§2.3變量間的有關關系§2.3.1變量之間的有關關系§2.3.2兩個變量的線性有關一、教材分析變量之間的關系是人們感愛好的問題.教科書通過思考欄目“物理成績與數學成績之間的關系”,引導學生考察變量之間的關系.在教師的引導下,可使學生認識到在現實世界中存在不能用函數模型描述的變量關系,從而體會研究變量之間的有關關系的重要性.隨即,通過探究人體脂肪比例和年紀之間的關系,引入描述兩個變量之間關系的線性回歸方程（模型）.教科書在探索用多個辦法擬定線性回歸直線的過程中,向學生展示發明性思維的過程,協助學生理解最小二乘法的思想.通過氣溫與飲料銷售量的例子及隨即的思考,使學生理解運用線性回歸方程解決實際問題的全過程,體會線性回歸方程作出的預測成果的隨機性,并且可能犯的錯誤.進一步,教師能夠運用計算機模擬和多媒體技術,直觀形象地展示預測成果的隨機性和規律性.二、教學目的1.通過收集現實問題中兩個有關聯變量的數據認識變量間的有關關系.2.明確事物間的互相聯系.認識現實生活中變量間除了存在擬定的關系外,仍存在大量的非擬定性的有關關系,并運用散點圖直觀體會這種有關關系.3.經歷用不同估算辦法描述兩個變量線性有關的過程．懂得最小二乘法的思想,能根據給出的線性回歸方程的系數公式建立線性回歸方程．三、重點難點教學重點：通過收集現實問題中兩個有關聯變量的數據直觀認識變量間的有關關系；運用散點圖直觀認識兩個變量之間的線性關系；根據給出的線性回歸方程的系數公式建立線性回歸方程．教學難點：變量之間有關關系的理解；作散點圖和理解兩個變量的正有關和負有關；理解最小二乘法的思想.四、學時安排2學時五、教學設計第1學時（一）導入新課思路1在學校里,老師對學生經常這樣說：“如果你的數學成績好，那么你的物理學習就不會有什么大問題.”按照這種說法，似乎學生的物理成績與數學成績之間存在著一種有關關系.這種說法有無根據呢?請同窗們如實填寫下表（在空格中打“√”）:好中差你的數學成績你的物理成績學生討論：我們能夠發現自己的數學成績和物理成績存在某種關系.（似乎就是數學好的,物理也好；數學差的,物理也差,但又不全對.）物理成績和數學成績是兩個變量,從經驗看,由于物理學習要用到比較多的數學知識和數學辦法.數學成績的高低對物理成績的高低是有一定影響的.但決非唯一因素,尚有其它因素,如與否喜歡物理,用在物理學習上的時間等等.（總結：不能通過一種人的數學成績是多少就精確地斷定他的物理成績能達成多少.但這兩個變量是有一定關系的,它們之間是一種不擬定性的關系.如何通過數學成績的成果對物理成績進行合理預計有非常重要的現實意義.）為較好地闡明上述問題,我們開始學習變量之間的有關關系和兩個變量的線性有關.(教師板書課題)思路2某地區的環境條件適合天鵝棲息繁衍，有人經統計發現了一種有趣的現象，如果村莊附近棲息的天鵝多，那么這個村莊的嬰兒出生率也高，天鵝少的地方嬰兒的出生率低，于是，他就得出一種結論：天鵝能夠帶來孩子.你認為這樣得到的結論可靠嗎？如何證明這個結論的可靠性？（二）推動新課、新知探究、提出問題（1）糧食產量與施肥量有關系嗎？“名師出高徒”能夠解釋為教師的水平越高,學生的水平也越高.教師的水平與學生的水平有什么關系？你能舉出更多的描述生活中兩個變量的有關關系的成語嗎？（2）兩個變量間的有關關系是什么？有幾個？（3）兩個變量間的有關關系的判斷.討論成果：（1）糧食產量與施肥量有關系,普通是在原則范疇內,施肥越多,糧食產量越高；教師的水平與學生的水平是有關的,如水滴石穿,三人行必有我師等.我們還能夠舉出現實生活中存在的許多有關關系的問題.例如:商品銷售收入與廣告支出經費之間的關系.商品銷售收入與廣告支出經費有著親密的聯系,但商品銷售收入不僅與廣告支出多少有關,還與商品質量、居民收入等因素有關.糧食產量與施肥量之間的關系.在一定范疇內,施肥量越大,糧食產量就越高.但是,施肥量并不是決定糧食產量的唯一因素.由于糧食產量還要受到土壤質量、降雨量、田間管理水平等因素的影響.人體內的脂肪含量與年紀之間的關系.在一定年紀段內,隨著年紀的增加,人體內的脂肪含量會增加,但人體內的脂肪含量還與飲食習慣、體育鍛煉等有關,可能還與個人的先天體質有關.應當說,對于上述多個問題中的兩個變量之間的有關關系,我們都能夠根據自己的生活、學習經驗作出對應的判斷,由于“經驗當中有規律”.