Page552023屆高考專(zhuān)題——平面向量第一講平面向量的概念及其線性運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)一向量的有關(guān)概念(1)向量：既有又有的量叫做向量，向量的大小叫做向量的(或稱(chēng)模)．(2)零向量：的向量叫做零向量，其方向是的，零向量記作.(3)單位向量：長(zhǎng)度等于個(gè)單位的向量．(4)平行向量：方向相同或的向量；平行向量又叫向量．規(guī)定：0與任一向量.(5)相等向量：長(zhǎng)度且方向的向量．(6)相反向量：長(zhǎng)度且方向的向量．知識(shí)點(diǎn)二向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算法則法則(1)交換律：a＋b＝；(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝減法向量a加上向量b的叫做a與b的差，即a＋(－b)＝a－b法則a－b＝a＋(－b)數(shù)乘實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量記作λa(1)模：|λa|＝|λ||a|；(2)方向：當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0設(shè)λ，μ是實(shí)數(shù)．(1)λ(μa)＝(λμ)a(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.知識(shí)點(diǎn)三共線向量定理向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使.常用結(jié)論：1．零向量與任何向量共線．2．與向量a(a≠0)共線的單位向量±eq\f(a,|a|).3．若存在非零實(shí)數(shù)λ，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))或eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))或eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，則A，B，C三點(diǎn)共線．4．首尾相連的一組向量的和為0.5．若P為AB的中點(diǎn)，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．6．若a、b不共線，且λa＝μb，則λ＝μ＝0.考點(diǎn)一向量的基本概念例1(1)(多選題)(2021·臨沂模擬)下列命題中的真命題是()A．若|a|＝|b|，則a＝bB．若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則“eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件C．若a＝b，b＝c，則a＝cD．a(chǎn)＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b(2)設(shè)a，b都是非零向量，下列四個(gè)條件，使用eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充要條件是()A．a(chǎn)＝b B．a(chǎn)＝2bC．a(chǎn)∥b且|a|＝|b| D．a(chǎn)∥b且方向相同跟蹤練習(xí)1．(2022·南通聯(lián)考)下列命題中正確的是()A．若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別重合B．模相等的兩個(gè)平行向量是相等向量C．若a和b都是單位向量，則a＝bD．兩個(gè)相等向量的模相等2．設(shè)a，b為非零向量，則“a∥b”是“a與b方向相同”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．(2022·日照調(diào)研)若四邊形ABCD滿足eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up7(→))且|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(DC,\s\up7(→))|，則四邊形ABCD的形狀是()A．等腰梯形 B．矩形C．正方形 D．菱形4．(2022·宜昌月考)已知a，b是兩個(gè)非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，則下列說(shuō)法正確的是()A．a(chǎn)＋b＝0B．a(chǎn)＝bC．a(chǎn)與b共線反向D．存在正實(shí)數(shù)λ，使a＝λb5．設(shè)a是非零向量，λ是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是()A．a(chǎn)與λa的方向相反 B．a(chǎn)與λ2a的方向相同C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|a6．(多選)給出下列命題，其中假命題為()A．向量eq\o(AB,\s\up7(→))的長(zhǎng)度與向量eq\o(BA,\s\up7(→))的長(zhǎng)度相等B．向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反C．|a|＋|b|＝|a－b|?a與b方向相反D．若非零向量a與非零向量b的方向相同或相反，則a＋b與a，b之一的方向相同考點(diǎn)二向量的線性運(yùn)算角度1向量加、減法的幾何意義例2設(shè)非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則()A．a(chǎn)⊥b B．|a|＝|b|C．a(chǎn)∥b D．|a|>|b|角度2向量的線性運(yùn)算例3(2022·長(zhǎng)沙模擬)如圖，在梯形ABCD中，BC＝2AD，DE＝EC，設(shè)eq\o(BA,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，則eq\o(BE,\s\up6(→))＝()A．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b B．eq\f(1,3)a＋eq\f(5,6)bC．eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b D．eq\f(1,2)a＋eq\f(3,4)b角度3根據(jù)向量線性運(yùn)算求參數(shù)例4(2021·濟(jì)南模擬)如圖，在平行四邊形ABCD中，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，eq\o(CE,\s\up6(→))＝－2eq\o(DE,\s\up6(→))，若eq\o(EF,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))，則x＋y＝()A．1 B．6C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,3)跟蹤練習(xí)1.(2022·青島質(zhì)檢)在△ABC中，eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up7(→))，若eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b，則eq\o(AD,\s\up7(→))＝()A．eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b B．eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)bC．eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)b D．eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)b2.(2022·長(zhǎng)春調(diào)研)在△ABC中，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)M使得BC＝2CM，連接AM，點(diǎn)N為AM上一點(diǎn)且eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AM,\s\up7(→))，若eq\o(AN,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AC,\s\up7(→))，則λ＋μ＝()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2) D．－eq\f(1,3)3．(2022·濟(jì)南期中)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則eq\o(EB,\s\up7(→))＝()A．eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up7(→)) B．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up7(→))C．eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up7(→)) D．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up7(→))4．如圖，在△ABC中，eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\o(NC,\s\up7(→))，P是BN上的一點(diǎn)，eq\o(BP,\s\up7(→))＝3eq\o(PN,\s\up7(→))，若eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＋meq\o(AC,\s\up7(→))，則實(shí)數(shù)m的值為()A．eq\f(1,4) B．eq\f(3,8)C．eq\f(3,4) D．eq\f(9,7)5.(2022·湖北宜昌一中月考)已知a，b是兩個(gè)非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，則下列說(shuō)法正確的是()A．a(chǎn)＋b＝0B．a(chǎn)＝bC．a(chǎn)與b共線反向D．存在正實(shí)數(shù)λ，使a＝λb6.(2021·西安五校聯(lián)考)如圖，AB是圓O的一條直徑，C，D是半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝()A．eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))B．2eq\o(AC,\s\up6(→))－2eq\o(AD,\s\up6(→))C．eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))D．2eq\o(AD,\s\up6(→))－2eq\o(AC,\s\up6(→))7.在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD為BC邊上的高，O為AD的中點(diǎn)，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(BC,\s\up6(→))，其中λ，μ∈R，則λ＋μ等于()A．1 B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)8.故λ＋μ＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).3．已知正六邊形ABCDEF中，eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(EF,\s\up7(→))＝()A．eq\o(AF,\s\up7(→)) B．eq\o(BE,\s\up7(→))C．eq\o(CD,\s\up7(→)) D．09．已知平面內(nèi)一點(diǎn)P及△ABC，若eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→))＋eq\o(PC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))，則點(diǎn)P與△ABC的位置關(guān)系是()A．點(diǎn)P在線段AB上B．點(diǎn)P在線段BC上C．點(diǎn)P在線段AC上D．點(diǎn)P在△ABC外部10．(多選)在平行四邊形ABCD中，O是對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)，N是線段OD的中點(diǎn)，AN的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)E，則下列說(shuō)法正確的是()A．eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up7(→)) B．eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up7(→))C．eq\o(AO,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→)) D．eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\f(5,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))11．(2022·襄陽(yáng)模擬)若|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(AC,\s\up7(→))|＝|eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))|＝2，則|eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))|＝________．12．設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實(shí)數(shù)λ＝____________．13．一條河的兩岸平行，河的寬度d＝4km，一艘船從岸邊A處出發(fā)到河的正對(duì)岸，已知船的速度|v1|＝10km/h，水流速度|v2|＝2km/h，那么行駛航程最短時(shí)，所用時(shí)間是________h．(附：eq\r(6)≈2．449，精確到0．01)14．(2022·蘭州診斷)在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2eq\r(3)，BC＝2，點(diǎn)E在線段CD上，若eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋μeq\o(AB,\s\up7(→))，則μ的取值范圍是________．考點(diǎn)三共線向量定理及其應(yīng)用例5設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線．(1)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線．平面向量共線的判定方法(1)向量b與非零向量a共線的充要條件是存在唯一實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.要注意通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，要注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用．(2)證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，可用向量共線來(lái)解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線．跟蹤練習(xí)1．(2022·南昌質(zhì)檢)已知a，b是不共線的向量，eq\o(AB,\s\up7(→))＝λa＋b，eq\o(AC,\s\up7(→))＝a＋μb(λ，μ∈R)，若A，B，C三點(diǎn)共線，則λ，μ的關(guān)系一定成立的是()A．λμ＝1 B．λμ＝－1C．λ－μ＝－1 D．λ＋μ＝22．已知向量a和b不共線，向量eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋mb，eq\o(BC,\s\up7(→))＝5a＋3b，eq\o(CD,\s\up7(→))＝－3a＋3b，若A，B，C三點(diǎn)共線，則m＝()A．3 B．2C．1 D．－23.(2022·濟(jì)南模擬)已知向量a，b不共線，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c與d共線反向，則實(shí)數(shù)λ的值為()A．1 B．－eq\f(1,2)C．1或－eq\f(1,2) D．－1或－eq\f(1,2)4.已知向量a，b，c中任意兩個(gè)都不共線，并且a＋b與c共線，b＋c與a共線，那么a＋b＋c等于()A．a(chǎn) B．bC．c D．05.下列命題正確的是()A．向量a，b共線的充要條件是有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λaB．在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0C．不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中兩個(gè)等號(hào)不可能同時(shí)成立D．若向量a，b不共線，則向量a＋b與向量a－b必不共線6.下列敘述正確的是()A．若非零向量a與b的方向相同或相反，則a＋b與a，b其中之一的方向相同B．|a|＋|b|＝|a＋b|?a與b的方向相同C．eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝0D．若λ≠0，λa＝λb，則a＝b7.(多選)已知A，B，C是同一平面內(nèi)三個(gè)不同的點(diǎn)，eq\o(OA,\s\up7(→))＝a－b，eq\o(OB,\s\up7(→))＝2a－3b，eq\o(OC,\s\up7(→))＝3a－5b，則下列結(jié)論正確的是()A．eq\o(AC,\s\up7(→))＝2eq\o(AB,\s\up7(→)) B．eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))C．eq\o(AC,\s\up7(→))＝3eq\o(BC,\s\up7(→)) D．A，B，C三點(diǎn)共線8．(2022·重慶模擬)直線l上有不同的三點(diǎn)A，B，C，O是直線l外一點(diǎn)，對(duì)于向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝(1－cosα)eq\o(OB,\s\up7(→))＋sinαeq\o(OC,\s\up7(→))(α是銳角)總成立，則α＝________．9．(2022·濰坊期中)如圖，在△ABC中，eq\o(AE,\s\up7(→))＝3eq\o(EC,\s\up7(→))，D是BE上的點(diǎn)，若eq\o(AD,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→))，則實(shí)數(shù)x的值為_(kāi)_______．10.設(shè)兩向量a與b不共線．(1)若eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up7(→))＝3(a－b)．求證：A，B，D三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線．第二講平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示知識(shí)點(diǎn)一平面向量的基本定理、，如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2使a＝.知識(shí)點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)表示在直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與的兩個(gè)單位向量i，j作為基底，對(duì)任一向量a，有唯一一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得：a＝xi＋yj，叫做向量a的直角坐標(biāo)，記作a＝(x，y)，顯然i＝，j＝，0＝.知識(shí)點(diǎn)三平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝，a－b＝，λa＝，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝.知識(shí)點(diǎn)四向量共線的坐標(biāo)表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?.考點(diǎn)一平面向量基本定理的應(yīng)用例1(1)在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，且eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))＝3eq\o(EA,\s\up6(→))，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，則eq\o(DE,\s\up6(→))等于()A．eq\f(1,3)a＋eq\f(5,12)b B．eq\f(1,3)a－eq\f(13,12)bC．－eq\f(1,3)a－eq\f(5,12)b D．－eq\f(1,3)a＋eq\f(13,12)b(2)已知向量eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))和eq\o(AB,\s\up6(→))在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))，則λμ＝.跟蹤練習(xí)1．若e1，e2是平面α內(nèi)的一組基底，則下列四組向量能作為平面α的一組基底的是()A．e1－e2，e2－e1 B．e1＋e2，e1－e2C．2e2－3e1，－6e1＋4e2 D．2e1＋e2，e1＋eq\f(1,2)e22．在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，E為AC邊上的點(diǎn)，且eq\o(AE,\s\up7(→))＝2eq\o(EC,\s\up7(→))，則eq\o(DE,\s\up7(→))＝()A．eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up7(→)) B．－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up7(→))C．eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→)) D．－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→))3.(2022·汕頭調(diào)研)如圖，平行四邊形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)在線段BE上，且BF＝3FE，記a＝eq\o(BA,\s\up7(→))，b＝eq\o(BC,\s\up7(→))，則eq\o(CF,\s\up7(→))＝()A．eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b B．eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)bC．－eq\f(1,4)a＋eq\f(3,8)b D．eq\f(3,4)a－eq\f(5,8)b4.(多選)給出以下說(shuō)法，其中不正確的是()A．若b＝λa(λ∈R)，則a∥bB．若a∥b，則存在實(shí)數(shù)λ，使b＝λaC．若a，b是非零向量，λ，μ∈R，那么λa＋μb＝0?λ＝μ＝0D．平面內(nèi)任意兩個(gè)非零向量都可以作為表示平面內(nèi)任意一個(gè)向量的一組基底5.(2022·長(zhǎng)沙模擬)如圖，在正方形ABCD中，E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F滿足eq\o(CF,\s\up6(→))＝2eq\o(FB,\s\up6(→))，那么eq\o(EF,\s\up6(→))＝()A．eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))B．eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C．eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))D．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))6.如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，BC的中點(diǎn)，連接CE，DF，交于點(diǎn)G．若eq\o(CG,\s\up7(→))＝λeq\o(CD,\s\up7(→))＋μeq\o(CB,\s\up7(→))(λ，μ∈R)，則eq\f(λ,μ)＝________．7.已知在△ABC中，點(diǎn)O滿足eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，點(diǎn)P是OC上異于端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，則m＋n的取值范圍是.8.設(shè)e1，e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，則以下a，b可作為該平面內(nèi)一組基底的是()A．a(chǎn)＝e1＋e2，b＝e1B．a(chǎn)＝2e1＋e2，b＝eq\f(1,2)e1＋eq\f(1,4)e2C．a(chǎn)＝e1＋e2，b＝e1－e2D．a(chǎn)＝e1－2e2，b＝－e1＋4e29.已知平面向量a，b，c滿足|a|＝|b|＝|a－b|＝|a＋b－c|＝1，則|c|的最大值M＝________，|c|的最小值m＝________．10.如圖，已知在△OCB中，A是CB的中點(diǎn)，D是將eq\o(OB,\s\up7(→))分成2∶1的一個(gè)內(nèi)分點(diǎn)，DC和OA交于點(diǎn)E，設(shè)eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b．