第頁專題2.2絕對值與相反數【九大題型】【華東師大版】TOC\o"1-3"\t"正文,1"\hTOC\o"1-1"\h\u【題型1相反數的概念及表示】 1【題型2相反數的性質運用】 3【題型3絕對值的定義】 4【題型4由絕對值的性質化簡】 5【題型5絕對值的非負性】 6【題型6絕對值的幾何意義】 7【題型7利用法則比較有理數大小】 9【題型8利用特殊值法比較有理數大小】 11【題型9利用數軸比較有理數大小】 13【知識點1相反數的概念及表示方法】相反數的概念：只有符號不同的兩個數叫做互為相反數．相反數的表示方法：一般地，a和-a互為相反數，這里的a表示任意一個數可以是正數、負數也可以是零，特別地，一個數的相反數等于它本身這個數是零.【題型1相反數的概念及表示】【例1】（2021秋?安陽縣月考）下列各對數中，互為相反數的有（）+（+1）與﹣1，（﹣1）與+（﹣1），﹣（﹣2）與+（﹣2），﹣（-13）與+（A．6對 B．5對 C．4對 D．3對【分析】分別化簡每組中的兩個數，再根據互為相反數的定義進行判斷即可．【解答】解：+（+1）＝1，1與﹣1是互為相反數，因此+（+1）與﹣1是互為相反數；（﹣1）＝﹣1，+（﹣1）＝﹣1，因此（﹣1）與+（﹣1）不是互為相反數；﹣（﹣2）＝2，而+（﹣2）＝﹣2，2與﹣2是互為相反數，因此﹣（﹣2）與+（﹣2）是互為相反數；﹣（-13）=13，而+（+13）+[﹣（+1）]＝﹣1，而﹣[+（﹣1）]＝1，因此+[﹣（+1）]與﹣[+（﹣1）]是互為相反數；﹣（+2）＝﹣2而﹣（﹣2）＝2．因此﹣（+2）與﹣（﹣2）是互為相反數；綜上所述，表示互為相反數的有4組，故選：C．【變式1-1】（2021秋?義馬市期中）下列各組數中：①﹣0.5與1.5；②34與-43；③a與﹣（﹣a）；④a﹣2b與﹣aA．1組 B．2組 C．3組 D．4組【分析】直接根據相反數的定義：只有符號不同的兩個數叫做互為相反數判斷即可．【解答】解：①﹣0.5與1.5不是相反數；②34與-③a＝﹣（﹣a）不是互為相反數；④a﹣2b與﹣a+2b為相反數；故選：A．【變式1-2】（2021秋?武岡市期中）﹣a+b+c的相反數是（）A．a+b+c B．﹣a﹣b﹣c C．﹣a+b+c D．a﹣b﹣c【分析】相反數的概念：只有符號不同的兩個數叫做互為相反數．【解答】解：﹣a+b+c的相反數是﹣（﹣a+b+c）＝a﹣b﹣c．故選：D．【變式1-3】（2021秋?安陽縣月考）若﹣{﹣[﹣（﹣x）]}＝﹣4，則x的相反數是．【分析】直接利用去括號法則以及結合相反數的定義分析得出答案．【解答】解：∵﹣{﹣[﹣（﹣x）]}＝﹣4，∴[﹣（﹣x）]＝﹣4，∴x＝﹣4，則x的相反數是：4．故答案為：4．【知識點2相反數的性質】若a與b互為相反數，那么a+b=0.【題型2相反數的性質運用】【例2】（2021秋?寧遠縣期末）若a與b互為相反數，則代數式2021a+2021b﹣5＝﹣5．【分析】根據相反數的性質解決此題．【解答】解：∵a與b互為相反數，∴a+b＝0．∴2021a+2021b﹣5＝2021（a+b）﹣5＝2021×0﹣5＝﹣5．故答案為：﹣5．【變式2-1】（2022秋?涼州區期末）若4a﹣9與3a﹣5互為相反數，則a的值為．【分析】根據題意可以得到一個關于a的方程，解方程就可以求得a的值．【解答】解：依題意有：4a﹣9+3a﹣5＝0，解得：a＝2．故答案為：2．【變式2-2】（2021秋?江州區期中）已知x+2y與x+4互為相反數，則x+y的值為（）A．﹣4 B．﹣1 C．﹣2 D．2【分析】直接利用相反數的定義得出答案．【解答】解：∵x+2y與x+4互為相反數，∴x+2y+x+4＝0，則2x+2y＝﹣4，故x+y＝﹣2．故選：C．【變式2-3】（2022秋?路北區期末）已知a+2b+3c＝m，a+3b+4c＝m，則b和c的關系為（）A．互為相反數 B．互為倒數 C．相等 D．