弗賴登塔爾的數學教育理論

生平及貢獻弗賴登塔爾（HansFreudenthal，1905-1990年）,荷蘭籍數學家和數學教育家,生于德國，是著名數學家布勞威爾的學生，

被稱為“二十世紀數學教育之父”，曾任荷蘭數學會的兩屆主席．1930年獲柏林大學數學博士學位；1946年起任荷蘭Utrecht大學教授；1951年起為荷蘭皇家科學院院士；1967年當選為國際數學教育委員會主席；1971-1976年任數學教育研究所所長；1987年12月應邀來上海華東師范大學講學，并先后三次來中國.主要工作1967年當選為國際數學教育委員會(ICMI)主席；

1969年召開了第一屆國際數學教育大會（ICME）；提倡數學教育的科學研究；創辦《數學教育研究》理論刊（EducationalStudiesinMathematics).主要數學教育論著：《作為教育任務的數學》；《除草與播種———數學教育學的序言》；《數學結構的教學法現象》；《數學教育再探———在中國的三次講學》弗賴登塔爾的數學教育觀情境問題是教學的平臺數學化是數學教育的目標學生通過自己努力得到的結論和創造是教育內容的一部分“互動”是主要的學習方式學科交織是數學教育內容的呈現方式概括為：現實、數學化、再創造(1)何謂數學教育中的“現實”？數學教育中的現實——數學來源于現實，存在于現實，應用于現實，而且每個學生有各自不同的“數學現實”.數學教師的任務之一就是幫助學生構造數學現實，并在此基礎上發展他們的數學現實.運用“現實的數學”進行教學時，必須明確數學的概念、數學的運算法則以及數學的命題，歸根結底都是來自于世界的實際需要，是現實世界的抽象反映和人類經驗的總結。數學研究的對象，是現實世界同一類事物或現象抽象而成的量化模式。社會需要的人才是多方面的，不同層次、不同專業所需要的數學知識不盡相同。如何理解“現實”？不同的社會需要是否就是“現實”？每個人的“數學現實”是一樣的嗎？

數學教育應為不同的人提供不同的數學修養，從而為每個人培養適合于他所從事的不同專業所必需的數學態勢，使其能順利地處理有關的各種數學問題。為此，弗賴登塔爾的一個基本結論是：每個人都有自己生活、工作和思考著的特定客觀世界以及反映這個客觀世界的各種數學概念、它的運算方法、規律和有關的數學知識結構。這就是說，每個人都有自己的一套“數學現實”。從這個意義上說，所謂“現實”不一定限于具體的事物，作為屬于這個現實世界的數學本身，也是“現實”的一部分，或者可以說，每個人也都有自己所接觸到的特定的“數學現實”。大多數人的數學現實世界可能只限于數和簡單的幾何形狀以及它們的運算，另一些人可能需要熟悉某些簡單的函數與比較復雜的幾何，至于一個數學家的數學現實可能就要包含Hilbert空間的算，子、拓撲學以及纖維叢等等。

數學教育的任務就在于，隨著學生們所接觸的客觀世界越來越廣泛，應該確定各類學生在不同階段必須達到的“數學現實”，并且根據學生所實際擁有的“數學現實”，采取相應的方法予以豐富，予以擴展，從而使學生逐步提高所具有的“數學現實”的程度并擴充其范圍。數學教學的本質就是培養學生從已有的“數學現實”發展到更高層次的“數學現實”。例：通過公共汽車上下車人數的變化引入整數的加減法，并找出運算規律；借助學生上學乘汽車、騎自行車或步行等多種交通工具以及途中出現的各種情況，介紹各種類型的圖象表示、解析表示，進一步可介紹變化率以及斜率等概念及有關性質；還可以從商店出售各種不同牌子、不同規格的商品所獲得的利潤計算，引進矩陣的乘法概念，以及它的運算法則；以及根據血壓的變化介紹一般周期函數的概念，再進到更有規律的正弦函數及其性質；或者從物質的生長率引進指數函數概念，從而導出對數函數等。

由于人們對數學需求不盡相同，各人在不同階段又有特定的數學現實，弗賴登塔爾認為，在現實背景材料的使用上有下述三種不同的水平：

第一級是在實際問題中直接包含著有關的數學運算，只要通過簡單的變換或過渡，就可以從實際問題求得相應的數學問題。在這里，具體的現實問題起著核心作用。

(數學知識的簡單應用)

第二級是提出了某個現實問題，希望學生能夠找出與之有關的數學，加以組織，建立結構，從而解決問題。這里需要運用數學作為工具來組織現實問題并予以解決，因而具體的實際問題是起著實質性的作用。

(生活數學的數學化)

第三級則是指出某個數學概念或是描述了某個數學過程的特征，由此引進新的數學概念或是構造新的數學模型，在這兒所提供的現實背景材料已經從通常的具體客觀世界中抽象出來。

(數學問題的模型化)

綜上所述，弗賴登塔爾提的“數學現實”原則，和我們通常所說的理論聯系實際有原則的區別，有其獨特的含義和理論深度，值得我們借鑒。

(2)什么是“數學化”？

弗賴登塔爾認為，人們運用數學的方法觀察現實世界，分析研究各種具體現象，并加以整理組織，這個過程就是數學化。簡單地說，數學地組織現實世界的過程就是數學化。數學化，是一個由淺入深，具有不同層次、不斷發展的過程。數學化的對象：