(1)用a和b表示向量eq\o(OC,\s\up7(→))，eq\o(DC,\s\up7(→))；(2)若eq\o(OE,\s\up7(→))＝λeq\o(OA,\s\up7(→))，求實(shí)數(shù)λ的值．考點(diǎn)二平面向量坐標(biāo)的基本運(yùn)算例2(1)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(CA,\s\up6(→))＝c，且eq\o(CM,\s\up6(→))＝3c，eq\o(CN,\s\up6(→))＝－2b.①求3a＋b－3c；②求滿足a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m，n；③求M，N的坐標(biāo)及向量eq\o(MN,\s\up6(→))的坐標(biāo)．(2)設(shè)向量a，b滿足|a|＝2eq\r(5)，b＝(2,1)，且a與b的方向相反，則a的坐標(biāo)為跟蹤練習(xí)1.(2022·天津模擬)已知點(diǎn)A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______．2.(2022·安徽調(diào)研)在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(0,1)和點(diǎn)B(－3,4)，若點(diǎn)C在∠AOB的平分線上，且|eq\o(OC,\s\up7(→))|＝3eq\r(10)，則向量eq\o(OC,\s\up7(→))的坐標(biāo)為_(kāi)_______．3.(2022·太原聯(lián)考)已知向量e1＝(1,1)，e2＝(0,1)，若a＝e1＋λe2與b＝－(2e1－3e2)共線，則實(shí)數(shù)λ＝________．4.已知向量a＝(2,5)，b＝(λ，4)，若a∥b，則λ＝________．[解析]因?yàn)閍∥b，所以a＝kb，即(2,5)＝k(λ，4)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kλ＝2，,4k＝5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(8,5)，,k＝\f(5,4).))5.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，且A(1,1)，C(2,3)，|eq\o(BC,\s\up7(→))|＝2|eq\o(AC,\s\up7(→))|，則向量eq\o(OB,\s\up7(→))的坐標(biāo)是________．6.(2021·海南省文昌中學(xué)模擬)已知a＝(1,3)，b＝(－2，k)，且(a＋2b)∥(3a－b)，則實(shí)數(shù)k＝.7.(2021·湖南“三湘教育聯(lián)盟”聯(lián)考)已知向量a＝(sinθ，1)，b＝(－sinθ，0)，c＝(cosθ，－1)，且(2a－b)∥c，則sin2θ等于.8.(2022·鄭州月考)已知向量a＝(1－sinθ，1)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1＋sinθ))，若a∥b，則銳角θ＝.9.已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(k,12)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4,5)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－k,10)，且A，B，C三點(diǎn)共線，則k＝.10．(2022·本溪模擬)已知p：x＝－1，q：向量a＝(1，x)與b＝(x＋2，x)共線，則p是q的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，設(shè)向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)．若p∥q，則角C的大小為()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,2) D．eq\f(2π,3)12．(多選)(2022·珠海模擬)已知向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝(1，－3)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(2，－1)，eq\o(OC,\s\up7(→))＝(m＋1，m－2)，若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m可以是()A．－2 B．eq\f(1,2)C．1 D．－113．(2022·菏澤模擬)已知a＝(－2，m)，b＝(1,2)，a∥(2a＋b)，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_________．14．(2022·泰安質(zhì)檢)設(shè)向量a＝(－3,4)，向量b與向量a方向相反，且|b|＝10，則向量b的坐標(biāo)為_(kāi)_______．15．已知向量a＝(1,3)，b＝(sinα，cosα)，若a∥b，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝________．16．如圖，四邊形ABCD為正方形，延長(zhǎng)CD至E，使得DE＝CD，點(diǎn)P在線段CD上運(yùn)動(dòng)．設(shè)eq\o(AP,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AE,\s\up7(→))，則x＋y的取值范圍是()A．[1,2] B．[1,3]C．[2,3] D．[2,4]17．(2022·福州模擬)若{α，β}是一個(gè)基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，則稱(chēng)(x，y)為向量γ在基底{α，β}下的坐標(biāo)，現(xiàn)已知向量a在基底{p＝(1，－1)，q＝(2,1)}下的坐標(biāo)為(－2,2)，則a在基底{m＝(－1,1)，n＝(1,2)}下的坐標(biāo)為_(kāi)_______．18.(2022·遼寧月考)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設(shè)eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(BC,\s\up7(→))＝b，eq\o(CA,\s\up7(→))＝c，且eq\o(CM,\s\up7(→))＝3c，eq\o(CN,\s\up7(→))＝－2b．(1)求3a＋b－3c；(2)求滿足a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m，n；(3)求M，N的坐標(biāo)及向量eq\o(MN,\s\up7(→))的坐標(biāo)．第三講平面向量的數(shù)量積知識(shí)點(diǎn)一向量的夾角兩個(gè)非零向量a與b，過(guò)O點(diǎn)作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則叫做向量a與b的夾角；范圍是a與b的夾角為時(shí)，則a與b垂直，記作知識(shí)點(diǎn)二平面向量的數(shù)量積(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0·a＝0.(2)幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．知識(shí)點(diǎn)三平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示(1)設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角．①數(shù)量積：a·b＝|a||b|cosθ＝②模：|a|＝eq\r(a·a)＝③設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點(diǎn)間的距離|AB|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22).④夾角：cosθ＝＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).⑤已知兩非零向量a與b，a⊥b?a·b＝0?；a∥b?a·b＝±|a||b|.(或|a·b|＝|a|·|b|)．⑥|a·b|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時(shí)等號(hào)成立)?|x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·eq\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)).(2)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律①a·b＝b·a(交換律)．②λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結(jié)合律)．③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．考點(diǎn)一平面向量數(shù)量積的運(yùn)算例1(1)已知向量e1，e2，|e1|＝1，e2＝(1，eq\r(3))，e1，e2的夾角為60°，則(e1＋e2)·e2＝()A．eq\f(3\r(5),5) B．eq\f(2\r(5),5)C．5 D．eq\r(5)(2)已知點(diǎn)A，B，C滿足|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝4，|eq\o(CA,\s\up6(→))|＝5，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))的值是.考點(diǎn)二向量的模、夾角例2(1)(2021·四川雙流中學(xué)月考)若平面向量a、b的夾角為60°，且a＝(1，－eq\r(3))，|b|＝3，則|2a－b|的值為()A．13 B．eq\r(37)C．eq\r(13) D．1(2)(2022·黃岡調(diào)研)已知平面向量m，n的夾角為eq\f(π,6)，且|m|＝eq\r(3)，|n|＝2，在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2m＋2n，eq\o(AC,\s\up6(→))＝2m－6n，D為BC的中點(diǎn)，則|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝.角度2向量的夾角例3(1)(2021·新高考八省聯(lián)考)已知單位向量a，b滿足a·b＝0，若向量c＝eq\r(7)a＋eq\r(2)b，則sin<a，c>＝()A．eq\f(\r(7),3) B．eq\f(\r(2),3)C．eq\f(\r(7),9) D．eq\f(\r(2),9)(2)(2020·全國(guó)Ⅲ理，6)已知向量a，b滿足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，則cos〈a，a＋b〉＝()A．－eq\f(31,35) B．－eq\f(19,35)C．eq\f(17,35) D．eq\f(19,35)角度3平面向量的垂直例4(1)(2020·全國(guó)Ⅲ，5)已知單位向量a，b的夾角為60°，則在下列向量中，與b垂直的是()A．a(chǎn)＋2b B．2a＋bC．a(chǎn)－2b D．2a－b(2)(2022·安徽宣城調(diào)研)已知在△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，則實(shí)數(shù)λ的值為()A．eq\f(22,15) B．eq\f(10,3)C．6 D．eq\f(12,7)跟蹤練習(xí)1.在△ABC中，BC＝5，AC＝8，C＝60°，則eq\o(BC,\s\up7(→))·eq\o(CA,\s\up7(→))的值為()A．20 B．－20C．20eq\r(3) D．－20eq\r(3)2.(多選)(必修第二冊(cè)21頁(yè)例11改編)設(shè)a，b，c是任意的非零向量，則下列結(jié)論正確的是()A．0·a＝0 B．a(chǎn)·b＝b·c，則a＝cC．a(chǎn)·b＝0?a⊥b D．(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|23．在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，則向量eq\o(BA,\s\up7(→))在向量eq\o(BC,\s\up7(→))上的投影向量為()A．eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up7(→)) B．eq\f(\r(3),4)eq\o(BC,\s\up7(→))C．－eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up7(→)) D．－eq\f(\r(3),4)eq\o(BC,\s\up7(→))4．(多選)設(shè)向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，則()A．|a|＝|b| B．(a－b)∥bC．(a－b)⊥b D．a(chǎn)與b的夾角為eq\f(π,4)5.(2020·新高考Ⅰ卷)已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)(不包括邊界)的一點(diǎn)，則eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))的取值范圍是()A．(－2,6) B．(－6,2)C．(－2,4) D．(－4,6)6.在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中．D為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，DE⊥AB且交AB與點(diǎn)E，DF∥AB交AC于點(diǎn)F，則|2eq\o(BE,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→))|的值為_(kāi)_______；(eq\o(DE,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→)))·eq\o(DA,\s\up7(→))的最小值為_(kāi)_______．7.已知向量a，b滿足a·(b＋a)＝2，且a＝(1,2)，則向量b在a方向上的投影為()A．eq\f(\r(5),5) B．－eq\f(\r(5),5)C．－eq\f(2\r(5),5) D．－eq\f(3\r(5),5)8.(2021·貴陽(yáng)市第一學(xué)期監(jiān)測(cè)考試)在△ABC中，|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|，AB＝2，AC＝1，E，F(xiàn)為BC的三等分點(diǎn)，則eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝()A．eq\f(10,9) B．eq\f(25,9)C．eq\f(26,9) D．eq\f(8,9).9.(多選)(2022·常州一模)已知P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()A．若eq\o(PA,\s\up7(→))＋3eq\o(PB,\s\up7(→))＋2eq\o(PC,\s\up7(→))＝0，則點(diǎn)P在△ABC的中位線上B．若eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→))＋eq\o(PC,\s\up7(→))＝0，則P為△ABC的重心C．若eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))>0，則△ABC為銳角三角形D．若eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→))，則△ABC與△ABP的面積比為3∶210.(2020·全國(guó)Ⅱ，13)已知單位向量a，b的夾角為45°，ka－b與a垂直，則k＝.11.(2021·山西康杰中學(xué)五校期中)已知向量a、b滿足|b|＝2|a|＝2，a與b的夾角為120°，則|a－2b|＝()A．eq\r(13) B．eq\r(21)C．13 D．2112.(2021·江西七校聯(lián)考)已知向量a＝(1，eq\r(3))，b＝(3，m)，且b在a上的投影為－3，則向量a與b的夾角為.13.(2017·全國(guó)卷Ⅱ)已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))的最小值是()A．－2 B．－eq\f(3,2)C．－eq\f(4,3) D．－114.(2020·全國(guó)新高考Ⅰ，7)已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))的取值范圍是()A．(－2,6) B．(－6,2)C．(－2,4) D．(－4,6)15．向量a＝(1,2)，b＝(x,1)．若(a＋b)⊥(a－b)，則x＝()A．－2 B．±eq\r(2)C．±2 D．216．(2022·淄博三模)已知向量a，b滿足|a|＝|b|＝|a－b|＝1，則|2a＋b|＝()A．3 B．eq\r(3)C．7 D．eq\r(7)17．(2022·襄陽(yáng)期中)在水流速度10km/h的自西向東的河中，如果要使船以10eq\r(3)km/h的速度從河的南岸垂直到達(dá)北岸，則船出發(fā)時(shí)行駛速度的方向和大小為()A．北偏西30°，20km/hB．北偏西60°，10eq\r(2)km/hC．北偏東30°，10eq\r(2)km/hD．北偏東60°，20km/h18．