無法確定【分析】由于a+2b+3c＝m，a+3b+4c＝m，則a+2b+3c＝a+3b+4c，則b與c的關系即可求出．【解答】解：由題意得，a+2b+3c＝m，a+3b+4c＝m，則a+2b+3c＝a+3b+4c，所以b+c＝0，所以b與c互為相反數．故選：A．【知識點3絕對值的定義】一般地，數軸上表示數a的點與原點的距離叫做數a的絕對值，記作a.【題型3絕對值的定義】【例3】（2021秋?谷城縣期中）一個數的絕對值是23，那么這個數為；若|﹣5|＝|﹣a|，則a＝【分析】根據絕對值的定義進行計算即可．【解答】解：∵一個數的絕對值是23∴這個數是±23∵|﹣5|＝|﹣a|＝5，∴a＝±5．故答案為：±2【變式3-1】（2021秋?鯉城區校級月考）已知a＝﹣4，|a|＝|b|，則b的值為（）A．+4 B．±4 C．0 D．﹣4【分析】根據絕對值的定義解決此題．【解答】解：根據絕對值的定義，得|a|＝|﹣4|＝4．∵|a|＝|b|，∴|b|＝4．∴b＝±4．故選：B．【變式3-2】（2021秋?洛江區期末）已知，a，b是不為0的有理數，且|a|＝﹣a，|b|＝b，|a|＞|b|，那么用數軸上的點來表示a，b時，正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據絕對值的性質可得a≤0，b≥0，再根據|a|＞|b|可得a距離原點比b距離原點遠，進而可得答案．【解答】解：∵|a|＝﹣a，|b|＝b，∴a≤0，b≥0，∵|a|＞|b|，∴表示數a的點到原點的距離比b到原點的距離大，故選：C．【變式3-3】（2021秋?東坡區期末）下列各式的結論成立的是（）A．若|m|＝|n|，則m＝n B．若|m|＞|n|，則m＞n C．若m＞n，則|m|＞|n| D．若m＜n＜0，則|m|＞|n|【分析】根據絕對值的性質逐一判斷即可．【解答】解：A．若|m|＝|n|，則m＝n或m＝﹣n，故原說法錯誤，選項不符合題意；B．若|m|＞|n|，則﹣m＜n＜m，故原說法錯誤，選項不符合題意；C．若m＞n＞﹣m，則|m|＞|n|，故原說法錯誤，選項不符合題意；D．若m＜n＜0，則|m|＞|n|，正確，選項符合題意；故選：D．【知識點4絕對值的性質】一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0．【題型4由絕對值的性質化簡】【例4】（2021秋?長沙縣期末）化簡：|π﹣3.15|+π＝．【分析】根據負數的絕對值等于它的相反數去掉絕對值號，然后解答即可．【解答】解：|π﹣3.15|+π，＝3.15﹣π+π，＝3.15．故答案為：3.15．【變式4-1】（2021秋?蔡甸區期末）若x的絕對值小于1，則化簡|x﹣1|+|x+1|得．【分析】直接利用已知得出x的取值范圍，進而結合絕對值的性質化簡得出答案．【解答】解：∵x的絕對值小于1，∴﹣1＜x＜1，∴|x﹣1|+|x+1|＝1﹣x+x+1＝2．故答案為：2．【變式4-2】（2021秋?青羊區校級月考）若x≤0，化簡|2+|x﹣2||的結果為．【分析】根據一個負數的絕對值等于它的相反數解答即可．【解答】解：因為x≤0，所以x﹣2＜0，4﹣x＞0所以|2+|x﹣2||＝|2﹣（x﹣2）|＝|2﹣x+2|＝|4﹣x|＝4﹣x．故答案為：4﹣x．【變式4-3】（2022秋?阜寧縣月考）當1＜x＜5時，化簡|x﹣1|﹣|5﹣x|+|x﹣6|＝．【分析】由已知1＜x＜5，得：x﹣1＞0，5﹣x＞0，x﹣6＜0，再根據絕對值的性質進行化簡．【解答】解：∵1＜x＜5，∴x﹣1＞0，5﹣x＞0，x﹣6＜0，∴|x﹣1|﹣|5﹣x|+|x﹣6|＝x﹣1﹣（5﹣x）+（6﹣x）＝x﹣1﹣5+x+6﹣x＝x，故答案為：x．【知識點5絕對值的非負性】根據絕對值的非負性“若幾個非負數的和為0，則每一個非負數必為0”，即若a+b=0，則a=0且【題型5絕對值的非負性】【例5】（2021秋?