．（1）舉例：比較大小：；（2）當所加的這個數為1時，請通過計算說明你的結論；（3）當所加的這個數為a＞0時，你能得到什么結論？請說明理由．22．（12分）平移、旋轉與翻折是幾何變換中的三種基本變換，也是初中課程中十分重要的學習內容，平移、旋轉與翻折只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀和大小，因此我們又稱這三種變換為全等變換．小明發現，在解決一些數學問題時，可以利用這三種變換使得問題簡單化．（1）對稱變換：如圖1，已知正方形ABCD的邊長為4．點E、H在對角線AC上，點F、I在BC邊上，點G、J在CD邊上，且EG∥HJ∥AD，EF∥HI∥AB，求陰影部分的面積；小明將正方形沿AC翻折，得到如圖2所示的△ABC，他發現圖1中陰影部分的面積就等于圖2中△ABC的面積，所以圖1中陰影部分的面積為；平移變換：如圖3，已知長方形ABCD中，AB＝10，BC＝12，點E、F、G、H分別在AD、AB、BC、CD上，且FH∥BC，EG∥AB，EG與FH交于點I，求陰影部分的周長；小明將FI平移到BG，IG平移到FB……，快速地求出了陰影部分的周長為；（2）如圖4，四邊形ABCD中，AB＝AD，∠A＝120°，∠C＝105°，BC＝6，CD＝2，求四邊形ABCD的面積；（3）如圖5，△BAC≌△FCD，且B、C、D在一條直線上，BA＝BC＝2，設∠ACB＝α，直線BC上方有一點E滿足CA＝CE且∠ACE＝90°+2α，連接AE，當α＝°時，AE取得最大值，AE的最大值為．（注：點A、E、F均在直線BC上方）

2021-2022學年河南省鄭州市高新區八年級（下）期末數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）習近平主席在2022年新年賀詞中提到“人不負青山，青山定不負人”，一語道出“人與自然和諧共生”的至簡大道．下列有關環保的四個圖形中，是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；B、既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項不合題意；C、不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；D、是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形，故此選項符合題意；故選：D．2．（3分）若a＜b，則下列不等式不一定成立的是（）A．ac2＜bc2 B．﹣c+a＜﹣c+b C．a（﹣c2﹣1）＞b（﹣c2﹣1） D．a+c＜b+c【解答】解：A、當c＝0時，不正確，故此選項符合題意；B、不等式兩邊同時加﹣c，不等號方向不變，正確，故此選項不符合題意；C、因為﹣c2﹣1＜0，所以原變形正確，故此選項不符合題意；D、不等式兩邊同時加c，不等號方向不變，正確，故此選項不符合題意；故選：A．3．（3分）下列命題的逆命題是真命題的是（）A．如果＞1，則a＞b B．對頂角相等 C．平行四邊形的一組對邊相等 D．等邊三角形的三個內角都相等【解答】解：A、逆命題為：如果a＞b，則＞1，為假命題，例如當a＝1，b＝0時就不成立，不符合題意；B、逆命題為：相等的角為對頂角，為假命題，不符合題意；C、逆命題為：一組對邊相等的四邊形是平行四邊形，錯誤，為假命題，不符合題意；D、逆命題為：三個角相等的三角形為等邊三角形，為真命題，符合題意；故選：D．4．（3分）閱讀理解：我們把稱作二階行列式，規定它的運算法則為＝ad﹣bc，例如＝1×4﹣2×3＝﹣2，如果＞1，則x的取值范圍是（）A．x＞﹣3 B．x＞﹣12 C．x＜﹣12 D．x＜﹣3【解答】解：根據題意可得：2x﹣（x+2）＞1，解得：x＜﹣12，故選：C．5．（3分）如圖，AI、BI、CI分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB，ID⊥BC，△ABC的周長為18，ID＝3，則△ABC的面積為（）A．18 B．30 C．24 D．27【解答】解：如圖，過點I作IE⊥AB于E，IF⊥AC于F，∵∠ABC、∠ACB的平分線，ID⊥BC，∴ID＝IE，ID＝IE，∴ID＝IE＝IF＝3，∵△ABC的周長為18，∴△ABC的面積＝（AB+BC+AC）×3＝×18×3＝27．故選：D．6．（3分）若一個多邊形的外角和是它內角和的，那么這個多邊形從一個頂點可以作（）條對角線．A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：設這個多邊形有n條邊，由題意得：（n﹣2）×180＝360，解得：n＝5，從這個多邊形的一個頂點出發的對角線的條數是5﹣3＝2，故選：A．7．（3分）如圖，小明準備設計一個長方形的手工作品，已知長方形的邊長為a、b（a＞b），周長為20，面積為16，請計算a2b﹣ab2的值為（）A．96 B．480 C．320 D．