(2022·金陵月考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量eq\o(OA,\s\up7(→))與eq\o(OB,\s\up7(→))關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，向量a＝(1,0)，則滿足不等式eq\o(OA,\s\up7(→))2＋a·eq\o(AB,\s\up7(→))≤0的點(diǎn)A(x，y)構(gòu)成的集合用陰影表示為()19．(多選)(2022·滕州模擬)設(shè)a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共線，則下列命題中的真命題是()A．(a·b)c－(c·a)b＝0B．|a|－|b|<|a－b|C．(b·c)a－(a·c)b不與c垂直D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|220．(多選)(2022·青島質(zhì)檢)已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2,1)，c＝(2，t)，下列說(shuō)法正確的是()A．若(a＋b)∥c，則t＝6B．若(a＋b)⊥c，則t＝eq\f(2,3)C．若t＝1，則cos〈a，c〉＝eq\f(4,5)D．|a＋c|<321．在四邊形ABCD中，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(3，－1)，eq\o(BD,\s\up7(→))＝(2，m)，eq\o(AC,\s\up7(→))⊥eq\o(BD,\s\up7(→))，則該四邊形的面積是________．22．已知向量a，b，其中|a|＝eq\r(3)，|b|＝2，且(a－b)⊥a，則向量a和b的夾角是________，a·(a＋b)＝________．23．(2022·淮安模擬)已知平行四邊形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠BAD＝eq\f(π,3)，平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)E，滿足|ED|＝2|EC|，則(eq\o(DB,\s\up7(→))－eq\o(DA,\s\up7(→)))·eq\o(AE,\s\up7(→))的取值范圍為_(kāi)_______．24．(2022·天津模擬)在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(－1,0)，|eq\o(OC,\s\up7(→))|＝1，且∠AOC＝θ，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)若θ＝eq\f(3π,4)，設(shè)點(diǎn)D為線段OA上的動(dòng)點(diǎn)，求|eq\o(OC,\s\up7(→))＋eq\o(OD,\s\up7(→))|的最小值；(2)若θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，向量m＝eq\o(BC,\s\up7(→))，n＝(1－cosθ，sinθ－2cosθ)，求m·n的最小值及對(duì)應(yīng)的θ值．25．(多選)引入平面向量之間的一種新運(yùn)算“?”如下：對(duì)任意的向量m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，規(guī)定m?n＝x1x2－y1y2，則對(duì)于任意的向量a，b，c，下列說(shuō)法正確的有()A．a(chǎn)?b＝b?a B．(λa)?b＝λ(a?b)C．a(chǎn)·(b?c)＝(a?b)·c D．|a|·|b|≥|a?b|26．(2022·本溪模擬)騎自行車(chē)是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運(yùn)動(dòng)，深受大眾喜愛(ài)，如圖是某一自行車(chē)的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓A(前輪)，圓D(后輪)的半徑均為eq\r(3)，△ABE，△BEC，△ECD均是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形．設(shè)點(diǎn)P為后輪上的一點(diǎn)，則在騎動(dòng)該自行車(chē)的過(guò)程中，eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(BP,\s\up7(→))的最大值為()A．8 B．2eq\r(3)C．4eq\r(3) D．427．(2022·珠海模擬)已知平面向量a＝(eq\r(3)，eq\r(3))，則與a夾角為45°的一個(gè)非零向量b的坐標(biāo)可以為_(kāi)_______．(寫(xiě)出滿足條件的一個(gè)向量即可)28．在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2CD＝3，AD＝2，若EF在線段AB上運(yùn)動(dòng)，且EF＝1，則eq\o(CE,\s\up7(→))·eq\o(CF,\s\up7(→))的最小值為_(kāi)_______．29．如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，分別將邊BC與DC等分成8份，并將等分點(diǎn)自下而上依次記作E1，E2，…，E7，自左到右依次記作F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)7，滿足eq\o(AEi,\s\up7(→))·eq\o(AFj,\s\up7(→))≤2(其中i，j∈N*,1≤i，j≤7)的有序數(shù)對(duì)(i，j)共有________對(duì)．30．已知平面上一定點(diǎn)C(2,0)和直線l：x＝8，P為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，作PQ⊥l，垂足為Q，且eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\o(PC,\s\up7(→))＋\f(1,2)eq\o(PQ,\s\up7(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\o(PC,\s\up7(→))－\f(1,2)eq\o(PQ,\s\up7(→))))＝0．(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；(2)若EF為圓N：x2＋(y－1)2＝1的任一條直徑，求eq\o(PE,\s\up7(→))·eq\o(PF,\s\up7(→))的最值．2023高考專(zhuān)題——平面向量（解析版）第一講平面向量的概念及其線性運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)一向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或稱(chēng)模)．(2)零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量記作0.(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量；平行向量又叫共線向量．規(guī)定：0與任一向量平行.(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量．知識(shí)點(diǎn)二向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：a＋b＝b＋a；(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法向量a加上向量b的相反向量叫做a與b的差，即a＋(－b)＝a－b三角形法則a－b＝a＋(－b)數(shù)乘實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量記作λa(1)模：|λa|＝|λ||a|；(2)方向：當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0設(shè)λ，μ是實(shí)數(shù)．(1)λ(μa)＝(λμ)a(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.知識(shí)點(diǎn)三共線向量定理向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.常用結(jié)論：1．零向量與任何向量共線．2．與向量a(a≠0)共線的單位向量±eq\f(a,|a|).3．若存在非零實(shí)數(shù)λ，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))或eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))或eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，則A，B，C三點(diǎn)共線．