順德區月考）若|x-2|+|y-23|＝0，則x＝，y＝【分析】根據絕對值的非負性解答即可．【解答】解：根據題意可得：x﹣2＝0，y-2可得：x＝2，y=2故答案為：2；23【變式5-1】（2022春?東臺市期中）|x﹣2|+9有最小值為．【分析】根據絕對值的非負性即可得出答案．【解答】解：∵|x﹣2|≥0，∴|x﹣2|+9≥9，∴|x﹣2|+9有最小值為9．故答案為：9．【變式5-2】（2022?東坡區校級模擬）下列各式x、x2、1|x|、x2+2、|xA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據有理數的乘方、絕對值的性質進行解答即可．【解答】解：x不一定是正數；x2不一定是正數；1|x|一定是正數；x2|x+2|不一定是正數；所以值一定是正數的有2個，故選：B．【變式5-3】（2021秋?澠池縣期末）若|a﹣1|與|b﹣2|互為相反數，則a+b的值為（）A．3 B．﹣3 C．0 D．3或﹣3【分析】根據非負數互為相反數，可得這兩個數為零，可得a、b的值，根據有理數的加法，可得答案．【解答】解：∵|a﹣1|與|b﹣2|互為相反數，∴|a﹣1|+|b﹣2|＝0，又∵|a﹣1|≥0，|b﹣2|≥0，∴a﹣1＝0，b﹣2＝0，解得a＝1，b＝2，a+b＝1+2＝3．故選：A．【題型6絕對值的幾何意義】【例6】（2021秋?遵義期末）在數軸上，點M、N分別表示數m，n．則點M、N之間的距離為|m﹣n|．已知點A，B，C，D在數軸上分別表示的數為a，b，c，d．且|a﹣c|＝|b﹣c|＝2，25|d﹣a|＝1（a≠b），則線段BDA．4.5 B．1.5 C．6.5或1.5 D．4.5或1.5【分析】根據絕對值的幾何意義，可以知道C是AB的中點，且到A、B的距離均為2．又D、A的距離為2.5，結合數軸可以快速得出答案．【解答】解：依題意可知AC＝BC＝2，AD＝2.5，所以AB＝4，當B、D在A的同側時，BD＝AB﹣AD＝1.5．當B、D在A的異側時，BD＝AB+AD＝6．故選：C．【變式6-1】（2021秋?蕪湖期末）適合|a+5|+|a﹣3|＝8的整數a的值有（）A．4個 B．5個 C．7個 D．9個【分析】此方程可理解為a到﹣5和3的距離的和，由此可得出a的值，繼而可得出答案．【解答】解：|a+5|表示a到﹣5點的距離，|a﹣3|表示a到3點的距離，由﹣5到3點的距離為8，故﹣5到3之間的所有點均滿足條件，即﹣5≤a≤3，又由a為整數，故滿足條件的a有：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3共9個，故選：D．【變式6-2】（2021秋?西峽縣期末）|x+8|+|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|的最小值等于（）A．10 B．11 C．17 D．21【分析】由|x+8|+|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|所表示的意義，得出當﹣1≤x≤3時，這個距離之和最小，再根據數軸表示數的特點進行計算即可．【解答】解：|x+8|+|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|表示數軸上表示數x的點，到表示數﹣8，﹣1，3，5的點的距離之和，由數軸表示數的意義可知，當﹣1≤x≤3時，這個距離之和最小，最小值為|5﹣（﹣8）|+|3﹣（﹣1）|＝13+4＝17，故選：C．【變式6-3】（2021秋?綿竹市期末）代數式|x+1009|+|x+506|+|x﹣1012|的最小值是．【分析】利用絕對值的定義，結合數軸可知最小值為1012到﹣1009的距離．