160【解答】解：∵長方形的邊長為a、b（a＞b），周長為20，面積為16，∴2（a+b）＝20，ab＝16，∴a+b＝10，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝102﹣4×16＝100﹣64＝36，∵a＞b，∴a﹣b＝6，∴原式＝ab（a﹣b）＝16×6＝96．故選：A．8．（3分）一副三角板如圖放置，等腰直角三角板的斜邊與含30°角的直角三角板長直角邊重合于AC，∠B＝∠CAD＝90°，∠ACD＝30°，AB＝BC，點N在邊CD上運動，點M在邊BC上運動，連接MN，AN，分別作出MN和AN邊的中點E和F，測得EF的最小值是2cm，則最長的斜邊CD的長為（）cmA． B． C． D．【解答】解：連接AM，∵點E和F分別為MN和AN邊的中點，∴AM＝2EF，∵EF的最小值是2cm，∴AM的最小值是4cm，由題意可知，當點M與點B重合時，AM最小，∴AB＝4cm，∴AC＝AB＝4cm，在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，則CD＝＝＝．故選：B．9．（3分）如圖所示，一次函數y＝ax+b與y＝cx+d的圖象如圖所示，下列說法：①對于函數y＝﹣ax，y隨x的增大而減小；②函數y＝ax﹣d不經過第四象限；③不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是x≥4．其中正確的是（）A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②【解答】解：由圖象可得，a＞0，則﹣a＜0，對于函數y＝﹣ax來說，y隨x的增大而減小，故①正確；d＞0，則﹣d＜0，則函數y＝ax﹣d經過第一、三、四象限，不經過第二象限，故②錯誤；由ax﹣d≥cx﹣b可得ax+b≥cx+d，故不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是x≥4，故③正確；故選：B．10．（3分）如圖1，點P從菱形ABCD的頂點A出發，沿A→D→B以1cm/s的速度勻速運動到點B，圖2是點P運動時，△PBC的面積y（cm2）隨時間x（s）變化的關系圖象，則a的值為（）A．5 B． C． D．【解答】解：過點D作DE⊥BC，∵菱形ABCD中，AD∥BC，∴當點P在邊AD上運動時，y的值不變，∴AD＝a，即菱形的邊長是a，∴，即DE＝4．當點P在DB上運動時，y逐漸減小，∴DB＝5，∴BE＝＝＝3．在Rt△DCE中，DC＝a，CE＝a﹣3，DE＝4，∴a2＝42+（a﹣3）2，解得a＝．故選：C．二、填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）11．（3分）請寫出一個符合條件的含有字母x的分式：（答案不唯一）．（條件：不論x取何值時，該分式都有意義）【解答】解：要使分式有意義，分母不為0．若不論x取任何實數，該分式都有意義，則不論x取什么值，分母都不為0，例如（答案不唯一）．故答案為：（答案不唯一）．12．（3分）請寫出一個多項式，并把它進行因式分解．（要求第一步先提公因式，第二步能運用公式分解因式）請寫出該多項式及分解的結果：a3﹣4a＝a（a+2）（a﹣2）（答案不唯一）．【解答】解：能用平方差公式分解因式的多項式可以是a2﹣4＝（a+2）（a﹣2），能提取公因式可以是a3﹣4a＝a（a+2）（a﹣2），故答案為：a3﹣4a＝a（a+2）（a﹣2）（答案不唯一）．13．（3分）已知△ABC中，AB＝AC，求證：∠B＜90°．下面寫出運用反證法證明這個命題的四個步驟：①所以∠A+∠B+∠C＞180°，這與三角形內角和為180°矛盾；②因此假設不成立，所以∠B＜90°；③假設在△ABC中，∠B≥90°；④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．這四個步驟正確的順序應是③④①②．（填序號）【解答】解：運用反證法證明這個命題的四個步驟：1、假設在△ABC中，∠B≥90°，2、由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，3、∴∠A+∠B+∠C＞180°，這與三角形內角和為180°矛盾，4、因此假設不成立．∴∠B＜90°，故答案為：③④①②．14．（3分）如圖是y關于x的完整函數圖象，請你根據所學函數知識，觀察函數圖象，直接寫出當y＜0時，自變量x的取值范圍是﹣1＜x＜1或x＞2．【解答】解：由題意得，此函數圖象位于x軸下方部分時﹣1＜x＜1或x＞2，故答案為：﹣1＜x＜1或x＞2．15．（3分）如圖，∠AOB＝60°，點C，D在射線OA上，且OC＝6，CD＝2，P是射線OB上的動點，Q是線段DP的中點，則線段CQ長的最小值為．【解答】解：如圖所示，取OD的中點E，連接EQ，又∵Q是DP的中點，∴EQ是△DOP的中位線，∴EQ∥OP，∴∠CEQ＝∠AOB＝60°，即點Q在過點E且平行于OB的直線上運動，如圖，當∠CQE＝90°時，CQ⊥EQ，依據垂線段最短可知，此時CQ最短，∵OC＝6，CD＝2，E是OD的中點，∴CE＝OC﹣OE＝6﹣OD＝6﹣4＝2，∴Rt△CEQ中，CQ＝CE×sin∠CEQ＝2×＝，故答案為：．