16.3角的平分線學習目標：會用尺規作角的平分線。通過操作、實驗等方式，掌握角平分線的性質定理和判定定理。能運用角的平分線定理解決簡單的幾何問題。復習：角平分線的定義：如圖所示，從一個角的頂點出發，把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個角的角平分線。OBACOBAC∠AOC=∠BOC=∠AOB/2∠AOB=2∠AOC=2∠BOC由角平分線得到的結論探究1：如圖是一個平分角的儀器，其中AB=AD，BC=DC，將點A放在角的頂點上，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，則AE就是∠BAD的平分線。你能說出它的道理嗎？D····CBAE在△ADC和△ABC中，AD=ABDC=BCAC=AC∴△ADC≌△ABC∴∠DAE=∠DAE（SSS）觀察思考：可見，以上作圖中因為保證了兩個條件：(1)AB＝AD(2)DC＝BC所以作出來的射線OC是∠BAD的平分線！我們能否依據這個原理設計出一個作∠AOB角平分線的方法呢？ABOEDC尺規作圖已知:∠AOB,如圖.求作:射線OC,使∠AOC=∠BOC.作法:用尺規作角的平分線.1.在OA和OB上分別截取OD,OE,使OD=OE.2.分別以點D和E為圓心,以大于DE/2長為半徑作弧,兩弧在∠AOB內交于點C.3.作射線OC.請你說明OC為什么是∠AOB的平分線,并與同伴進行交流.老師提示:作角平分線是最基本的尺規作圖,這種方法要準確掌握.ABOC則射線OC就是∠AOB的平分線.ED探究2：角平分線有什么性質呢？作∠AOB的平分線OC，點P是射線OC上的任意一點.

1.操作測量：取點P的三個不同的位置，分別過點P作PD⊥OA，PE⊥OB,點D、E為垂足，測量PD、PE的長.將三次數據填入下表：2.觀察測量結果，猜想線段PD與PE的大小關系，寫出結論：____________

PDPE第一次第二次第三次

COBAPD=PEpDE角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等題設：一個點在一個角的平分線上結論：它到角的兩邊的距離相等AOBPED證明結論：CAOBEDPC∵OC平分∠AOB,∴

∠AOC＝∠BOC∵

PD⊥OA，PE⊥OB證明：∴

∠PDO=∠PEO=90°在△POD和△POE中

∴△PDO≌△PEO（AAS）

∠PDO＝∠PEO∠AOC＝∠BOCOP=OP∴

PD＝PE已知：如圖所示，OC是∠AOB的平分線，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、E.求證：PD=PE.角平分線的性質定理：在角平分線上的點到角的兩邊的距離相等用符號語言表示為：AOBPED12∵∠1=∠2PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE.你能用三角形全等證明這個性質嗎？

到一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角平分線上。已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、E，PD=PE.求證：點P在∠AOB的平分線上。角平分線的判定定理AOBPDEC用符號語言表示為：∵PD=PEPD⊥OA，PE⊥OB∴∠AOC=∠BOC.1.填空：(1).∵∠1=∠2,DC⊥AC,DE⊥AB∴___________(___________________________________________)(2).∵DC⊥AC,DE⊥AB,DC=DE∴__________(___________________________________________)ACDEB12∠1=∠2DC=DE到角的兩邊的距離相等的點，在角平分線上。角平分線上的點到角的兩邊的距離相等基礎練習：圖1圖2B（1）下列兩圖中，能表示直線l1上一點P到直線l2的距離的是（）圖12.選擇題：基礎練習：（2）下列兩圖中，能表示角的平分線上的一點P到角的邊上的距離的是（）圖1圖1圖2基礎練習：（1）∵如圖，AD平分∠BAC（已知）

∴

=

，()角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。BDCD基礎練習：3.判斷：（）×（2）∵如圖，DC⊥AC，DB⊥AB（已知）

∴

=

，()角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。BDCD（×）基礎練習：4.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的角平分線，DE⊥AB于點E，BC=8，BD=5，求DE。ABCDE12證明：∵∠C=90°（已知）∴DC⊥AC（垂直的定義）又∵AD是∠CAB的角平分線，

DE⊥AB（已知）∴CD=DE（角平分線上的點到角的兩邊的距離相等）又∵BC=8，BD=5∴CD=BC－BD=8－5=3∴DE=3基礎練習：5.已知：如圖，∠C=∠C′=90°，AC=AC′.求證（1）∠ABC=

∠ABC

′

；（2）BC=BC′.（要求不用三角形全等的判定）CBAC′基礎練習：證明：∵∠C=∠C′=90°，AC=AC′

（已知）∴∠ABC=

∠ABC

′

（到一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角平分線上）又∵∠ABC+∠BAC=∠ABC

′+∠BAC′=90°（直角三角形的兩銳角互余）∴

∠BAC=∠BAC′（等角的余角相等）又∵∠C=∠C′=90°

（已知）∴BC=BC′（角平分線上的點到角的兩邊的距離相等）1.已知：如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點P.

求證：（1）點P到三邊AB、BC、CA的距離相等.

（2）AP平分∠A.證明：過點P作PD、PE、PF分別垂直于AB、BC、CA，垂足為D、E、F∵BM是△ABC的角平分線，點P在BM上（已知）∴PD=PE（在角平分線上的點到角的兩邊的距離相等）同理PE=PF.∴PD=PE=PF（等量代換）.即點P到邊AB、BC、CA的距離相等∴AP平分∠A（在一個角的內部，到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上）DEFABCPMN提高訓練證明：∵AD平分∠CAB，

DE⊥AB，∠C＝90°（已知）∴CD＝DE(角平分線的性質)在Ｒt△FCD和Rt△DBE中

CD=DE（已證）

DF=DB（已知）∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)∴CF=DE（全等三角形對應邊相等）