【解答】解：∵|x+1009|＝|x﹣（﹣1009）|，|x+506|＝|x﹣（﹣506）|，由絕對值的定義可知：|x+1009|代表x到﹣1009的距離；|x+506|代表x到﹣506的距離；|x﹣1012|代表x到1012的距離；結合數軸可知：當x在﹣1009與1012之間，且x＝﹣506時，距離之和最小，∴最小值＝1012﹣（﹣1009）＝2021，故答案為：2021．【知識點7有理數比較大小的法則】兩個數比較大小，按數的性質符號分類，情況如下：【題型7利用法則比較有理數大小】【例7】（2022春?泰山區校級月考）用“＞”“＜”或“＝”填空：-35-(-14)﹣213【分析】有理數大小比較的法則：①正數都大于0；②負數都小于0；③正數大于一切負數；④兩個負數，絕對值大的其值反而小，據此判斷即可．【解答】解：|-35|=35，|∵35∴-3∵-(-14)=∴-(-1|﹣213|＝21∵213∴﹣213故答案為：＞、＞、＜．【變式7-1】（2021秋?旌陽區校級月考）下列四個式子：①-3.8＞-(+334)；②-(-3A．③④ B．①③ C．①② D．②③【分析】根據有理數的大小關系、絕對值、相反數解決此題．【解答】解：①由-(+334)=-3.75，根據有理數的大小關系，得-3.8②由-(-34)=34，-(-35③由|﹣2.5|＝2.5，根據有理數的關系，得2.5＞﹣2.5，即|﹣2.5|＞﹣2.5，那么③正確．④由-(-512)=512=5+12=5+綜上：正確的有②③．故選：D．【變式7-2】（2021秋?雙臺子區校級期中）用“＜”號連接三個數：|﹣3.5|，-3A．-32＜0.75＜|﹣3.5| B．C．|﹣3.5|＜-32＜【分析】根據有理數大小比較的法則：①正數都大于0；②負數都小于0；③兩個負數絕對值大的反而小進行分析即可．【解答】解：∵|﹣3.5|＝3.5，∴-3故選：A．【變式7-3】（2021秋?靖西市期中）下列各組數中，比較大小正確的是（）A．|-23|＜|-12| B．﹣|﹣34C．﹣|﹣8|＞7 D．-【分析】先化簡各數，然后再進行比較即可．【解答】解：A．∵|-23|=23，|∴|-23|＞|故A錯誤；B．∵﹣|-3411|=-3411，﹣（∴﹣|-3411|＜﹣（故B錯誤；C．∵﹣|﹣8|＝﹣8，∴﹣|﹣8|＜7，故C錯誤；D．∵|-56|=56，|∴56∴-5故D正確；故選：D．【題型8利用特殊值法比較有理數大小】【例8】（2021秋?姑蘇區校級期末）如果實數﹣1＜a＜0，那么a，﹣a，a2，1aA．a＜﹣a＜a2＜1a B．﹣a＜a＜a2＜1a C．1a＜a＜a2＜﹣a D．1【分析】用特殊值法比較大小即可．【解答】解：若a=-1﹣a=1a2=11a∵﹣2＜-∴1a＜a＜a2＜﹣故選：C．【變式8-1】（2021秋?襄汾縣期中）已知a是小于1的正數，則﹣a，﹣a2，-1a，A．﹣a＞-1a＞-a2＞-1aC．-1a2＞-1a＞-a2【分析】根據兩個負數比較大小，絕對值大的反而小，據此判斷即可．【解答】解：∵0＜a＜1，∴|-1∴-a故選：B．【變式8-2】（2021秋?朝陽區期末）設a，b，c為非零有理數，a＞b＞c，則下列大小關系一定成立的是（）A．a﹣b＞b﹣c B．1a＜1b＜1c C．a2＞b2＞c2 D．【分析】根據等式的性質和反例，結合有理數大小比較的方法即可求解．【解答】解：A、當a＝0，b＝﹣2，c＝﹣5時，a﹣b＜b﹣c，不符合題意；B、當a＝1，b＝﹣2，c＝﹣5時，1aC、當a＝1，b＝﹣2，c＝﹣5時，a2＜b2＜c2，不符合題意；D、∵a＞b，∴a﹣c＞b﹣c，符合題意．故選：D．【變式8-3】（2021秋?玄武區期末）已知﹣1＜x＜0，則x、x2、x3的大小關系是．（用“＜”連接）【分析】直接利用x的取值范圍進而得出答案．【解答】解：∵﹣1＜x＜0，∴x＜x3＜x2．故答案為：x＜x3＜x2．【知識點2數軸法比較有理數大小】在數軸上表示出這兩個有理數，左邊的數總比右邊的數小.【題型9利用數軸比較有理數大小】【例9】（2021秋?長春期末）如圖，點A表