但是,不管你的經驗多么豐富,如果只憑經驗辦事,還是很容易出錯的.因此,在分析兩個變量之間的有關關系時,我們需要某些有說服力的辦法.在尋找變量之間有關關系的過程中,統計同樣發揮著非常重要的作用.由于上面提到的這種關系,并不像勻速直線運動中時間與路程的關系那樣是完全擬定的,而是帶有不擬定性.這就需要通過收集大量的數據(有時通過調查,有時通過實驗),在對數據進行統計分析的基礎上,發現其中的規律,才干對它們之間的關系作出判斷.(2)有關關系的概念：自變量取值一定時,因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關系,叫做有關關系.兩個變量之間的關系分兩類：①擬定性的函數關系,例如我們以前學習過的一次函數、二次函數等；②帶有隨機性的變量間的有關關系,例如“身高者,體重也重”,我們就說身高與體重這兩個變量含有有關關系.有關關系是一種非擬定性關系.如商品銷售收入與廣告支出經費之間的關系.（還與商品質量、居民收入、生活環境等有關）(3)兩個變量間的有關關系的判斷：①散點圖.②根據散點圖中變量的對應點的離散程度,能夠精確地判斷兩個變量與否含有有關關系.③正有關、負有關的概念.①教學散點圖出示例題：在一次對人體脂肪含量和年紀關系的研究中,研究人員獲得了一組樣本數據：年紀23273841454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2年紀53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.6分析數據：大致上來看,隨著年紀的增加,人體中脂肪的比例也在增加.我們能夠作散點圖來進一步分析.②散點圖的概念：將各數據在平面直角坐標系中的對應點畫出來,得到表達兩個變量的一組數據的圖形,這樣的圖形叫做散點圖，以下圖.從散點圖我們能夠看出，年紀越大，體內脂肪含量越高.圖中點的趨勢表明兩個變量之間確實存在一定的關系,這個圖支持了我們從數據表中得出的結論.（a.如果全部的樣本點都落在某一函數曲線上,就用該函數來描述變量之間的關系,即變量之間含有函數關系．b.如果全部的樣本點都落在某一函數曲線附近,變量之間就有有關關系.c.如果全部的樣本點都落在某始終線附近,變量之間就有線性有關關系）③正有關與負有關的概念：如果散點圖中的點散布在從左下角到右上角的區域內,稱為正有關.如果散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區域內,稱為負有關.（注：散點圖的點如果幾乎沒有什么規則,則這兩個變量之間不含有有關關系）（三）應用示例思路1例1下列關系中,帶有隨機性有關關系的是_____________.①正方形的邊長與面積之間的關系②水稻產量與施肥量之間的關系③人的身高與年紀之間的關系④降雪量與交通事故的發生率之間的關系解析：兩變量之間的關系有兩種：函數關系與帶有隨機性的有關關系.①正方形的邊長與面積之間的關系是函數關系.②水稻產量與施肥量之間的關系不是嚴格的函數關系,但是含有有關性,因而是有關關系.③人的身高與年紀之間的關系既不是函數關系,也不是有關關系,由于人的年紀達成一定時期身高就不發生明顯變化了,因而他們不含有有關關系.④降雪量與交通事故的發生率之間含有有關關系,因此填②④.答案：②④例2有關法律規定,香煙盒上必須印上“吸煙有害健康”的警示語.吸煙與否一定會引發健康問題?你認為“健康問題不一定是由吸煙引發的,因此能夠吸煙”的說法對嗎?分析：學生思考,然后討論交流,教師及時評價.解：從已經掌握的知識來看,吸煙會損害身體的健康,但是除了吸煙之外,尚有許多其它的隨機因素影響身體健康,人體健康是諸多因素共同作用的成果.我們能夠找到長壽的吸煙者,也更容易發現由于吸煙而引發的患病者,因此吸煙不一定引發健康問題.但吸煙引發健康問題的可能性大.因此“健康問題不一定是由吸煙引發的,因此能夠吸煙”的說法是不對的.點評：在探究研究的過程中,如果能夠從兩個變量的觀察數據之間發現有關關系是極為故意義的,由此能夠進一步研究兩者之間與否蘊涵因果關系,從而發現引發這種有關關系的本質因素是什么.本題的意義在于引導學生重視對統計成果的解釋,從中發現進一步研究的問題.思路2例1有時候,某些東西吃起來口味越好,對我們的身體越有害.下表給出了不同類型的某種食品的數據.