第四章4.2.4

第二課時離散型隨機變量的方差123456789101112131415A級必備知識基礎練1.[探究點二]設隨機變量X服從二項分布,且期望E(X)=3,p=,則方差D(X)等于(

)C解析

由于二項分布的數學期望E(X)=np=3,所以二項分布的方差D(X)=np(1-p)=,故選C.1234567891011121314152.[探究點一]已知隨機變量X的分布列為

A123456789101112131415A1234567891011121314151234567891011121314154.[探究點二]設隨機變量X,Y滿足Y=4X+1,X~B(2,p),若P(X≥1)=,則D(Y)=(

)A. B.3 C.6 D.8C1234567891011121314155.[探究點一·2023吉林長春高二階段練習](多選題)設0<p<1,已知隨機變量ξ的分布列如下表,則下列結論正確的是(

)ξ012Pp-p2p21-pA.P(ξ=0)<P(ξ=2)B.P(ξ=2)的值最大C.E(ξ)隨著p的增大而增大AD1234567891011121314151234567891011121314156.[探究點一]已知隨機變量X~B(n,p),若E(X)=4,Y=2X+3,D(Y)=3.2,則P(X=2)=

.(結果用數字表示)

1234567891011121314157.[探究點二]若隨機事件A在1次試驗中發生的概率為p(0<p<1),用隨機變量X表示事件A在1次試驗中發生的次數,則方差D(X)的最大值為

;的最大值為

.

123456789101112131415解析

隨機變量X的所有可能取值為0,1,由題意,得X的分布列為

X01P1-pp,從而E(X)=0×(1-p)+1×p=p,D(X)=(0-p)2×(1-p)+(1-p)2×p=p-p2.123456789101112131415B級關鍵能力提升練8.(多選題)袋子中有2個黑球,1個白球,現從袋子中有放回地隨機取球4次,取到白球記0分,黑球記1分,記4次取球的總分數為X,則(

)ACD1234567891011121314151234567891011121314151234567891011121314159.將3個完全相同的小球放入3個盒子中,盒子的容量不限,且每個小球落入盒子的概率相等.記X為分配后所剩空盒的個數,Y為分配后不空盒子的個數,則(

)A.E(X)=E(Y),D(X)=D(Y)B.E(X)=E(Y),D(X)≠D(Y)C.E(X)≠E(Y),D(X)=D(Y)D.E(X)≠E(Y),D(X)≠D(Y)C123456789101112131415123456789101112131415D12345678910111213141512345678910111213141511.某人共有三發子彈,他射擊一次命中目標的概率是,擊中目標后射擊停止,射擊次數X為隨機變量,則方差D(X)=

.

12345678910111213141512345678910111213141512.已知袋中裝有大小相同質地均勻的5個球,其中3個黑球和2個白球,從袋中無放回地隨機取出3個球,記取出黑球的個數為X,則E(X)=

,D(X)=

.

12345678910111213141512345678910111213141513.某財經雜志發起一項調查,旨在預測某地經濟前景,隨機訪問了100位業內人士,根據被訪問者的問卷得分(滿分10分)將經濟前景預期劃分為三個等級(悲觀、尚可、樂觀).分級標準及這100位被訪問者得分頻數分布情況如下:經濟前景等級悲觀尚可樂觀問卷得分12345678910頻數23510192417974假設被訪問的每個人獨立完成問卷(互不影響),根據經驗,這100位人士的意見即可代表業內人士意見,且他們預測各等級的頻率可估計未來經濟各等級發生的可能性.123456789101112131415(1)該雜志記者又隨機訪問了兩名業內人士,試估計至少有一人預測該地經濟前景為“樂觀”的概率;(2)某人有一筆資金,現有兩個備選的投資意向:物聯網項目或人工智能項目,兩種投資項目的年回報率都與該地經濟前景等級有關,根據經驗,大致關系如下(正數表示贏利,負數表示虧損):經濟前景等級樂觀尚可悲觀物聯網項目年回報率/%124-4人工智能項目年回報率/%75-2根據以上信息,請分別計算這兩種投資項目的年回報率的期望與方差,并用統計學知識給出投資建議.123456789101112131415

123456789101112131415設投資物聯網和人工智能項目年回報率的期望分別為E(X1),E(X2),方差分別為D(X1),D(X2),則E(X1)=0.2×12%+0.7×4%+0.1×(-4%)=4.8%,E(X2)=0.2×7%+0.7×5%+0.1×(-2%)=4.7%,D(X1)=0.2×(12%-4.8%)2+0.7×(4%-4.8%)2+0.1×(-4%-4.8%)2=0.001

856,D(X2)=0.2×(7%-4.7%)2+0.7×(5%-4.7%)2+0.1×(-2%-4.7%)2=0.000

561.∵E(X1)>E(X2),∴投資物聯網項目比投資人工智能項目平均年回報率要高,但二者相差不大.∵D(X1)>D(X2),∴投資人工智能項目比投資物聯網項目年回報率穩定性更高,風險要小,∴建議投資人工智能項目.123456789101112131415C級學科素養創新練14.已知m,n均為正數,隨機變量X的分布列如下表:X012Pmnm則下列結論一定成立的是(

)A.P(X=1)<P(X≠1) B.E(X)=1C.mn≤ D.D(X+1)<1BCD12345678910111213141512345678910111213141515.某早餐店對一款新口味的酸奶進行了一段時間試銷,定價為5元/瓶.酸奶在試銷售期間足量供應,每天的銷售數據按照[15,25],(25,35],(35,45],(45,55]分組,得到如下頻率分布直方圖,以不同銷量的頻率估計概率.試銷結束后,這款酸奶正式上市,廠家只提供整箱批發:大箱每箱50瓶,批發成本85元;小箱每箱30瓶,批發成本65元.由于酸奶保質期短,當天未賣出的只能作廢.該早餐店以試銷售期間的銷量作為參考,決定每天僅批發一箱(計算時每個分組取中間值作為代表,比如銷量為(45,55]時看作銷量為50瓶).123456789101112131415(1)設早餐店批發一大箱時,當天這款酸奶的利潤為隨機變量X,批發一小箱時,當天這款酸奶的利潤為隨機變量Y,求X和Y的分布列;(2)從早餐店的收益角度和利用所學的知識作為決策依據,該早餐店應每天批發一大箱還是一小箱?(必須作出一種合理的選擇)123456789101112131415解

(1)若早餐店批發一大箱,批發成本為85元,依題意,銷量有20,30,40,50四種情況.當銷量為20瓶時,利潤為5×20-85=15元,當銷量為30瓶時,利潤為5×30-85=65元,當銷量為40瓶時,利潤為5×40-85=115元,當銷量為50瓶時,利潤為5×50-85=165元.隨機變量X的分布列為X1565115165P0.30.40.20.1123456789101112131415若早餐店批發一小箱,批發成本為65元,依題意,銷量有20,30兩種情況.當銷量為20瓶時,利潤為5×20-65=35元,當銷量為30瓶時,利潤為5×30-65=85元.隨機變量Y的分布列為Y3585P0.30.7123456789101112131415(2)根據(1)中的計算結果,所以E(X)=15×0.3+65×0.4+115×0.2+165×0.1