第二章2.5.1橢圓的標準方程課程標準1.掌握橢圓的定義;2.掌握橢圓標準方程的兩種形式及其推導過程;3.能根據條件確定橢圓的標準方程,掌握待定系數法求橢圓的標準方程.基礎落實·必備知識全過關重難探究·能力素養全提升目錄索引

成果驗收·課堂達標檢測基礎落實·必備知識全過關知識點1橢圓的定義集合表示{P||PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|}如果F1,F2是平面內的兩個定點,a是一個常數,且

,則平面內滿足|PF1|+|PF2|=2a的動點P的軌跡稱為橢圓,其中,兩個定點F1,F2稱為橢圓的

,兩個焦點之間的距離|F1F2|稱為橢圓的

.2a>|F1F2|焦點

焦距

過關自診1.到兩個定點F1(-7,0)和F2(7,0)的距離之和為14的點P的軌跡是(

)A.橢圓

B.線段C.圓

D.以上都不對2.橢圓的定義中,若2a≤|F1F2|,則動點P的軌跡還是橢圓嗎?B解析

∵點P到兩定點的距離之和為14,等于|F1F2|,∴軌跡是一條線段.解

不是.當2a<|F1F2|時,動點P的軌跡不存在.當2a=|F1F2|時,動點P的軌跡為線段F1F2.知識點2橢圓的標準方程焦點位置焦點在x軸上焦點在y軸上標準方程

=1(a>b>0)

=1(a>b>0)圖示焦點坐標

a,b,c的關系

F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)b2=a2-c2名師點睛1.在已知橢圓的標準方程解題時,應特別注意a>b>0這個條件.2.焦點三角形中常用的關系式(1)|PF1|+|PF2|=2a.(3)|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2.(4)|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|.過關自診1.a=6,c=1的橢圓的標準方程是(

)D2.橢圓4x2+9y2=1的焦點坐標是(

)C3.[人教A版教材習題]如果橢圓

=1上一點P與焦點F1的距離等于6,那么點P與另一個焦點F2的距離是

.14重難探究·能力素養全提升探究點一橢圓定義的理解【例1】

如圖所示,已知動圓P過定點A(-3,0),并且在定圓B:(x-3)2+y2=64的內部與其內切,求動圓圓心P的軌跡方程.解

設動圓P和定圓B內切于點M,動圓圓心P到兩定點A(-3,0)和B(3,0)的距離之和恰好等于定圓半徑,即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8>|AB|,所以動圓圓心P的軌跡是以A,B為左、右焦點的橢圓,其中c=3,a=4,b2=a2-c2=42-32=7,故動圓圓心P的軌跡方程為規律方法

利用橢圓定義求動點軌跡方程的三個步驟

變式訓練1[北師大版教材習題]如圖,兩個定圓圓C1和圓C2內切,且半徑分別為r1=1,r2=3,動圓M與圓C1外切且與圓C2內切,那么動圓圓心M的軌跡是什么?并說明理由.解

設動圓M半徑為R,因為圓M與圓C1外切,所以|MC1|=1+R.又因為圓M與圓C2內切,所以|MC2|=3-R,所以|MC1|+|MC2|=4.又圓C1和圓C2內切,所以|C1C2|=2.所以動圓圓心M的軌跡是以C1,C2為焦點的橢圓(除掉圓C1和圓C2的切點).變式訓練2[北師大版教材例題]已知△ABC的周長為10,且|BC|=4,則△ABC的頂點A的軌跡是什么?并說明理由.解

因為△ABC的周長為10,且|BC|=4,所以|AB|+|AC|=6,且|AB|+|AC|>|BC|.根據橢圓的定義可知,△ABC的頂點A的軌跡是以B,C為焦點,焦距長為4的橢圓(不含橢圓與直線BC的交點).探究點二求橢圓的標準方程角度1.待定系數法求橢圓的標準方程【例2】