三、解答題（共7小題，滿分75分）16．（8分）（1）請用簡便方法計算：20222﹣4044×2021+20212．（2）先化簡，再求值：（1+）÷，其中x＝+1．【解答】解：（1）20222﹣4044×2021+20212＝（2022﹣2021）2＝1；（2）原式＝?＝?＝，當x＝+1時，原式＝＝1+．17．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為A（﹣1，0），B（﹣4，1），C（﹣2，2）．（1）直接寫出點B關于原點對稱的點B′的坐標：（4，﹣1）；（2）平移△ABC，使平移后點A的對應點A1的坐標為（2，1），請畫出平移后的△A1B1C1；（3）畫出△ABC繞原點O逆時針旋轉90°后得到的△A2B2C2．【解答】解：（1）點B關于原點對稱的點B′的坐標為（4，﹣1），故答案為：（4，﹣1）；（2）如圖所示，△A1B1C1即為所求．（3）如圖所示，△A2B2C2即為所求．18．（9分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝54°，請根據要求完成以下任務：（1）利用直尺與圓規，作線段BC的垂直平分線DE交AB、BC于點D、E，連接CD；（2）利用直尺與圓規，作∠ABC的角平分線BF交CD于點F；（3）若BD＝AC，求∠DFB的度數．【解答】解：（1）如圖，直線CD，線段CD即為所求；（2）如圖，射線BF即為所求．（3）∵DE垂直平分線段BC，∴DB＝DC，∴∠DBC＝∠DCB，∵AC＝DB，∴CA＝CD，∴∠A＝∠CDA＝54°，∵∠ADC＝∠DBC+∠DCB，∴∠DBC＝∠DCB＝27°，∵BF平分∠ABC，∴∠FBC＝∠DBC＝13.5°，∴∠DFB＝∠FBC+∠DCB＝13.5°+27°＝40.5°．19．（12分）如圖，將平行四邊形紙片ABCD按如圖方式折疊，使點C與點A重合，點D的落點記為點D′，折痕為EF，連接CF．（1）求證：四邊形AFCE是菱形；（2）若∠B＝45°，∠FCE＝60°，AB＝6，求線段D′F的長．【解答】（1）證明：如圖1，∵點C與點A重合，折痕為EF，∴∠1＝∠2，AE＝EC．∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC．∴∠3＝∠2．∴∠1＝∠3．∴AE＝AF．∴AF＝EC．又∵AF∥EC，∴四邊形AFCE是平行四邊形．又∵AE＝AF，∴四邊形AFCE為菱形．（2）解：如圖2，作AG⊥BE于點G，則∠AGB＝∠AGE＝90°，∵點D的落點為點D′，折痕為EF，∴D'F＝DF．∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD＝BC．又∵AF＝EC，∴AD﹣AF＝BC﹣EC，即DF＝BE．∵在Rt△AGB中，∠AGB＝90°，∠B＝45°，AB＝，∴AG＝GB＝6．∵四邊形AFCE為平行四邊形，∴AE∥FC．∴∠4＝∠5＝60°．∵在Rt△AGE中，∠AGE＝90°，∠4＝60°，∴．∴．∴．20．（12分）為做好新冠肺炎的防控工作，某中學決定購買A，B兩種防疫物資．已知防疫物資A比防疫物資B每件多25元，預算資金為1700元，其中800元購買物資A，其余資金全部用于購買物資B，且購買物資B的數量是物資A數量的3倍．（1）求A，B兩種防疫物資的單價是多少元；（2）學校去購買防疫物資時，為協助學校更好地做好防疫工作，防疫部門決定對A，B兩種防疫物資均按原價八折銷售給學校，若學校決定購買A，B兩種防疫物資共100件，在不超過預算資金的情況下，求最多可以購買A種防疫物資的數量是多少．【解答】解：（1）設A獎品的單價為x元，則B獎品的單價為（x﹣25）元，由題意得：×3＝，解得：x＝40，經檢驗，x＝40是原方程的解，則x﹣25＝15，答：A獎品的單價為40元，則B獎品的單價為15元；（2）設購買A種獎品的數量為m件，則購買B種獎品的數量為（100﹣m）件，由題意得：40×0.8m+15×0.8（100﹣m）≤1700，解得：m≤25，∵m為正整數，∴m的最大值為25，∴最多可以購買A種防疫物資的數量是25件．21．（12分）已知m＞n＞0．如果將分式的分子、分母都加上同一個不為0的數后，所得分式的值比是增大了還是減小了？請按照以下要求嘗試做探究．（1）舉例：比較大小：＜；（2）當所加的這個數為1時，請通過計算說明你的結論；（3）當所加的這個數為a＞0時，你能得到什么結論？請說明理由．【解答】解：（1）∵﹣＝﹣＜0，∴＜，故答案為：＜．（2）增大了，理由：∵﹣＝＜0，∴＜；（3）當所加的這個數為a＞0時，仍是增大了．理由：∵﹣＝＜0，∴＜，22．（12分）平移、旋轉與翻折是幾何變換中的三種基本變換，也是初中課程中十分重要的學習內容，平移、旋轉與翻折只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀和大小，因此我們又稱這三種變換為全等變換．小明發現，在解決一些數學問題時，可以利用這三種變換使得問題簡單化．（1）對稱變換：如圖1，已知正方形ABCD的邊長為4．點E、H在對角線AC上，點F、I