數學本身——深化數學知識，或者使數學知識系統化，形成不同層次的公理體系和形式體系。現實客觀事物——形成了數學概念、運算法則等。事實上，各門科學的發展都有數學化的功勞，正如蘇聯數學家格涅堅科所說，當今的世“不僅僅是科學在數學化，而且絕大多數實踐活動也在數學化”，“我們的時代是數學化的時代”。

正如弗賴登塔爾所說：“數學教學必須通過數學化來進行”。在現實數學教育者的眼里，學習者從一個具體的情境問題開始到得出一個抽象數學概念的教育全過程就是數學化的過程，學生對數學的“再發現”就是“數學化”。需要強調的是，數學化是一個過程。在現代教育中，把數學化作為數學課本內容一部分，是使課本成為學生自己去“發現”一些已有數學結果的輔導書。比如：高等院校數學學院開設的數學建模等課程，將現實問題轉化為數學問題進行思考，從而解決實際問題，以此來體現數學化。現實數學教育的數學化有兩種形式：一是實際問題轉化為數學問題的數學化，即發現實際問題中的數學成分，并對這些成分作符號化處理；二是從符號到概念的數學化，即在數學范疇之內對已經符號化了的問題作進一步抽象化處理。實際問題轉化為數學問題的基本流程是：確定一個具體問題中包含的數學成分；建立這些數學成分與學生已知的數學模型之間的聯系；通過不同方法使這些數學成分形象化、符號化和公式化；找出蘊含其中的關系和規則；考慮相同數學成分在其他數學知識領域方面的體現；作出形式化表述。從符號到概念的數學化的基本流程是：用數學公式表示關系；對有關規則作出證明；嘗試建立和使用不同的數學模型；對得出的數學模型進行調整和加工；綜合不同數學模型的共性，形成功能更強的新模型；用已知數學公式和語言盡量準確地描述得到的新概念和新方法；作一般化的處理、推廣。(3)什么是“再創造”？學生“再創造”過程學習數學的過程實際上就是一個“做數學”的過程，這是目前數學教育的一個重要的觀點。特點：弗賴登塔爾的“再創造”強調學生學習數學是一個經驗、理解和反思的過程，強調以學生為主體的學習活動對學生理解數學的重要性，強調激發學生主動學習的重要性，并以為“做數學”是學生理解數學的重要條件。日常生活中，象“狗”、“椅子”等概念，都不需要事先給以嚴格的定義，兒童通過實際接觸，自然地形成了概念。數學中的一些東西，同樣來自現實，也可以通過學生的實際感受而形成概念。他的著作多數根據自己研究上數學體會，以及觀察兒童學習數學經歷而寫成，思辨性論述比較多。弗賴登塔爾所說的“再創造”，其核心是數學過程再現。這就要求老師設想你當時已經有了現在的知識，你將是怎樣發現那些成果的；或者設想一個學生學習得到指導時，他是怎樣發現的。教師的任務是引導和幫助學生去進行這種再創造的工作。弗賴登塔爾的數學教育理論不是“教育學+數學例子”式的論述，而是抓住數學教育的特征，緊扣數學教育的特殊過程，因而有“數學現實”、“數學化”、“數學反思”、“再創造”、“思辨數學”等諸多特有的概念.每一個概念以及他的每一個想法，都值得我們去思考、去領悟、去實踐……也就是說，學生通過自己的實踐活動學會了怎樣定義一個數學的概念，對于定義的必要性與作用都會有更深的體會，通過這樣的“再創造”方式進行的概念教學，顯然比將一個現成的定義強加給學生要有效得多.偉大的教育家夸美紐斯有一句名言：“教一個活動的最好方法是演示。”他主張要打開學生的各種感覺器官，那就不僅是被動地通過語言依賴聽覺來吸收知識，也包括眼睛看甚至手的觸摸及動作。弗賴登塔爾將這一思想進一步發展成為“學一個活動的最好方法是實踐”，這樣提法的目的是將強調的重點從教轉向學，從教師的行為轉到學生的活動，并且從感覺的效應轉為運動的效應。就象游泳本身也有理論，學游泳的人也需要觀摩教練的示范動作，但更重要的是他必須下水去實地練習，老是站在陸地上是永遠也學不會游泳的。

提倡按“再創造”原則來進行數學教育，就是基于以上原理，弗賴登塔爾認為可以從教育學的角度來找到這一做法的合理根據，至少可以提出以下三點：

(1)通過自身活動所得到的知識與能力比由旁人硬塞的理解得透徹，掌握得快，同時也善于應用，一般來說還可以保持較長久的記憶。

(2)發現是一種樂趣，通過“再創造”來進行學習能夠引起學生的興趣，并激發其學習動力。

(3)通過“再創造”方式，可以進一步促進人們形成數學教育是一種人類活動的看法。

弗賴登塔爾數學教育思想對中學數學教育的啟示(1)數學教學要立足于數學現實，著眼于超越現實按照弗賴登塔爾“數學現實”思想,數學教學必須聯系實際，而且要應用于實際。為了達到這個目的，作為老師，要加強數學史的學習，從這出發能更好的把握數學的邏輯；引入生活中的新鮮例子，了解他學科知識背景，并能從中抽象數學問題。數學教學中運用“數學現實”的關鍵點：要立足于學生現有的水平，并以超越學生現有水平為目的，使學生感覺到數學的有用之處(2)注重學生的數學化過程，提倡探究教學學生“數學化”的過程，就是將學生的數學現實進一步提高、組織、抽象的過程。根據弗賴登塔爾提出的應該讓每個人在學習數學的過程中，根據自己的體驗，用自己的思維方式，重新創造有關的數學知識的觀點。那么數學課堂應以探究為主要任務，最終達到自主發現。(3)強調反思，提升學生思維能力