求適合下列條件的橢圓的標準方程.∵橢圓過點A(-1,-2),規律方法

1.利用待定系數法求橢圓的標準方程,有下面幾種情況:如果明確橢圓的焦點在x軸上,那么設所求的橢圓方程為

=1(a>b>0);如果明確橢圓的焦點在y軸上,那么設所求的橢圓方程為=1(a>b>0);如果中心在原點,但焦點的位置不能明確是在x軸上,還是在y軸上,那么方程可以設為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),進而求解.2.待定系數法求橢圓方程能有力地明晰數學運算的目標性和方向性,能較好地體現運用解析法進行數學運算的核心素養.角度2.定義法求橢圓的標準方程【例3】

求適合下列條件的橢圓的標準方程:兩個焦點的坐標分別是解

因為橢圓的焦點在y軸上,規律方法

用定義法求橢圓的標準方程,先根據橢圓定義,確定a2,b2的值,再結合焦點位置寫出橢圓的標準方程.變式訓練4已知橢圓兩個焦點的坐標分別是(0,5),(0,-5),橢圓上一點P到兩焦點的距離之和為26,求滿足條件的橢圓的標準方程.解

因為橢圓的焦點在y軸上,因為2a=26,所以a=13,又因為c=5,所以b2=a2-c2=144,探究點三橢圓定義的應用【例4】

已知P為橢圓

=1上一點,F1,F2是橢圓的左、右焦點,∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面積.在△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos

60°,即36=|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|.①即48=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|.②由①②得|PF1||PF2|=4,變式探究若將例4中“∠F1PF2=60°”變為“∠PF1F2=90°”,求△F1PF2的面積.規律方法

1.橢圓上一點P(不與焦點共線)與橢圓的兩個焦點F1,F2構成的△PF1F2稱為焦點三角形.解關于橢圓的焦點三角形的問題,通常要利用橢圓的定義,再結合正弦定理、余弦定理等知識求解.2.焦點三角形的常用公式(1)焦點三角形的周長L=2a+2c.(2)在△PF1F2中,由余弦定理可知|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2.變式訓練5(1)P是橢圓

=1上一點,F1,F2分別是橢圓的左、右焦點,若|PF1||PF2|=12,則∠F1PF2的大小為(

)A.60°

B.30° C.120° D.150°A∵0°<∠F1PF2<180°,∴∠F1PF2=60°.(2)已知F1,F2為橢圓

=1的兩個焦點,過F1的直線交橢圓于A,B兩點.若|F2A|+|F2B|=12,則|AB|=

.

8解析

由直線AB過橢圓的一個焦點F1,知|AB|=|F1A|+|F1B|,所以在△F2AB中,|F2A|+|F2B|+|AB|=4a=20.又|F2A|+|F2B|=12,所以|AB|=8.(3)[人教A版教材習題]如果點M(x,y)在運動過程中,總滿足關系式

=10,那么點M的軌跡是什么曲線?為什么?寫出它的方程.解

點M的軌跡是焦點在y軸上的橢圓.∵點M(x,y)到兩定點(0,-3),(0,3)的距離之和為10,且大于兩定點間的距離6,成果驗收·課堂達標檢測123451.已知橢圓C:

=1的左、右焦點分別為F1,F2,過左焦點F1作直線交橢圓C于A,B兩點,則三角形ABF2的周長為(

)A.10 B.15

C.20

D.25C解析

由題意知a=5,由橢圓定義知|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a,∴|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a=20.故選C.123452.若方程x2+ky2=2表示焦點在y軸上的橢圓,則實數k的取值范圍是(

)A.(0,+∞) B.(0,2)C.(1,+∞) D.(0,1)D123453.若橢圓x2+ky2=1的焦距為,則k的值為

.

123454.設F1,F2是橢圓

=1的兩個焦點,P是橢圓上的點,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,求△F1PF2的面積為

.

4解析

由橢圓方程,得a=3,b=2,c=.∵|PF1|+|PF2