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第二章培優課?最值與對稱問題重難探究·能力素養全提升探究點一最值問題與直線相關的最值問題,首先根據所求式子的特征確定其幾何意義,將問題轉化成為兩點間的距離,點到直線的距離等,然后求最值.C解析

取點P(m,n),Q(a,b),由已知3m+4n=6,3a+4b=1,可得點P在直線l1:3x+4y-6=0上,點Q在直線l2:3x+4y-1=0上.變式訓練1直線l:3x-2y+5=0,P(m,n)為直線l上的動點,則(m+1)2+n2的最小值為

.

解析

(m+1)2+n2可看成是直線上一點P(m,n)到點Q(-1,0)的距離的平方,當PQ⊥l時,距離最小.探究點二對稱問題與直線相關的對稱問題,主要有關于點的對稱或關于直線對稱的問題,主要借助幾何性質列出相應關系式求解.【例2】

(1)已知A(3,0),B(0,3),從點P(0,2)射出的光線經x軸反射到直線AB上,又經過直線AB反射到P點,則光線所經過的路程為(

)C解析

直線AB的方程為x+y=3,如圖所示,點P(0,2)關于x軸的對稱點為P1(0,-2).P2(5,3),所以根據反射原理的對稱性,光線所經過的路程為|PQ|+|QM|+|MP|=|P1Q|+|QM|+|MP|=|P1M|+|MP|=|MP2|+|MP|=|P2P|=(2)直線y=2x+1關于直線y=x對稱的直線方程為(

)A.x-3y+1=0 B.x-3y-1=0 C.x-2y-1=0 D.x-2y+1=0C變式訓練2(1)點P(2,0)關于直線l:x+y+1=0的對稱點Q的坐標為(

)A.(-1,-3) B.(-1,-4)C.(4,1) D.(2,3)A解析

設點P(2,0)關于直線x+y+1=0的對稱點的坐標為(a,b),所以點Q的坐標為(-1,-3).故選A.(2)直線y=4x-5關于點P(2,1)對稱的直線方程是(

)A.y=4x+5 B.y=4x-5C.y=4x-9 D.y=4x+9C解析

設直線y=4x-5上的點P(x0,y0)關于點(2,1)的對稱點的坐標為(x,y),將其代入直線y=4x-5中,得到2-y=4(4-x)-5,化簡得y=4x-9.故選C.探究點三利用對稱求最值問題【例3】

唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句為“白日登山望烽火,黃昏飲馬傍交河”,其中隱含了一類有趣的數學問題——“將軍飲馬”,即將軍在白天觀望烽火臺之后黃昏時從山腳下某處出發,先到河邊飲馬再回到軍營,怎樣走才能使總路程最短?在平面直角坐標系中,已知軍營所在的位A解析

如圖所示,設點B(-2,0)關于直線x+2y=3的對稱點為C(x1,y1),在直線x+2y=3上取點P,連接PC,變式訓練3已知點A(4,1),B(0,4),直線l:3x-y-1=0,點P為直線l上一

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