第二列表達此種食品所含熱量的比例,第三列數據表達由某些美食家以百分制給出的對此種食品口味的評價:品牌所含熱量的比例口味統計A2589B3489C2080D1978E2675F2071G1965H2462I1960J1352（1）作出這些數據的散點圖.(2)有關兩個變量之間的關系,你能得出什么結論?解：(1)散點圖以下：(2)基本成正有關關系,即食品所含熱量越高,口味越好.例2案例分析：普通說來,一種人的身高越高,他的右手一拃長就越長,因此,人的身高與右手一拃長之間存在著一定的關系.為了對這個問題進行調查,我們收集了北京市某中學高三年級96名學生的身高與右手一拃長的數據以下表.性別身高/cm右手一拃長/cm性別身高/cm右手一拃長/cm女15218.5女15316.0女15616.0女15720.0女15817.3女15920.0女16015.0女16016.0女16017.5女16017.5女16019.0女16019.0女16019.0女16019.5女16116.1女16118.0女16218.2女16218.5女16320.0女16321.5女16417.0女16418.5女16419.0女16420.0女16515.0女16516.0女16517.5女16519.5女16619.0女16719.0女16719.0女16816.0女16819.0女16819.5女17021.0女17021.0女17021.0女17119.0女17120.0女17121.5女17218.5女17318.0女17322.0男16219.0男16419.0男16521.0男16818.0男16819.0男16917.0男16920.0男17020.0男17021.0男17021.5男17022.0男17121.5男17121.5男17122.3男17221.5男17223.0男17320.0男17320.0男17320.0男17320.0男17321.0男17422.0男17422.0男17516.0男17520.0男17521.0男17521.2男17522.0男17616.0男17619.0男17620.0男17622.0男17622.0男17721.0男17821.0男17821.0男17822.5男17824.0男17921.5男17921.5男17923.0男18022.5男18121.1男18121.5男18123.0男18218.5男18221.5男18224.0男18321.2男18525.0男18622.0男19121.0男19123.0（1）根據上表中的數據,制成散點圖.你能從散點圖中發現身高與右手一拃長之間的近似關系嗎？（2）如果近似成線性關系,請畫出一條直線來近似地表達這種線性關系.（3）如果一種學生的身高是188cm,你能預計他的一拃大概有多長嗎？解：根據上表中的數據,制成的散點圖以下.從散點圖上能夠發現,身高與右手一拃長之間的總體趨勢是成始終線,也就是說,它們之間是線性有關的.那么,如何擬定這條直線呢？同窗1：選擇能反映直線變化的兩個點,例如（153,16）,（191,23）兩點擬定一條直線.同窗2：在圖中放上一根細繩,使得上面和下面點的個數相似或基本相似.同窗3：多取幾組點對,擬定幾條直線方程.再分別算出各個直線方程斜率、截距的算術平均值,作為所求直線的斜率、截距.同窗4：從左端點開始,取兩條直線,以下圖.再取這兩條直線的“中間位置”作一條直線.同窗5：先求出相似身高同窗右手一拃長的平均值,畫出散點圖,以下圖,再畫出近似的直線,使得在直線兩側的點數盡量同樣多.同窗6：先將全部的點分成兩部分,一部分是身高在170cm下列的,一部分是身高在170cm以上的；然后,每部分的點求一種“平均點”——身高的平均值作為平均身高、右手一拃的平均值作為平均右手一拃長,即（164,19）,（177,21）；最后,將這兩點連接成一條直線.同窗7：先將全部的點按從小到大的次序進行排列,盡量地平均分成三等份；每部分的點按照同窗3的辦法求一種“平均點”,最小的點為（161.3,18.2）,中間的點為（170.5,20.1）,最大的點為（179.2,21.3）.求出這三個點的“平均點”為（170.3,19.9）.我再用直尺連接最大點與最小點,然后平行地推,畫出過點（170.3,19.9）的直線.同窗8：取一條直線,使得在它附