4．首尾相連的一組向量的和為0.5．若P為AB的中點(diǎn)，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．6．若a、b不共線，且λa＝μb，則λ＝μ＝0.考點(diǎn)一向量的基本概念例1(1)(多選題)(2021·臨沂模擬)下列命題中的真命題是(BC)A．若|a|＝|b|，則a＝bB．若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則“eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件C．若a＝b，b＝c，則a＝cD．a(chǎn)＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b(2)設(shè)a，b都是非零向量，下列四個(gè)條件，使用eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充要條件是(D)A．a(chǎn)＝b B．a(chǎn)＝2bC．a(chǎn)∥b且|a|＝|b| D．a(chǎn)∥b且方向相同[解析](1)A不正確．兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等，但它們的方向不一定相同．B正確．∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|且eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))，又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，∴四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|，eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))且eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))方向相同，因此eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)).C正確．∵a＝b，∴a，b的長(zhǎng)度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的長(zhǎng)度相等且方向相同，∴a，c的長(zhǎng)度相等且方向相同，故a＝c.D不正確．當(dāng)a∥b且方向相反時(shí)，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件．故選BC．(2)eq\f(a,|a|)表示a方向的單位向量，因此eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)的充要條件是a與b同向．跟蹤練習(xí)1．(2022·南通聯(lián)考)下列命題中正確的是()A．若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別重合B．模相等的兩個(gè)平行向量是相等向量C．若a和b都是單位向量，則a＝bD．兩個(gè)相等向量的模相等解析：D則若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)不一定分別重合，A錯(cuò)誤；模相等的兩個(gè)平行向量可能是相等向量也可能是相反向量，B錯(cuò)誤；若a和b都是單位向量，但是兩向量方向不一致，則不滿足a＝b，C錯(cuò)誤；兩個(gè)相等向量的模一定相等，D正確，故選D．2．設(shè)a，b為非零向量，則“a∥b”是“a與b方向相同”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：B因?yàn)閍，b為非零向量，所以a∥b時(shí)，a與b方向相同或相反，因此“a∥b”是“a與b方向相同”的必要不充分條件．故選B．3．(2022·日照調(diào)研)若四邊形ABCD滿足eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up7(→))且|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(DC,\s\up7(→))|，則四邊形ABCD的形狀是()A．等腰梯形 B．矩形C．正方形 D．菱形解析：A因?yàn)閑q\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up7(→))，所以eq\o(AD,\s\up7(→))∥eq\o(BC,\s\up7(→))，且|eq\o(AD,\s\up7(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up7(→))|，所以四邊形ABCD為以AD為上底邊，BC為下底邊的梯形．又|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(DC,\s\up7(→))|，因此四邊形ABCD是等腰梯形．4．(2022·宜昌月考)已知a，b是兩個(gè)非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，則下列說(shuō)法正確的是()A．a(chǎn)＋b＝0B．a(chǎn)＝bC．a(chǎn)與b共線反向D．存在正實(shí)數(shù)λ，使a＝λb解析：D因?yàn)閍，b是兩個(gè)非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，所以a與b共線同向，故選D．5．設(shè)a是非零向量，λ是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是()A．a(chǎn)與λa的方向相反 B．a(chǎn)與λ2a的方向相同C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|a解析：B對(duì)于A，當(dāng)λ>0時(shí)，a與λa的方向相同，當(dāng)λ<0時(shí)，a與λa的方向相反，故A不正確，B正確；對(duì)于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不確定，故|－λa|與|a|的大小關(guān)系不確定，故C不正確；對(duì)于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示長(zhǎng)度，兩者不能比較大小，故D不正確．6．(多選)給出下列命題，其中假命題為()A．向量eq\o(AB,\s\up7(→))的長(zhǎng)度與向量eq\o(BA,\s\up7(→))的長(zhǎng)度相等B．向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反C．|a|＋|b|＝|a－b|?a與b方向相反D．若非零向量a與非零向量b的方向相同或相反，則a＋b與a，b之一的方向相同解析：BCD對(duì)于A，向量eq\o(AB,\s\up7(→))與向量eq\o(BA,\s\up7(→))，長(zhǎng)度相等，方向相反，命題成立；對(duì)于B，當(dāng)a＝0時(shí)，不成立；對(duì)于C，當(dāng)a，b之一為零向量時(shí)，不成立；對(duì)于D，當(dāng)a＋b＝0時(shí)，a＋b的方向是任意的，它可以與a，b的方向都不相同．考點(diǎn)二向量的線性運(yùn)算角度1向量加、減法的幾何意義例2設(shè)非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則(A)A．a(chǎn)⊥b B．|a|＝|b|C．a(chǎn)∥b D．|a|>|b|[解析]解法一：利用向量加法的平行四邊形法則．在?ABCD中，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，由|a＋b|＝|a－b|知，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(DB,\s\up6(→))|，從而四邊形ABCD為矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.解法二：∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2.∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.∴a·b＝0.∴a⊥b.角度2向量的線性運(yùn)算例3(2022·長(zhǎng)沙模擬)如圖，在梯形ABCD中，BC＝2AD，DE＝EC，設(shè)eq\o(BA,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，則eq\o(BE,\s\up6(→))＝(D)A．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b B．eq\f(1,3)a＋eq\f(5,6)bC．eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b D．eq\f(1,2)a＋eq\f(3,4)b[解析]解法一：如圖所示，取BC的中點(diǎn)F，連接AF，因?yàn)锽C＝2AD，所以AD＝CF，又AD∥CF，所以四邊形ADCF為平行四邊形，則AF∥CD，所以eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(FA,\s\up6(→)).因?yàn)镈E＝EC，所以eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(FA,\s\up6(→))，所以eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BF,\s\up6(→)))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(BA,\s\up6(→))－\f(1,2)\o(BC,\s\up6(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(3,4)b，故選D．解法二：如圖，連接BD，因?yàn)镈E＝EC，所以eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(BA,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(BC,\s\up6(→))＋\o(BC,\s\up6(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(3,4)b，故選D．角度3根據(jù)向量線性運(yùn)算求參數(shù)例4(2021·濟(jì)南模擬)如圖，在平行四邊形ABCD中，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，eq\o(CE,\s\up6(→))＝－2eq\o(DE,\s\up6(→))，若eq\o(EF,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))，則x＋y＝(C)A．1 B．6C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,3)[解析]因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，因?yàn)閑q\o(CE,\s\up6(→))＝－2eq\o(DE,\s\up6(→))，所以eq\o(ED,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(DC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，連接AF，在△AEF中，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，又因?yàn)閑q\o(EF,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))，所以x＝eq\f(2,3)，y＝－eq\f(1,2)，故x＋y＝eq\f(1,6).跟蹤練習(xí)1.(2022·青島質(zhì)檢)在△ABC中，eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up7(→))，若eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b，則eq\o(AD,\s\up7(→))＝()A．eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b B．eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)bC．eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)b D．eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)b[解析]法一：如圖，過(guò)點(diǎn)D分別作AC，AB的平行線交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，則四邊形AEDF為平行四邊形，所以eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AE,\s\up7(→))＋eq\o(AF,\s\up7(→))．因?yàn)閑q\o(BD,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up7(→))，所以eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))，所以eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b，故選A．法二：eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b，故選A．2.(2022·長(zhǎng)春調(diào)研)在△ABC中，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)M使得BC＝2CM，連接AM，點(diǎn)N為AM上一點(diǎn)且eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AM,\s\up7(→))，若eq\o(AN,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AC,\s\up7(→))，則λ＋μ＝()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2) D．－eq\f(1,3)[解析]由題意，知eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BM,\s\up7(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)×eq\f(3,2)eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))，又eq\o(AN,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AC,\s\up7(→))，所以λ＝－eq\f(1,6)，μ＝eq\f(1,2)，則λ＋μ＝eq\f(1,3)．3．(2022·濟(jì)南期中)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則eq\o(EB,\s\up7(→))＝()A．eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up7(→)) B．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up7(→))C．eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up7(→)) D．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up7(→))解析：A根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(3,4)eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up7(→))，所以eq\o(EB,\s\up7(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up7(→))，故選A．4．如圖，在△ABC中，eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\o(NC,\s\up7(→))，P是BN上的一點(diǎn)，eq\o(BP,\s\up7(→))＝3eq\o(PN,\s\up7(→))，若eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＋meq\o(AC,\s\up7(→))，則實(shí)數(shù)m的值為()A．eq\f(1,4) B．eq\f(3,8)C．eq\f(3,4) D．eq\f(9,7)解析：B因?yàn)閑q\o(BP,\s\up7(→))＝3eq\o(PN,\s\up7(→))，所以eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(3,4)eq\o(BN,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(3,4)(eq\o(AN,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(AN,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(→))，因?yàn)閑q\o(AN,\s\up7(→))＝eq