定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法小結思考題作業定積分的分部積分法definiteintegralbypartsdefiniteintegralbysubstitution定積分1

上一節的牛—萊公式將定積分的計算的形式,而不定積分可用換元法和分部積分法求積,這樣定積分的計算問題已經比較完滿地解決了.定積分的換元法和分部積分法歸結為求不定積分,如果將換元法和分部積分法寫成定積分?？墒沟糜嬎愀唵?2定理1則有定積分換元公式假設函數定積分的換元法和分部積分法一、定積分的換元法函數滿足條件:(1)(2)具有連續導數,且其值域definiteintegralbysubstitution)(txj=;)(,)(ba==bjaj3證故有則由于N--L公式N--L公式則所以存在原函數定積分的換元法和分部積分法原函數,4注由于積分限做了相應的故積出來的原函數不必回代;求定積分的方法有兩種方法:

可用N--L公式;

從換元的觀點.(1)換元公式仍成立;(2)在定積分換元公式中,改變,(3)定積分的換元法和分部積分法5例解

在用“湊”微分的方法時,不明顯地寫出下限就不要變.定積分的上、新的變量t,注定積分的換元法和分部積分法6或例解原式這是半徑為a的四分之一的圓的面積.定積分的換元法和分部積分法7例解原式定積分的換元法和分部積分法8解令原式練習定積分的換元法和分部積分法9

幾個關于奇、偶函數及周期函數的定積分的例子.

換元積分例證由于由被積函數的變化和積分區間變化來確定變換.通常定積分的換元法和分部積分法作變換,還可以證明一些定積分等式,10利用這一結果計算:則定積分的換元法和分部積分法òò--+=\aaaxxfxfxxf0d)]()([d)(11可得:

由定積分的幾何意義(面積的代數和)也可得.奇、偶函數在對稱區間上的定積分性質且有則則定積分的換元法和分部積分法òò--+=aaaxxfxfxxf0d)]()([d)(由12例定積分的換元法和分部積分法13練習奇奇偶定積分的換元法和分部積分法xxxxxxd12)2(2222345ò-+---+xxxxd1222224ò-+--+14證(1)三角函數的定積分公式例由此計算設定積分的換元法和分部積分法證畢.ò20d)(sinpxxfòú?ùê?é÷???è?--=ttfd2sinp15定積分的換元法和分部積分法設證由此計算ò---=ttftd)][sin()(pp16說明:盡管但由于它沒有初等原函數,故此積分無法直接用N--L公式求得.定積分的換元法和分部積分法òpp0d)(sin2xxf17周期函數的定積分公式這個公式就是說：周期函數在任何長為一周期的區間上的定積分都相等.(留給同學證)定積分的換元法和分部積分法18例解法一定積分的換元法和分部積分法ò-31d)2(xxfò=)(tftetd10ò-+19法二即{定積分的換元法和分部積分法20練習解被積函數中除積分變量t外還含有變量x,故不能直接應用對積分上限函數的導數的公式,應先作換元變換,則分析定積分的換元法和分部積分法2002dsinlimxuuuxxò?=\原式21定積分的換元法和分部積分法練習選擇題設函數連續,則下列函數中,必為偶函數的是分析?2002年考研數學(二)選擇3分22定積分的分部積分公式定積分的換元法和分部積分法二、定積分的分部積分法設有連續的導數,則definiteintegralbyparts定理2由不定積分的分部積分法及N--L公式.23例

解定積分的換元法和分部積分法原式=?24例

解定積分的換元法和分部積分法1990年考研數學(一)計算5分原式=25例

解無法直接求出所以因為沒有初等原函數,定積分的換元法和分部積分法分析被積函數中含有“積分上限的函數”,用分部積分法做.選擇積分上限的函數為26定積分的換元法和分部積分法注今后也可將原積分化為二重積分計算.27例證明定積分公式證設n為正偶數n為大于1的正奇數J.Wallis公式十七世紀的英國數學家JohnWallis給出.定積分的換元法和分部積分法xxxnndcossin)1(2022ò×-+-p28積分關于下標的遞推公式直到下標減到0或1為止因為定積分的換元法和分部積分法xxxnndcossin)1(2022ò×-+-p--=ò-xxnInndsin)1(202p29所以,當n為正偶數時,當n為大于1的正奇數時,定積分的換元法和分部積分法30例

為正偶數為大于1的正奇數上公式在計算其它積分時可以直接引用.注定積分的換元法和分部積分法==òòxxxxdcosdsin207207pp10931例

解用公式n為正偶數定積分的換元法和分部積分法ttxdcos2d=ttdcos2×32練習解用定積分的分部積分公式定積分的換元法和分部積分法33解則是奇函數,是偶函數,

周期函數在任何長為一周期的區間上的定積分都相等.定積分的換元法和分部積分法練習n為正偶數34定積分的分部積分公式定積分的換元法和分部積分法三、小結定積分的換元公式奇、偶函數在對稱區間上的定